电路分析基础第2版课件：非正弦周期电流电路

非正弦周期电流电路目录CATALOG滤波器

10.1非正弦周期信号

10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数10.3有效值、平均值和平均功率10.4非正弦周期电流电路的计算10.5应用案例频谱分析仪

(

，★)

(

，★)知

识

图

谱非正弦周期电流电路滤波器

10.5应用案例频谱分析仪

系数求取(

，★)10.1非正弦周期信号：谐波分析法

10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数10.3有效值、平均值和平均功率10.4非正弦周期电流电路的计算对称函数的系数特点频谱图有效值：平均值：平均功率：计算：滤波(无源)(

，★)幅值频谱相位频谱10.1非正弦周期信号

在自然界中，信号的形式多种多样，除了我们前面介绍的直流和正弦信号之外，还有大量的非正弦信号。工程实际中经常遇到的按非正弦规律变化的电源和信号源。0tuT0tuT2T0tuT2Tu0tT

非正弦周期交流信号的特点(1)不是正弦波(2)按周期规律变化

f(t)=f(t+nT)10.1非正弦周期信号10.1.1产生非正弦周期电压和电流的原因1.激励(电源或信号源)本身是非正弦信号0tuT函数信号发生器中的方波电压

0tuT2T电子示波器扫描电压的锯齿波

非正弦电压或电流

线性电路非正弦信号2.电路中含有非线性元件（如二极管半波整流电路）uR0tT输出半波整流R+-+-uSuRD

非线性电路正弦激励

非正弦电压或电流

t0uS输入正弦波因为二极管具有：正偏导通、反偏阻断的单向导电性3.电路中有不同频率的电源共同作用

交直流共存电路

放大电路内部各电流、电压都是交直流共存的非正弦交流电。ui交流信号源IB基极载波ib信号电流iB晶体管输入电流iC晶体管输出电流uCE晶体管输出电压直流电源

非正弦周期信号

随时间按非正弦规律变化的周期性电压和电流。定义例如tu(t)0

上图所示周期性方波电压，是一个典型的非正弦周期信号波，它实际上可以看作是一系列大小不同的、频率成整数倍的正弦波的合成波。u(t)t0u1u3U1m

以一个周期的情况为例进行分析

u3频率是方波频率的3倍，称为方波的3次谐波。

u1与方波同频率，称为方波的1次谐波或者基波。u1和u3的合成波，显然，与u1、u3相比，合成波较接近方波。U1m13tu(t)0u135u5u13U1m15u5频率是方波频率的5倍，称为方波的5次谐波。u13和u5的合成波，与u13相比，显然更接近方波。

由上述分析可得，如果再叠加上一个7次谐波、9次谐波……直到叠加无穷多个，其最后结果肯定与周期性方波电压的波形相重合。结论：一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波，叠加以后可构成

一个非正弦周期信号。

即：一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波，叠加以后

可构成一个非正弦周期波。

方波中的u1、u3、u5等，这些振幅不同、频率分别是非正弦周期波频率k次倍的正弦波统称为非正弦周期波的谐波，并按照频率是非正弦周期波频率的倍数分别称为1次谐波(基波)、3次谐波、5次谐波……。非正弦周期信号谐波的相关概念

谐波与基波的倍数用k表示，k为奇数的谐波称为非正弦周期函数的奇次谐波；k为偶数时则称为非正弦周期波的偶次谐波。而把2次及2次以上的谐波统称为高次谐波。IS0tT/2TImiSIS0IS0三次谐波直流分量+基波+三次谐波一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波，叠加以后可构成一个非正弦周期信号。本章的讨论对象及处理问题的思路：非正弦周期变化的电源线性电路谐波分析法的步骤图示(分析用相量法，叠加在时域内)

RLC+_RLC+_+_+_RL短

C开+_+_+_叠加定理非正弦周期u、i

(稳态响应)10.1.2谐波分析法

----非正弦周期电流电路的分析方法首先，应用傅里叶级数展开的数学方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和；然后，根据叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下在电路中产生的不同频率正弦电流分量和电压分量；最后，把所得分量按时域形式叠加。得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。

这种方法称为谐波分析法。实质上是把非正弦周期电流电路的计算化为直流电路一系列正弦电流电路的计算。思考与练习1．下列4个表达式中，是非正弦周期性电流的为（

）。(B)(C)(D)(A)2．非正弦周期量作用的线性电路中具有叠加性。（

）4．只有电路中激励是非正弦周期信号时，电路中的响应才是非正弦的。（

）5．对已知波形的非正弦周期量，正确写出其傅里叶级数展开式的过程称谐波分析。（

）3．一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波叠加后可构成一个非正弦周期波。（

）6．高于三次谐波的正弦波才能称之为高次谐波。（

）B✖✔✔✔✖思考与练习1.什么叫非正弦周期波，你能举出几个实际中的非正弦周期波的例子吗？

2.电路中产生非正弦周期波的原因是什么？试举例说明。

3.有人说：“只要电源是正弦的，电路中各部分的响应也一定是正弦波”，这种说法对吗？为什么？4.试述谐波分析法的应用范围和应用步骤。

10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数f(t)=f(t+kT)(k=1,2,3,…)

设f(t)为非正弦周期函数，如果满足狄里赫利条件，就可展开为傅立叶级数。极值点的数目为有限个间断点的数目为有限个在一个周期内绝对可积f(t)满足10.2.1非正弦周期函数的傅里叶级数

注意

实际应用中除了直流电和正弦交流电，遇到的激励大多为非正弦周期信号，它们通常都能满足狄里赫利条件。可展开成收敛的傅里叶级数。

任何一个非正弦周期函数表示为傅里叶级数时，理论上都需由无限多项才能逼近原来的波形，但实际工程计算中，一般采用有限项数来近似代替无限多项。所取项数的多少与要求的准确程度有关，即取决于非正弦周期波所含有的谐波成份。+…..10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数傅里叶级数是一个无穷三角级数。展开式中:1)A0—常量，与频率无关（直流分量、零频分量）；2)Akmcos(kω1t+ψk

)

—正弦量，为k次谐波（谐波分量）；A1mcos(ω1t+ψ1

)

一次谐波（或基波分量）3)谐波分类：A0

直流分量A3mcos(3ω1t+ψ3

)

三次谐波Akmcos(kω1t+ψk

)

k次谐波…

……A2mcos(2ω1t+ψ2

)

二次谐波k≥2高次谐波奇次谐波偶次谐波非正弦周期函数的傅里叶级数基波(和原函数同频)二次谐波(2倍频)直流分量k≥2高次谐波+…..周期函数f(t)=f(t+kT)T为周期函数f(t)的周期，k=0，1，2，……满足狄里赫利条件，10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数分解为傅立叶级数，目的是：把复杂周期信号(非正弦信号)视作不同频率简单周期信号(正弦信号)的叠加。系数之间的关系为：f(t)=A0+

Akmcos(k1t+Ψk)--傅里叶级数也可表示成：

k=1求出a0、ak、bk便可得到原函数f(t)

的展开式。系数的计算：利用函数的对称性可使系数的确定简化。注意利用函数的对称性可使系数的确定简化。注意1.函数f(t)的波形在横轴上下部分包围的面积相等，a0=0。T0tf(t)2T

-T/2t

T/2

0

Tf(t)利用函数的对称性可使系数的确定简化。注意f(t)

-T/2t

T/2

0

-T/2t

T/2f(t)

0

如果非正弦周期信号的波形对称于纵轴，其傅里叶级数中只含有余弦项和直流分量，而没有正弦项。如果信号的波形对称于原点，傅里叶级数中不含有直流分量和余弦项，它仅由正弦项所组成。

a0=0，ak=0，bk≠0

3.偶函数，2.奇函数，a0≠0，ak≠0，bk=0

a0=0，ak=0，bk≠0

tf(t)T/2T0

镜像对称，只含有奇次谐波分量，而不含有直流分量和偶次谐波分量。24.奇谐波函数0

2==+-=kbaTtftf)()(，a0-k2=0将f(t)波形移动半个周期后，与原波形对称于横轴。只需计算a2k+1，b2k+1

25.偶谐波函数

+=Ttftf)()(-两个相差半个周期的函数值大小相等，符号相同。偶谐波函数的傅里叶级数中只含直流分量和各偶次谐波分量，而不含有奇次谐波分量。故称偶谐波函数。只需计算a0，a2k，b2k。

tf(t)T/2T0a2k+1，b2k+1

=0=0由于只要求得各谐波分量的振幅和初相，就可确定一个函数的傅里叶级数。在电路中为了直观地表示，常用频谱图表示。频谱——描述各谐波分量振幅和相位随频率变化的图形称为频谱图或频谱。10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数Akm0k

1

1.振幅频谱的图形Akm～k

1

把振幅频谱的顶端用

虚线连接起来，可得

到振幅频谱的包络线。非正弦周期函数的频谱由于只要求得各谐波分量的振幅和初相，就可确定一个函数的傅里叶级数。在电路中为了直观地表示，常用频谱图表示。频谱——描述各谐波分量振幅和相位随频率变化的图形称为频谱图或频谱。1.幅度频谱：f(t)展开式中Akm与(=k1)的关系。反映了各频率成份

的振幅所占的“比重”。因k是正整数，故频谱图是离散的，也称

线频谱。

10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数0的图形k12.相位频谱：以角频率为横坐标,Ψk为纵坐画出的图形(Ψk~的图形)

Akm0k

1

1

2

1

3

1

4

1

k

1

0

2

2谱线Ψk

2.相位频谱的图形k

1Ψk～1.幅度频谱的图形Akm～k

1

1

2

1

3

1

4

1

k

1

0

2

2谱线Ψk

2.相位频谱的图形k

1Ψk～如果把各次谐波的初相用相应线段依次排列还可得到相位频谱。

频谱图中各次谐波的角频率均为非正弦周期波角频率的整数倍，所以频谱是离散的，因此又称为线频谱。

从实际工程计算上讲，只能取傅里叶级数无穷项中的有限项，因此就会有误差问题。如果级数收敛很快，只取级数的前几项就可以了，5次以上谐波可以略去。这种误差在工程应用中是允许的。应用举例例：解：10-1设锯齿波i(t)的波形如图(a)所示，试画出其振幅频谱。其中傅里叶级数为

i0tI-IT/2-T/2T

今后若无说明，均指振幅频谱。i(t)=

2Icos(

1t-90o)+21cos(2

1t+90o)+31cos(3

1t-90o)+41cos(4

1t+90o)+

由于傅里叶级数是收敛的，一般谐波次数越高，振幅越小。0wIkmw12w13w14w15w12I/pI/p2I/3pI/2p检验学习结果1．如果非正弦周期信号的波形对称于原点，其傅里叶级数中不含有（

）

分量和（

）项，仅由（

）项所组成。

2．如果非正弦周期信号的波形移动半个周期后，便与原波形对称于横轴（即镜像

对称），其傅里叶级数中只含有（

）谐波分量，而不含有（

）

分量和（

）谐波分量。3．如果非正弦周期信号的波形对称于纵轴，其傅里叶级数中只含有余弦项和直流

分量，而没有正弦项。（

）直流余弦正弦奇次偶次直流✔4．对已知波形的非正弦周期量，正确写出其傅里叶级数展开式的过程称谐波分析。

（

）5．高于三次谐波的正弦波才能称之为高次谐波。（

）✔✖1.非正弦周期信号的谐波表达式是什么形式？其中每一项的意义是什么？2.举例说明什么是奇次谐波和偶次谐波？波形具有偶半波对称时是否一定有直流成分？3.能否定性地说出具有奇次对称性的波形中都含有哪些谐波成分？4.稳恒直流电和正弦交流电有谐波吗？什么样的波形才具有谐波？试说明。检验学习结果10.3有效值、平均值和平均功率若有效值:一个周期内平方的积分的平均值开平方。非正弦周期函数的有效值结论：为直流分量及各次谐波分量有效值的平方和的平方根。10-2

已知周期电流i=1+0.707cos(ωt-200)+0.42cos(2ωt+500)A，试求其有效值。

例：解：应用举例10.3有效值、平均值和平均功率非正弦周期函数的平均值

以电流i

为例，其定义如下：即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的积分的平均值。正弦电流的平均值为

它相当于正弦电流经过全波整流后的平均值，这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。

用波形因子Kf来反映波形的性质，为有效值与平均值的比值。即例：解：应用举例10-3

计算正弦电压i(t)=Imcosωt的平均值，并求正弦电压的有效值与平均值之比。波形因子

设i(t)=Imcosωt平均值为测量仪表的使用

对非正弦周期电流电路的测量，使用不同的测量仪表将得出不同的结果。

磁电式仪表

(直流仪表)

直流分量

电磁式仪表

有效值

全波整流仪表

平均值非正弦周期电流与电压的测量10.3有效值、平均值和平均功率非正弦周期函数的平均功率利用三角函数的正交性，得：平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率平均功率只取决于电阻，与电容和电感无关，又有若u=u1+u2,i=I0+i1+i32.

若已知电路参数，平均功率还可用以下公式计算：式中，I为非正弦周期电流的有效值。只有同频率的电压谐波和电流谐波才能构成平均功率。

不同频率的电压和电流不能构成平均功率，只能构成瞬时功率。

注意非正弦周期函数的视在功率(3)平均功率：应用举例(1)的有效值：(2)的有效值：

10-4电路如图所示，施加于二端网络N的电压、电流分别为：求(1)的有效值；(3)平均功率。(2)的有效值；，例：解：+-Nab应用举例例：解：

10-5已知某无独立电源的一端口网络的端口电压、电流分别为：试求：(1)电压、电流的有效值；(2)网络消耗的平均功率和网络的功率因数。(1)(2)2.何谓非正弦周期函数的平均值？如何计算？

3.非正弦周期函数的平均功率如何计算？不同频率的谐波电压和电流能否构成平均功率？4.非正弦波的“峰值越大，有效值也越大”的说法对吗？试举例说明。1.非正弦周期量的有效值和正弦周期量的有效值在概念上是否相同？其有效值与它的最大值之间是否也存在的数量关系？思考回答10.4非正弦周期电流电路的计算谐波分析法非正弦周期信号谐波分析法=直流分析+相量法+时域叠加线性定常电路诸次谐波之和(直流分量)分解叠加定理可用直流分量单独作用直流分析法可用各次谐波分别单独作用的稳态解相量法时域叠加可用新问题用老方法10.4非正弦周期电流电路的计算谐波分析法步骤谐波分析法的步骤图示(分析用相量法，在时域内叠加)。RLC+_RLC+_+_+_RL短

C开+_+_+_叠加定理10.4非正弦周期电流电路的计算谐波分析法步骤

对于线性电路，可用叠加定理，即求出直流及各次谐波分量单独作用时的值，然后再叠加。一般步骤：1.将非正弦激励源分解成傅里叶级数(给定或查表)。2.分别计算激励的直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应。画各分电路图注意点：

1)直流分量激励下，C开路，L短路；

2)各次谐波分量激励下，电抗值不同3.各分量产生的分响应的时域形式（瞬时值）叠加求和。IC010V+-I02W2WIL0(b)

(1)

10V分量作用。电路如图(b)所示：IC0=0，I0=IL0=5A(2)100cost

V分量作用，

电路如图(c)所示：iC(t)LRu(t)iL(t)+-i(t)(a)RC+-(c)2W2Wj2W-j2W应用举例解：

10-6

电路如图(a)所示，已知。求：，。例：(3)分量作用，电路如图(d)所示：(4)在时间域进行叠加：+-2W2Wj6W(d)+-(c)2W2Wj2W-j2W+-IL0(b)(1)单独作用：1)

2V分量作用,电路如图(b)所示：2)V分量作用,电路如图(c)

所示：解：例：

10-7电路如图(a)所示，已知，，求：。+-(a)iL(t)iS(t)uS(t)(c)j5S+-j5Ω应用举例(2)单独作用，电路如图(d)所示：(3)和共同作用：(d)j4S(d)+-(a)iL(t)iS(t)uS(t)(1)应用举例解：例：10-8电路如图所示，已知ω=1000rad/s，C=1μF，R=1Ω，在稳态时，uR中不含基波，而二次谐波与电源二次谐波电压相同，求：(1)uS的有效值；(2)电感L1和L2；(3)电源发出的平均功率。其中。(2)并联谐振相当于开路。-+uS+uR-

若使uR中二次谐波与电源二次谐波电压相同，则L1、C

、

L2电路发生串联谐振，即串联谐振相当于短路：(3)-+uS+uR-小结

当激励函数中的直流分量单独作用时，电容相当于开路，电感相当于短路。判断电路是否发生谐振(3)激励函数中各次谐波分别作用时求得的频域响应，必须变成时域响应才能

进行叠加。也就是说，只能用各次谐波的时域函数(瞬时值)进行加减，不同

频率正弦量不能用相量相加。(2)当激励函数中的各谐波分量分别作用时，由于感抗与谐波次数成正比即有

(

)，容抗与谐波次数成反比(

)，因而电路对不同频率

的谐波所呈现的阻抗(或导纳)也必然不同。2.对非正弦周期信号作用下的线性电路应如何计算？计算方法根据什么原理？3.若已知基波作用下的阻抗Z=30+j20Ω，求在三次和五次谐波作用下负载的复阻抗又为多少？4.为什么对各次谐波分量的电压、电流计算可以用相量法？而结果不能用各次谐波响应分量的相量叠加？1.线性R、L、C组成的电路，对不同频率的阻抗分量阻抗值是否相同？变化规律是什么？检验学习结果10.5应用案例10-9若输入信号为非正弦周期信号，试分析电路的输出u0与输入ui相比有何变化？解：例：电感通低频，阻高频：电容通高频，阻低频：滤波电路LLC输入输出++--(a)低通滤波器u0uiCCL输入输出++--u0ui(b)高通滤波器

感抗和容抗对各次谐波的反应不同，这种性质在工程上有广泛的应用。通常

可以利用电感和电容组成不同的电路，接在输入和输出之间，可让某些所需

频率分量顺利通过而抑制某些不需要的分量，这种电路称为滤波器。滤波器是一种有用频率信号顺利通过而同时抑制(或大大衰减)无用频率信号的电子装置。工程上常用来进行信号处理、数据传递和抑制干扰。低通滤波器：使低频电流分量顺利通过，抑制高频电流分量。高通滤波器：使高频电流分量顺利通过，抑制低频电流分量。

是研究电信号频谱结构的仪器，是从事电子产品研发、生产、检验的常用工具，它以图形方式显示信号幅度按频率的分布，它的显示窗口的横坐标表示频率，纵坐标表示信号幅度，可以全景显示，也可以选定带宽测试。其应用十分广泛，用于信号失真度、调制度、频率稳定度和交调失真等信号参数的测量，是一种多用途的电子测量仪器，是对无线电信号进行测量的必备手段。频谱分析仪一、非正弦周期信号：随时间按非正弦规律变化的周期性电压和电流。小结：看看记记产生原因：1.激励(电源或信号源)本身是非正弦信号✔2.电路中含有非线性元件3.电路中有不同频率的电源共同作用非正弦周期电流电路：线性电路在非正弦周期激励下的稳态响应。

2.偶函数：

1.奇函数：f(t)

-T/2t

T/2

0

-T/2t

T/2f(t)

0a0=0二、非正弦周期函数分解为傅里叶级数tf(t)T/2T0tf(t)T/2T023.奇谐波函数：0

2==+-=kbaTtftf)()(，-k2镜像对称，只含有奇次谐波分量。24.偶谐波函数：

+=Ttftf)()(-镜像对称，只含有直流分量和偶次谐波分量。

5.频谱：描述各谐波分量振幅和相位随频率变化的图形称为频谱图或频谱。振幅频谱Akm～k

10k

1Ikmw12w13w14w15w12I/pI/p2I/3pI/2p二、有效值、平均值和平均功率磁电系仪表：恒定分量(直流分量)电磁系仪表：

有效值全波整流仪表：平均值2.平均值：1.有效值：3.平均功率：三、非正弦周期电流电路的计算1.求所给定的非正弦激励源的傅里叶级数(查表)，根据准确度要求

取若干项。2.分别求出激励的直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应。画各分电路图注意点：

1)直流分量激励下，C开路，L短路；2)各次谐波分量激励下，电抗值不同。3.将直流分量和各次谐波分量的瞬时响应叠加求和。能力检测题1．已知某非正弦周期信号在四分之一周期内的波形为一锯齿波，且在横轴上方，幅值等于1V。如图所示，试根据下列情况分别绘出一个周期的波形。u(t)/Vt0T/41(1)u(t)为偶函数，且具有偶半波对称性；(2)u(t)为奇函数，且具有奇半波对称性；(3)u(t)为偶函数，无半波对称性；(4)u(t)为奇函数，无半波对称性；(5)u(t)为偶函数，只含有偶次谐波；(6)u(t)为奇函数，只含有奇次谐波；u(t)/Vt0T/4(1)1u(t)/Vt0T/4(2)1u(t)/Vt0T/41(4)u(t)/Vt0T/41(3)u(t)/Vt01(5)u(t)/Vt0T/41(6)(1)电压的有效值解：2．一个RLC串联电路，其

(2)电路中的电流(3)电路消耗的功率。；，外加电压为。试求：(1)电压的有效值；(2)直流U0=11V作用时,L短路,C开路,I0=0,P0=0。基波作用时,Ri(t)u(t)L+-C二次谐波作用时：Ri(t)u(t)L+-C3．有效值为100V的正弦电压加在电感L两端时得电流I=10