山东泰山教育联盟2025届高三12月联考联评数学试题+答案

泰山教育联盟2025届高三联考联评数学参考答案2024．12一、题号12345678答案CDABBBDA题号9答案BCABDACD三、四、解答题即当AC=BC=2时△ABC面积的最大值为2.……………………2分设三棱锥P一ABC的高为h，则h≤PA=1，当且仅当PA丄平面ABC时等号成立.…………3分所以当AC=BC=2且PA丄平面ABC时三棱锥P一ABC的体积最大.由PA丄平面ABC得PA丄BC，又AC丄BC,PA∩AC=A，5.…………4分设A到平面PBC的距离为d，由VA一PBC=VP一ABC，………………5分得5.……………6分所以A到平面PBC的距离为.（2）如图，在底面ABC内过A作AD丄AC，由（1）则AD,AC,AP两两垂直，以A为坐标原点，AD,AC,AP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,1)．……………………7分)是平面PAB的法向量.则即2z1=0，取n=．………………9分同理，设m=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量，．……………11分所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为0.………………13分则A1,A2,A3两两互斥，A=A1UA2UA3，…………2分所以…………………4分.…………………5分（2）由题意可知，X的可能取值为1,2,3，………6分所以；………………8分当X=2时，取出的3张卡片上的数字为1,2,2或1,2,3或2,2,2或2,2,3，所以；…………10分当X=3时，取出的3张卡片上的数字为1,3,3或2,3,3或3,3,3，所以，…………………12分所以X的分布列为：X123P1329 ………所以.…………15分由已知得，所以sinAcosB=cosA+cosAsinB，所以sin(A一B)=cosA=sin(一A)，………………2分即2AB=或B=（舍…………………4分（1）sinB=cos2A=，………………………6分由正弦定理得.………………………8分（2）2sinA+cosB=2sinA+sin2A，……………9分由B>0,C>0得，<A<.………………………11分记f(A)=2sinA+sin2A,A∈(,)，所以当<A<时，f,(A)>0，函数f(x)单调递增，所以当<A<时，f,(A)<0，函数f(x)单调递减，………13分所以当A=时f(A)取得最大值，即2sinA+cosB的最大值为.…15分（1）证明：方法一：曲线C的渐近线是x轴、y轴， 联立{，得 ·2取F(2,2)，F2(2,2)，……………3分设P(x,y)是曲线C上任意一点，则xy=2，|)22+(y2)2)2………………4分+2y2222+2y22+2y2(x2+y2+8)2(4x+4y)2…………………5分+2y24+2x2y2=16.………6分 |=4·2，所以曲线C是双曲线.……7分方法二：曲线C的渐近线是x轴、y轴， 联立{，得 ·2取F 3分 4分设P(x,y)是曲线C上任意一点，则xy=2，记P到l的距离为d，因为=2，………………6分所以曲线C上任意一点到定点F2的距离与到定值线l的距离之比为定值·，所以曲线C是双曲线.……………………7分（2）方法一：易知直线AB的斜率存在，设AB:y=kx+m，A(x1,y1),B(x2,y2)，x2=0，……………………10分所以或m+k2=0，…………………12分(x1)+2过点M(1,2)，与题意不符，舍去，故k=.………………………13分故直线AB方程为x+m，由题意M到直线AB的距离|2m一3|=·，…………………14分5 15分=k(x1)(k≠2,k≠)，A(x1,y1),B(x2,y2)联立可得，kx2>0,由韦达定理x1=，………9分所以.………………10分同理可得B(2k,)，……………11分所以直线AB斜率为，……………13分故直线AB方程为x+m，由题意M到直线AB的距离5，………………14分得m=4或m=1.……………15分(1)用P(a,b,c,d)表示命题“可将数列{an}的前n项分为4组，使得各组所有项之和分别为23=1；则n(5)≥4；……2分P(2,2,1,0),P(2,1,1,1)，知n(5)=4.……………4分(2)当k=1,2时显然成立，………………………5分k+11)，……8分，……10分注意到ak+11只能写成a1,a2,...,ak中某些项的和，所以Sk≥m(ak+11)，与Sk<m(ak+11)矛盾，(2)得证；……………………11分(3)满足(2)的条件且和为M的数列为“M-4可分割数列”.事实上，依次放置第n张，第(n一1)张，ⅆⅆ，第一张卡片即可，对k=n,n一1,...,1当需要