第07讲 直线与圆的位置关系-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（苏科版）

第07讲直线与圆的位置关系【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；【基础知识】一．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．二．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．三．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．四．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．五．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．六．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．七．切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD．八．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．【考点剖析】一．直线与圆的位置关系（共3小题）1．（2022•邗江区校级开学）已知⊙O的直径是8，圆心O到直线a的距离是3，则直线a和⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．外切2．（2021秋•江北区期末）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2021秋•信都区期末）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（）A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4二．切线的性质（共2小题）4．（2022春•朝阳区校级月考）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠P＝40°则∠ACB的度数为（）A．70° B．50° C．20° D．40°5．（2022春•南岸区月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB延长线上，CD与⊙O相切于点D，连接AD，若∠ACD＝20°，则∠CAD的度数等于（）A．20° B．25° C．35° D．45°三．切线的判定（共2小题）6．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．7．（2021秋•玉林期末）AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数．四．切线的判定与性质（共2小题）8．（2021秋•源汇区校级月考）如图，AB为⊙D的切线，BD是∠ABC的平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E．求证：BC是⊙D的切线．9．（2021秋•台江区校级月考）已知：如图，AB为半圆的直径，O为圆心，AD平分∠BAC交弦BC于F，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若DF＝2，AF＝6，求⊙O的半径．五．弦切角定理（共1小题）10．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于E，过B作⊙O的切线，交AC的延长线于D．求证：∠CBD∠CAB．六．切线长定理（共3小题）11．（2021秋•中山市期末）如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．1112．（2021秋•上思县期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．1013．（2021秋•无为市校级月考）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．七．切割线定理（共2小题）14．（2021秋•襄都区校级期末）如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC等于（）A．2 B．3 C．4 D．515．（2020秋•崇川区月考）如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝．八．三角形的内切圆与内心（共4小题）16．（2021秋•大余县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°17．（2021秋•信都区期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是△ABC中线和高线，则（）A．D点是△ABC的内心 B．D点是△ABC的外心 C．E点是△ABC的内心 D．E点是△ABC的外心18．（2021秋•凉山州期末）如图，AB是⊙O的直径，点M是△ABC的内心，连接BM并延长交AC于点F交⊙O于点E，连接OE与AC相交于点D．（1）求证：ODBC；（2）求证：EM＝EA．19．（2022春•定远县校级月考）已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2022春•岳麓区月考）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，则∠D等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°2．（2021秋•大余县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°3．（2021秋•建邺区期末）如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l44．（2021秋•滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆 C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆5．（2021秋•兰山区期末）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2二．填空题（共6小题）6．（2021秋•海淀区校级期末）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，点A的坐标为（0，4），直线AB为⊙O的切线，B为切点，则B点的坐标为．7．（2022春•浦东新区校级期中）已知正三角形的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R＝．8．（2022•越秀区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC＝3，AD，则AB的长为．9．（2022•朝阳区校级一模）如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝cm时，⊙M与OA相切．10．（2022•越秀区校级模拟）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝70°，则∠ABO＝．11．（2022•玉环市一模）如图，已知⊙O内切于Rt△ABC，∠C＝90°，BC边上切点为点D．作⊙O的直径DE，连结AE并延长AE交BC于点F，若∠AFC＝45°，FD＝2，则AB的长为．三．解答题（共10小题）12．（2022•富平县一模）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE．（1）过点C作⊙O的切线交BP于点D，求证：CD⊥PA；（2）若⊙O的半径为5，AB＝6，求BD的长．13．（2020秋•佳木斯期末）已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．（1）如图①，△OPC的最大面积是；（2）如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．14．（2022•泗阳县一模）如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．（1）证明：GF是⊙O的切线；（2）若AG＝6，GE＝6，求△GOE的面积．15．（2022•兰溪市模拟）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，CD切⊙O于点C，点B是CF的中点，弦CF交AB于点E，连结OF、BC，过B点作BG⊥CD于点G．（1）若∠BCD＝28°，求∠F的度数；（2）若CF＝4OE，⊙O的半径为，求BG的长．16．（2022•和平区二模）如图，AB为⊙O的直径，△ACD是⊙O的内接三角形，PB切⊙O于点B．（Ⅰ）如图①，延长AD交PB于点P，若∠C＝40°，求∠P和∠BAP的度数；（Ⅱ）如图②，连接AP交⊙O于点E，若∠D＝∠P，，求∠P和∠BAP的度数．17．（2022•邳州市一模）如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．（1）求证：CF与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为1，则AE的长为．18．（2022•蓝田县二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点O为BC上一点，以O为圆心、OB为半径的⊙O切AC于点D，连接OA、BD，OA与BD相交于点E．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠C＝30°，⊙O的半径为10，求OE的长．19．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，