2024-2025学年四川省攀枝花市高三上学期第四次诊断性考试数学试题（含解析）

2024-2025学年四川省攀枝花市高三上学期第四次诊断性考试数学试题注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．已知复数z满足，则z的共轭复数是（

）A． B． C． D．2．已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．36 B．48 C．52 D．663．已知向量，，若，（

）A．2B． C．1 D．04．已知函数,若,则实数的取值范围是（

）A． B．(−∞,−1)∪(1,+∞)C．(−1,0)∪(1,+∞) D．5.2024年10月1日是我国国庆75周年，全国人民以各种各样的形式共同庆祝。我校以文艺演出的形式庆祝，原本准备了4个舞蹈，2个独唱，2个朗诵节目（顺序已定），现节目组临时决定加入一个学生红歌合唱与一个教师红歌合唱，则节目的不同排发一共有（

）种72B.36C.45D.90函数，则函数f(x)的零点个数是（） 2B.3C.1D.07.已知非零实数，集合A是不等式的解集，集合B是不等式的解集。命题P；，命题q:A=B,则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知函数，若，，且，则的最小值为（）A．2B．1 C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知、是夹角为的单位向量，已知，．下列结论正确的有（

）A．B．C． D．在方向上的投影数量为10．已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为2B．点是函数图象的一个对称中心C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称D．函数在区间上单调递增11已知曲线与直线分别相切于点，与直线分别相切于点，且相交于点，则（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。设，集合，则13.已知函数两个极值点分别为椭圆与双曲线的离心率,则实数m的取值范围是__________.14.若不等式恒成立，则实数k的取值范围为解答题:本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。15.（13分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若三角形ABC为锐角三角形，求的取值范围.16.（15分）设函数(1)分析的单调性和极值；(2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；17.(15分）我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科技研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平，并获得了生产技术专利；(1)在研发过程中，对研发时间上x(月)和该产品的厚度y(nm)进行统计，其中1～7月的数据资料如下：x月1234567y（nm）99994532302421现用作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的最小厚度约为多少？(2)某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择：方案一：直接售卖，则每条生产线可卖6万元；方案二：先花22万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖.已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为，且相互独立.若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元.①设3条老旧生产线中改造成功的生产线条数为X，求X的分布列和数学期望；②请判断该企业应选择哪种售卖方案可能更为有利？并说明理由.参考数据：设，.；参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为，．18.（17分）已知正项数列，为其前项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，若数列的前项和为，证明：．19.（17分）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．（i）若，求异面直线和所成角的余弦值；（ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．2024-2025学年四川省攀枝花市高三上学期第四次诊断性考试数学试题注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．已知复数z满足，则z的共轭复数是（

）A． B． C． D．【正确答案】C【难度】0.85【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算【分析】先将化简，最后写出共轭复数即可.【详解】由，得，则z的共轭复数是．m故选：C2．已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．36 B．48 C．52 D．66【正确答案】D【难度】0.85【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和【分析】根据等差数列性质及求和公式进行计算即可.【详解】由，得，得.故选：D3．已知向量，，若，（

）A．2B． C．1 D．0答案】C【难度】0.85【知识点】正、余弦齐次式的计算、由向量共线（平行）求参数【分析】首先利用向量平行得到，然后利用齐次化法将所求式子化成含有的式子即可运算求解.【详解】由于，.故C.4．已知函数,若,则实数的取值范围是（

）A． B．(−∞,−1)∪(1,+∞)C．(−1,0)∪(1,+∞) D．【正确答案】A【详解】当a>0时，-a<0,于是0<a<1,当a<0时，-a>0,于是-1<a<0.故选A5.2024年10月1日是我国国庆75周年，全国人民以各种各样的形式共同庆祝。我校以文艺演出的形式庆祝，原本准备了4个舞蹈，2个独唱，2个朗诵节目（顺序已定），现节目组临时决定加入一个学生红歌合唱与一个教师红歌合唱，则节目的不同排发一共有（

）种72B.36C.45D.90答案：D函数，则函数f(x)的零点个数是（） 2B.3C.1D.0答案：A7.已知非零实数，集合A是不等式的解集，集合B是不等式的解集。命题P；，命题q:A=B,则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：D8.已知函数，若，，且，则的最小值为（）A．2B．1 C． D．答案：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知、是夹角为的单位向量，已知，．下列结论正确的有（

）A．B．C． D．在方向上的投影数量为【正确答案】AD【难度】0.65【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、求投影向量【分析】根据向量的模计算公式求，判断选项A；利用数量积的运算律，判断选项B；求出，求解，判断选项C；根据投影数量计算公式，判断选项D．【详解】对于A，，是夹角为的单位向量，则，A正确；对于B，，B错误；对于C，由A得，，所以，又，所以，C错误；对于D，在上的投影数量为，D正确．故选：AD．10．已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为2B．点是函数图象的一个对称中心C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称D．函数在区间上单调递增【正确答案】BC【难度】0.65【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角函数综合【分析】先将化简为，再结合余弦函数的性质判断4个选项即可.【详解】，故最小正周期为，A错误；，点是一个对称中心，B正确；向左平移个单位长度得到，关于轴对称，C正确；，单调递减，D错误.故选：BC.11已知曲线与直线分别相切于点，与直线分别相切于点，且相交于点，则（

）A． B．C． D．【正确答案】ACD【分析】求导，根据导数几何意义可得，对其整理即可判断AB；对于C：可知fx,gx的图象关于直线对称，根据对称可得，利用基本不等式分析判断；对于D：整理可得，且，构建，利用导数可得，即可判断.【详解】设，则，可知，即，对于选项A：由，整理得，若，则，不满足，不合题意，所以，故A正确；对于选项B：把，代入，即，整理得，故B错误；对于选项C：因为，且fx,gx的图象关于直线所以点A关于直线的对称点为，可得，所以，故C正确；对于选项D：因为直线关于直线对称，则点就是直线与直线的交点，联立方程，可得，即，可得，因为，且，则，由整理可得，令，可知为Fx在1,+∞内的零点，且，因为，则，可得，可知Fx在1,+∞内单调递增，且可知Fx在1,+∞内有唯一零点，且，设，则，可知ℎx在内单调递增，则，所以，故D正确.故选：ACD.关键点点睛：根据对称性分析可知：点就是直线与直线的交点，进而可得，放缩证明即可判断D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。设，集合，则【正确答案】0【分析】根据可知，故.【详解】由可知，又，故.故013.已知函数两个极值点分别为椭圆与双曲线的离心率,则实数m的取值范围是__________.答案：14.若不等式恒成立，则实数k的取值范围为【分析】利用在R上单调递增，将不等式恒成立转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值得的取值范围，再得的最小值.【详解】令，易知在R上单调递增，由得，即，所以，即，令，则，易得，，，，即在上单调递增，在上单调递减，，.解答题:本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。15.（13分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若三角形ABC为锐角三角形，求的取值范围.【正确答案】(1)；(2).【难度】0.65【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用【分析】由正弦定理可得，再由锐角三角形可得的范围，进而可得的范围.【详解】（1）（2）由正弦定理知：，为锐角三角形，则，得，则，所以.16.（15分）设函数(1)分析的单调性和极值；(2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；【正确答案】(1)在单调递减，在单调递增，的极小值为，无极大值.(2)【分析】（1）求导研究函数单调性，求出极值；（2）构造函数，求导后注意到，进而得到，，再验证充分性；【详解】（1）函数，则，令，解得：，且当时，，时，，因此：在单调递减，在单调递增，故的极小值为，无极大值.（2）对任意的，都有成立，即对任意的，恒成立，令，则，注意到：，若要，必须要求，即，亦即，另一方面：当时，因为单调递增，则当时，恒成立，所以在时单调递增，故；故实数的取值范围为：；17.(15分）我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科技研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平，并获得了生产技术专利；(1)在研发过程中，对研发时间上x(月)和该产品的厚度y(nm)进行统计，其中1～7月的数据资料如下：x月1234567y（nm）99994532302421现用作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的最小厚度约为多少？(2)某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择：方案一：直接售卖，则每条生产线可卖6万元；方案二：先花22万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖.已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为，且相互独立.若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元.①设3条老旧生产线中改造成功的生产线条数为X，求X的分布列和数学期望；②请判断该企业应选择哪种售卖方案可能更为有利？并说明理由.参考数据：设，.；参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为，．【正确答案】(1)，13nm(2)①分布列见解析，；②方案二，理由见解析【难度】0.65【知识点】求回归直线方程、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、根据回归方程进行数据估计【分析】（1）设，则，利用回归直线公式可得，则关于的回归方程为，可以估计该产品的"理想"优良厚度约为13nm；（2）①由已知，可得，分别求出X取值时的概率，即可列出分布列，进而求出数学期望；②分别计算两种方案的收益，比较即得.【详解】（1）设，则，所以，，所以，所以关于的回归方程为，所以可以估计该产品的"理想"优良厚度约为13nm．（2）X的取值为，因为每条生产线改造成功的概率均为，且相互独立，所以，所以；；；；所以的分布列为0123所以．②当实施方案一时，设3条生产线的卖价为万元，则；当实施方案二时，设3条生产线的卖价为万元，则，所以的数学期望．因为，所以该企业应选择方案二售卖可能更为有利．18.（17分）已知正项数列，为其前项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，若数列的前项和为，证明：．【正确答案】(1)(2)证明见解析【难度】0.65【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）由，求出，再利用与的关系即可求解数列an的通项公式；（2）利用裂项相消求数列bn的前项和为，再比较与的大小关系即可证明.【详解】（1）由，则在正项数列an中，当时，，整理得，即，所以，当时，，两式相减得，当时，，符合要求，故．（2）由（1）可得，则.19.（17分）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平