分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2）课件高二下学期数学人教A版选择性

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

(2)1.分类加法计数原理：一般地，如果完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=

种不同的方法.一般地，如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，

‧‧‧‧‧‧在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=

种不同的方法.复习引入2.分步乘法计数原理：一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=

种不同的方法.一般地，如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，‧‧‧‧‧‧，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=

种不同的方法.分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点不同点注意点用来计算“完成一件事”的方法种数每类方案中的每一种方法都能_____完成这件事每步_________才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整独立依次完成分类完成，类类相加分步完成，步步相乘3.两个计数原理的区别例题甲乙丙例1:要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法?分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成．课本P6解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为

N＝3×2=6.这6种挂法如右图所示.乙乙丙甲右边丙乙甲左边得到的挂法甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙甲丙1.从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法?解：要完成选正、副组长各2名这件事，需分2步：第1步，选正组长，有5种选法；第2步，选副组长，有4种选法．根据分步乘法计数原理，不同的选法数为N＝5×4＝20.课本P7练习2.从1,2,

‧‧‧,19,20中任选一个数作被减数，再从1,2,‧‧‧,10中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式?解：要完成一个减法算式，需分2步：第1步，确定被减数，可从1，2，…，19，20这20个数中任取1个；第2步，确定减数，可从1，2，…，10中任取1个．根据分步乘法计数原理，共可得到不同的算式个数为

N＝20×10＝200．课本P7例2：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1~9，最多可以给多少个程序命名？解:由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为

7＋6＝13.后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.由分步乘法计数原理，不同名称的个数是

13×9×9＝1053，即最多可以给1053个程序模块命名.例题分析：要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符.而首字符又可以分为两类.课本P6例2：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1~9，最多可以给多少个程序命名？解法2:首字符用A~G给程序命名的个数为7×9×9＝567.首字符用U~Z给程序命名的个数为6×9×9＝486.∴总的不同名称的个数是567＋486＝1053.思考：你还能给出不同的解法吗?课本P61.某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0~9中的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个?解：电话号码的后四位的每一位数字均可以从0～9

之间的10个数字中任取一个，根据分步乘法计数原理，该电话局不同的电话号码的个数最多为N＝10×10×10×10＝10000．课本P7练习解：要完成的事是确定一个三位数，分3步：第1步，确定百位数，可从1，2，3，4，5中任选1个，有5种方法；第2步，确定十位数，同样也有5种方法；第3步，确定个位数，同样也有5种方法．所以根据分步乘法计数原理，这样的三位数的个数为5×5×5＝125．2.由数字1,2,3,4,5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)?课本P7例3：电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.(1)1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?(2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示?例题课本P7…第1

位第2

位第3

位第8

位2

种2

种2

种2

种分析：（1）要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”.由于每个字节由8个二进制位，每一位上的值都有0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可.解:

(1)用上图表示1个字节，每一格代表一位.1个字节共有8位，每位上有2种选择.根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是2×2×2×2×2×2×2×2=28=256.(2)由(1)知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符.前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法.根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是256×256=65536这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763.因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示.解法1：被5除余2的正整数的个位是2或7.在1~10中，能被5除余2的数有：2，7；在10~20中，能被5除余2的数有：12，17；在20~30中，能被5除余2的数有：22，27；......所以在1~100中，能被5除余2的数有10×2＝20个.同理，在100~200中，能被5除余2的数有10×2＝20个.在200~300中，能被5除余2的数有10×2＝20个.在300~400中，能被5除余2的数有10×2＝20个.在400~500中，能被5除余2的数有10×2＝20个.根据分类加法计数原理，在1~500中，能被5除余2的数有：20+20+20+20+20＝100（个）.在1,2,

‧‧‧,500中，被5除余2的数共有多少个?课本P7练习解法2：被5除余2的数可以表示为5k＋2(k为整数).由1≤5k＋2≤500，解得0≤k≤99，满足条件的k值有100个，所以满足条件的数共有100个.例4：4个客人分别到3个旅店选择一处住宿，有多少种不同的选法？例题分析：题目中要完成什么事情呢？

.安排4个客人住3个旅店第1间第2间第3间我是第1个客人我们将完成这件事情用右图表示出来.第1步，安排第1个客人住店有

种选择；第2步，安排第2个客人住店有

种选择；……因此完成这件事情可以分为

个步骤，且这些步骤必须依次完成才能完成这件事情.一共有

种方法.334反思妆纳练习解析：完成4封不同的信投入3个不同的信箱这件事情，可按每封信对信箱选择分四步完成，每一步中每一封信在3个信箱中选择一个，有3种选法，由分步乘法计数原理得共有34＝81种不同的分法．答案：A错解1：第一步，第1位同学去夺这3项冠军，有可能1项都不夺或夺1项、2项、3项，因此有4种不同的情况；第二步，第2位同学去夺这3项冠军也有4种不同的情况；同理第3位、第4位同学也各有4种不同的情况．由分步乘法计数原理，共有4×4×4×4＝44＝256种不同的情况．2.4名同学去争夺3项冠军，不允许并列，共有多少种不同的情况？2.4名同学去争夺3项冠军，不允许并列，共有多少种不同的情况？错解2：第一步，第1位同学去争冠军，有3种不同的情况；第二步，第2位同学去争冠军，也有3种不同的情况；同理第3位、第4位同学也各有3种不同的情况．由分步乘法计数原理，共有3×3×3×3＝34＝81种不同的情况．辨析：完成夺取冠军这件事，即每项冠军都有人夺取．“错解1”中可能有4位同学都不得冠军以及1项冠军不止1人获得这种情况，与题意不符；“错解2”中可能有1项冠军不止1人获得这种情况，也不符合题意．正解：可分三步完成，第一项冠军被4名同学争夺，一定是其中1名而且只能是其中一名同学获得，共有4种不同的情况；同理其余2项冠军分被4名同学中的1名获得，各有4种不同的情况．由分步乘法计算原理，共有4×4×4＝43＝64种不同的夺得冠军的情况．2.4名同学去争夺3项冠军，不允许并列，共有多少种不同的情况？随堂检测2.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（

）A.280种

B.240种

C.180种 D.96种解析：由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240(种)选派方案.3.现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，有_____种不同选法.解：推选两名来自不同年级的学生做一次活动主持9×12+12×7+9×7=255（种）.人，有不同选法：5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？

解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件.故报名方法种数为4×4×4×4×4=种.（2）每个项目只有一个冠军