第04讲 有理数乘法与除法-【暑假自学课】2022年新七年级数学暑假课（苏科版）VIP

第04讲有理数乘法与除法【学习目标】1．理解有理数的乘法与除法法则；2．能利用有理数的乘法与除法法则进行简单的有理数乘法运算；(重点)3．会利用有理数的乘法与除法解决实际问题．(难点)【基础知识】一．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．二．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．三．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•（b≠0）（2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．【考点剖析】一．倒数（共2小题）1．（2021•阳新县校级模拟）﹣ǀ﹣5ǀ的倒数是（）A．5 B．﹣5 C． D．2．（2022•镇江模拟）的倒数等于．二．有理数的乘法（共7小题）3．（2021秋•佛山月考）计算：（﹣36）×（）．4．（2021秋•仪征市期中）规定：水位上升为正，水位下降为负：几天后为正，几天前为负．若水位每天下降3cm，今天的水位记为0cm，那么2天前的水位用算式表示正确的是（）A．（+3）×（+2） B．（+3）×（﹣2） C．（﹣3）×（+2） D．（﹣3）×（﹣2）5．（2017秋•亭湖区校级月考）﹣9936．6．（2019秋•天宁区校级月考）学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：计算：17（﹣9）下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．解：原式＝﹣179＝﹣1725．7．（2021秋•无锡期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．a＞﹣3 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．|a|＞|b|8．（2021秋•朝阳区校级期末）在数﹣5，1，3，﹣3，4中，任取两个数相乘，所得积的最大是．9．（2022春•阜宁县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）．（1）计算：M（5）+M（6）；（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；（3）试说明：2×M（n）与M（n+1）互为相反数．三．有理数的除法（共11小题）10．（2022•永嘉县模拟）计算﹣6÷2的结果是（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣1211．（﹣81）÷（）（﹣16）．12．计算：（﹣32）÷4×（﹣8）．13．（2021秋•宜兴市月考）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（）A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是14．（2021秋•东台市期中）有两个整数a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．若整数m在[5，15]内，整数n在[﹣30，﹣20]内，那么的一切值中属于整数的个数为（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个15．（2021秋•大丰区期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．|a|＜|b| B．a＞b C．a+b＞0 D．16．（2021秋•相城区月考）下列各式中计算正确的有（）①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3；②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．（2022•顺义区一模）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为升．18．（2021秋•东莞市期中）若|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，且x，y异号，求x÷y的值．19．（2019秋•交城县期中）阅读下题解答：计算：．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式．根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．20．（2021秋•淮南期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．（1）2020属于类（填A，B或C）；（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于类（填A，B或C）；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于类（填A，B或C）；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是（填序号）．①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．【过关检测】一、单选题1．（2021·江苏）下列各组的两个数中，互为倒数的是（）A．3和﹣3 B．﹣3和 C．﹣3和 D．和2．（2019·江苏七年级月考）两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数（）A．一定相等 B．一定互为倒数 C．一定互为相反数 D．相等或互为相反数3．（2021·江苏七年级期末）某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（）A．80元 B．120元 C．160元 D．200元4．（2020·兴化市乐吾实验学校）在1，，，4这四个数中，任取两个数相乘，所得积最大的是（）A． B． C．4 D．65．（2020·江苏）已知，试求的值不可能为（）A．3 B．-3 C．0 D．-16．（2020·兴化市板桥初级中学七年级月考）一个大于1的正整数a，与其倒数，相反数-a比较，大小关系正确的是（）A．-a＜≤a B．-a＜＜a C．＞a＞-a D．-a≤a≤7．（2020·江苏七年级期中）有两个正数，，且，把大于等于且小于等于的所有数记作．例如，大于等于且小于等于的所有数记作．若整数在内，整数在内，那么的一切值中属于整数的个数为（）A．5个 B．个 C．个 D．个二、填空题8．（2020·南通市东方中学七年级月考）计算：=______．9．（2021·江苏南京一中七年级月考）直接写出计算结果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________．10．（2020·江苏）绝对值小于2020的所有整数的和为_____，积为_____．11．（2020·常州市丽华中学七年级月考）________×（﹣）＝﹣1．三、解答题12．（2020·江苏汇文实验初中）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，且=6，求的值．13．（2020·常州市丽华中学七年级月考）学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：计算：17×（﹣9），下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．14．（2020·南通西藏民族中学七年级期中）计算（1）（2）15．（2020·兴化市陈堡初级中学）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．（提出问题）三个有理数a、b、c满足，求的值．（解决问题）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即，，时，则：；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，则：所以：的值为3或-1．（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足，求的值；（2）已知，，且，求的值．16．（2020·泰州市姜堰区励才实验学校七年级月考）学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算得又对又快两名同学给出的解法如下：小强：原式小莉：原式（1）对于以上两