2024-2025学年广东省江门市台山一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省江门市台山一中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x−y+1=0的倾斜角是(

)A.π6 B.π4 C.π32.已知α，β是两个不重合的平面，且直线l⊥α，则“α⊥β”是“l//β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知一组数据：2，5，7，x，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为(

)A.7 B.6.5 C.6 D.5.54.直线l1：ax−y+2025=0，l2：(3a−2)x+ay−2a=0，若l1⊥l2A.0 B.1 C.0或1 D.13或5.已知点Q(1,2,3)，平面α={P|n⋅PQ=0}，其中n=(2,−1,2)，则点A(−1,0,1)到平面A.53 B.73 C.2 6.已知点P是椭圆x225+y216=1上一动点，Q是圆(x+3)A.4 B.5 C.6 D.77.已知正三角形ABC的边长为1，D在平面ABC内，若向量AD满足AD2−4AD⋅AB+3=0A.3+1 B.3−1 C.8.如图，在四棱锥P−ABCD中，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，PA=5，AB=2，则四棱锥P−ABCD内切球的体积为(

)A.354π

B.4327二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m被抽到的概率是0.2

B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5

C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17

D.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1−1，210.抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是(

)A.事件A与事件B互为对立事件 B.P(BC)=16

C.P(AB−∪BC−11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1A.当E点运动时，A1C⊥AE总成立

B.当E向D1运动时，二面角A−EF−B逐渐变小

C.二面角E−AB−C的最小值为45°

D.三棱锥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.两直线3x+y−3=0与6x+my−1=0平行，则它们之间的距离为______．13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是

．14.在平面直角坐标系中，已知圆M：x2+y2+2x=1，直线l：2x−y−3=0，过l上一点P作圆M的切线，切点为A四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平面直角坐标系中，圆O：x2+y2=8，点P(−4,2)，

(1)若A是圆O上的动点，线段AP的中点为M，求M的轨迹方程；

(2)以OP为直径的圆交圆O于C，D16.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是等腰三角形，∠ACB=120°，AC=BC=AA1，D，E分别是棱AB，B1C1的中点．

(1)求证：DE//平面17.(本小题15分)

某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在160 cm到184 cm之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率估计概率．

(1)若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；(2)试估计该校高一年级全体男生身高的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)与中位数；(3)现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．

(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；

(2)设PM=tMC，若二面角M−BQ−C的平面角的大小为30°19.(本小题17分)

定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记|MN|的最大值为m，|MN|的最小值为n，若m=2n，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“E−F”的“钻石点”.已知圆A：(x+1)2+(y+1)2=13，P为圆A的“黄金点”

(1)求点P所在曲线的方程．

(2)已知圆B：(x−2)2+(y−2)2=1，P，Q均为圆“A−B”的“钻石点”．

(ⅰ)求直线PQ的方程．

(ⅱ)若圆H是以线段PQ为直径的圆，直线l：y=kx+13与圆H交于I，参考答案1.B

2.B

3.B

4.C

5.C

6.C

7.A

8.B

9.AD

10.BC

11.ACD

12.1013.0.18

14.3

15.解：(1)设M(x,y)，A(x0,y0)，

根据M为AP中点，可得x=x0−42y=y0+22，整理得x0=2x+4y0=2y−2，

将A(2x+4,2y−2)代入圆O方程，可得(2x+4)2+(2y−2)2=8，

化简得(x+2)2+(y−1)2=2，即为点M的轨迹方程．

综上所述，动点M的轨迹方程为(x+2)2+(y−1)2=2；

(2)如图所示：

OP的中点坐标为(−2,1)，且|OP|=16+4=25，

可得以OP为直径的圆的方程为(x+2)2+(y−1)2=5，即x2+y216.(1)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，∠ACB=120°，取AB中点D，连接CD，

则CD⊥AB，过点D作Dz//AA1，由AA1⊥平面ABC，得Dz⊥平面ABC，

则直线DB，DC，Dz两两垂直，以点D为原点，直线DB，DC，Dz分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设AC=2，则D(0,0,0),A(−3,0,0),C(0,1,0),C1(0,1,2),E(32,12,2)，

则DE=(32,12,2)，AC=(3,1,0)，AC1=(3,1,2)，

设平面ACC1A1的法向量n=(x,y,z)，

则n⋅AC=0n⋅AC1=0，即3x+y=03x+y+2z=0，

取x=1，得n=(1,−3,0)，

于是DE⋅n=32−32+0=0，

即DE17.解：(1)学校要从中选1名男生担任足球队长，

由频率分布直方图得被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率：

P=(0.02+0.01)×4=0.12．

(2)估计该校高一年级全体男生身高的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)为：

x−=162×0.05×4+166×0.07×4+170×0.08×4+174×0.02×4+178×0.02×4+182×0.01×4=168.72．

由频率分布直方图得[160,168)的频率为：

(0.05+0.07)×4=0.48，

[168,172)的频率为：0.08×4=0.32，

∴中位数为：168+0.5−0.480.32×4=168.25．

(3)第5组有：0.02×4×50=4名男生，

第6组有：0.01×4×50=2名男生，

现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，

基本事件部数n=C62=15，

选取的两人中最多有1名男生来自第5组包含的基本事件个数：

m=C418.(1)求证：∵AD/​/BC，BC=12AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．

∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，BQ⊂平面ABCD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD；

(2)解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则面BQC的法向量为n=(0,0,1)；

Q(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，C(−1,3,0).

设M(x,y,z)，则PM=(x,y,z−3)，MC=(−1−x,3−y,−z)，

∵PM=tMC，∴PM=tMC，则x=t(−1−x)y=t(3−y)z−3=t(−z)，

即x=−t1+t,y=3t1+t,z=31+t，

在平面19.解：(1)由题，点P为圆A的“黄金点”，

所以|PA|+33=2(|PA|−33)，

解得|PA|=3，

故点P的轨迹是以A(−1,−1)为圆心，3为半径的圆，

所以点P所在曲线的方程为(x+1)2+(y+1)2=3；

(2)(ⅰ)由题有，|PB|+1=2(|PB|−1)，

则|PB|=3，即点P在圆(x−2)2+(y−2)2=9上，

所以P是圆(x+1)2+(y+1)2=3和(x−2)2+(y−2)2=9的交点，

因为P，Q均为圆“A−B”的“钻石点”，

所以