2024-2025学年江苏省常州市高三上学期11月月考数学学情调研试题（附解析）

2024-2025学年江苏省常州市高三上学期11月月考数学学情调研试题选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A=x∈Zx≤2，B=x∣x≤a，若A∩BA．[−2,−1] B．[−2,−1) C．(−1,0) D．[−1,0]2.在复平面内，复数(1+i)4A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.在△ABC中，“C>π3”是“sinC>A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.设各项均为正数的等比数列an满足a4⋅a10A．210 B．211 C．115.函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的图象在区间(A．(π6,2π3] B．6．若，则（

）A．40 B．41 C． D．7.若两个正实数x，y满足4x+y=xy，且存在这样的x，y使不等式x+y4<m2A．−1<m<4 B．−4<m<1C．m<−4或m>1 D．m<−3或m>08.已知函数fx是定义域为R的函数，f2+x+f−x=0，对任意x1，x2∈1,+∞x1<x2，均有fxA．−2,2 B．−2,0 C．0,1 D．1,2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中，正确的是（

）A．某组数据的经验回归方程一定过点B．数据，，，，，，19，的分位数是C．甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18D．若一组数据的方差为16，则另一组数据的方差为410.已知△ABC内角A、B、C的对边分别是A．a2B．bcC．若△ABC为锐角三角形，则cbD．若a=26，b=311.已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列结论正确的是()A.的第2项小于3；

B.为等比数列；C.为递减数列；

D.中存在小于的项．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某大学5名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1所学校，每所学校至多接收2名同学.若同学A确定到甲学校，则不同的安排方法共有种.13.在边长为2的菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，AM⋅AB＝514.定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为；若，则数列的通项公式为．四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在中，角所对的边分别为a,b,c，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．16．已知是正项递增的等比数列，且，．数列是等差数列，且．(1)分别求数列和数列的通项公式；(2)设，求数列前n项和．17.如图，三棱柱中，侧面底面，△是边长为的正三角形，，与平面所成角为45°．(1)证明：平面；(2)若点为中点，点为棱上一点，且满足，是否存在使得平面与平面夹角余弦为，若存在求出值，存不存在请说明理由．18．已知函数，.(1)若，求函数在点处的切线；(2)若对任意的，，有恒成立，求实数的取值范围.19.某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩(单位：分)，绘制了频率直方图，如图所示．(1)根据频率直方图，求样本平均数的估计值；(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为eq\f(1,8)，设他获得二等奖的概率为P，求P的最小值．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997.答案一、单选题1.已知集合A=x∈Zx≤2，B=x∣x≤aA．[−2,−1] B．[−2,−1) C．(−1,0) D．[−1,0]【正确答案】B2.在复平面内，复数(1+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正确答案】B3.在△ABC中，“C>π3”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】B4.设各项均为正数的等比数列an满足a4⋅A．210 B．211 C．11【正确答案】C5.函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)A．(π6,2π3] B．【正确答案】C6．若，则（

）A．40 B．41 C． D．【正确答案】B7.若两个正实数x，y满足4x+y=xy，且存在这样的x，y使不等式x+y4<A．−1<m<4 B．−4<m<1C．m<−4或m>1 D．m<−3或m>0【正确答案】C8.已知函数fx是定义域为R的函数，f2+x+f−x=0，对任意x1，x2∈1,+∞x1<x2，均有A．−2,2 B．−2,0 C．0,1 D．1,2【正确答案】D由f2+x+f−x=0，得f1由对任意x1，x2∈可知函数fx在1,+又因为函数fx的定义域为R所以函数fx在R因为a，ba≠b为关于x的方程x2所以Δ=4−4t2且a+b=2，即b=2−a．又f2+x令x=−a，则fa则由fa+fb所以t>1．综上，t的取值范围是1,2．故选：D．二、多选题9.下列说法中，正确的是（

）A．某组数据的经验回归方程一定过点B．数据，，，，，，19，的分位数是C．甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18D．若一组数据的方差为16，则另一组数据的方差为4【正确答案】ACD10.已知△ABC内角A、B、A．aB．bcC．若△ABC为锐角三角形，则cD．若a=26，b=3【正确答案】BCD由A=2B，得sinA=由正弦定理得a=2bcosB，由余弦定理得则c−ba当b≠c时，a2−b当b=c时，B=C，又A=2B，所以A=90所以a=2b，所以所以a2=bb+c由a2=bb+c当且仅当b=c时，故选项B正确；在△ABC中，sinB≠0，由正弦定理，c=2若△ABC为锐角三角形，又A=2B，则B∈0，π4，C=π−3B<所以B∈π6，π4所以4cos2B−1∈在△ABC中，由正弦定理asin又A=2B，a=26，b=3得3sinB由余弦定理，b2得9=24+c整理得c2−8c+15=0，解得c=5，或当c=3时，有C=B，又A=2B，所以B=C=45因为b2+c2≠故选：BCD．11.已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列结论正确的是()A.的第2项小于3；

B.为等比数列；C.为递减数列；

D.中存在小于的项．【正确答案】ACD三、填空题12.某大学5名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1所学校，每所学校至多接收2名同学.若同学A确定到甲学校，则不同的安排方法共有种.【正确答案】3013.在边长为2的菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，AM⋅AB＝5【正确答案】13因为边长为2的菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，所以AM＝AB+因为AM⋅AB＝5所以AB⋅AD＝12故13214．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为；若，则数列的通项公式为．【正确答案】四、解答题15．在中，角所对的边分别为a,b,c，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设，，则根据余弦定理得，即，解得（负舍）；则.（2）法一：因为为三角形内角，所以，再根据正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因为，则（3）法一：因为，且B∈0,π，所以，由（2）法一知，因为，则，所以，则，.法二：，则，因为为三角形内角，所以，所以16．已知是正项递增的等比数列，且，．数列是等差数列，且．(1)分别求数列和数列的通项公式；(2)设，求数列前n项和．【正确答案】(1)，(2)【分析】（1）应用等比数列通项公式建立方程组可解出，利用待定系数法可求出；（2）应用等比数列求和公式与裂项相消方法可求出.【详解】（1）解：设等比数列的公比为q，且有，由于解得所以数列的通项公式为．由于是等差数列，设，则有，所以,解得所以数列的通项公式为．（2）解：由（1）知，，所以．17．已知函数，.(1)若，求函数在点处的切线；(2)若对任意的，，有恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）求导，可得切点处的斜率，即可由点斜式求解直线方程，（2）将不等式变形为，构造函数，利用单调性与导数之间的关系，分离参数即可求解，或者利用分类讨论，求解导函数的正负求解.【详解】（1），当，时，，，故切线方程为：,即；（2）法一：不妨设，则，同除以得，所以在0,+∞单调递增，所以.①若，恒成立，符合题意.②若，则恒成立.令，则，令，则，所以Fx在单调递增，在单调递减，所以，所以.③若，同理，恒成立，由②可知，当时，，所以不存在满足条件的.综上所述，.法二：，令，则只需在0,+∞单调递增，即恒成立；，令，则恒成立；又，①当时，，ℎx在0,+∞单调递增成立；②当时，ℎ′x>0，ℎx又当时，，故不恒成立，不满足题意；③当时，由ℎ′x>0得则ℎx在单调递减，在单调递增，因为恒成立，所以，解得，故；综上，实数的取值范围是.18.如图，三棱柱中，侧面底面，△是边长为的正三角形，，与平面所成角为45°．(1)证明：平面；(2)若点为中点，点为棱上一点，且满足，是否存在使得平面与平面夹角余弦为，若存在求出值，存不存在请说明理由．【正确答案】(1)证明见解析；(2)存在，或【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、空间垂直的转化、已知面面角求其他量【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法的二面角公式求解即可.【详解】（1）取中点，连结，∵△为正三角形，∴，∵侧面底面,平面，平面平面，∴面，∵与平面所成角为45°，∴即为与平面所成角，即°，∵∴，∴即，∵侧面底面，平面，平面平面，∴平面.（2）由（1）可得、且，连接DE，则由题，所以，，所以两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，设，则，，∴，，,，设平面法向量，平面法向量，则，即，令，解得，即，，即，令，解得，即，∴，即，解得或，∴存在或使得平面与平面夹角余弦为.19.某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩(单位：分)，绘制了频率直方图，如图所示．(1)根据频率直方图，求样本平均数的估计值；(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为eq\f(1,8)，设他获得二等奖的概率为P，求P的最小值．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997.解(1)设样本平均数的估计值为eq\x\to(x)，则eq\x\to(x)＝10×(40×0.01＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62，所以样本平均数的估计值为62.(2)因为学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝62，σ≈14.所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90，所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈eq\f(1,2)×(1－0.954)＝0.023.所以估计能参加复试的人数为0．023×8000＝184.(3)由该学生获一等奖的概率为eq\f(1,8)可知，a2b＝eq\f(1,8)，则P＝a2(1－b)＋Ceq\o\al(1,2)a(1－a)b＝a2＋2ab－eq\f(3,8)＝a2＋eq\f(1,4a)－eq\f(3,8).令P＝f(a)＝a2＋eq\f(1,4a)－eq\f(3,8)，0<a<1，则f′(a)＝2a－eq\f(1,4a2)＝eq\f(8a3－1,4a2)＝eq