广东省深圳市南山区桃源中学2022-2023学年九年级数学上学期第一次月考（21.1-23.3）数学测试题 （解析版）

2022-2023学年人教版广东省深圳市南山区桃源中学九年级数学上册第一次月考（21.1-23.3）数学测试题一、选择题（每题3分，共36分）1.下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得.【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；D、轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意，故选C【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕B点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（）A.30° B.60° C.90° D.150°【答案】B【解析】【分析】先利用互余得到∠A=60°，再根据旋转的性质得CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′=60°，从而得到旋转角的度数．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，∴CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′=60°，即旋转角度为60°．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明△ACA′为等边三角形，3.对于二次函数，下列结论错误的是（）A.它的图像与轴有两个交点 B.方程的两根之积为C.它的图像的对称轴在轴的右侧 D.时，随的增大而减小【答案】C【解析】【分析】直接利用二次函数与轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．【详解】解：A、∵，∴二次函数的图像与轴有两个交点，该选项结论正确，故此选项不符合题意；B、方程，即的两根之积=，该选项结论正确，故此选项不符合题意；C、∵的值不能确定，∴它的图像的对称轴位置无法确定，该选项结论错误，故此选项符合题意；D、∵，对称轴，∴时，随的增大而减小，该选项结论正确，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识．正确掌握二次函数的性质是解题关键．4.已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于()A.7 B.7或6 C.6或﹣7 D.6【答案】B【解析】【分析】当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论．【详解】当m=4或n=4时，即x=4，∴方程为42﹣6×4+k+2=0，解得：k=6；当m=n时，﹣6+k+2=0∵，，，∴，解得：，综上所述，k的值等于6或7，故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键．5.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．【详解】∵高CH=1cm，BD=2cm，且B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x-3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1-3）2，解得a=，∴右边抛物线的解析式为y=（x-3）2，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．6.若，则的值为（）A.3 B. C.3或 D.或2【答案】A【解析】【分析】先将等式变形为，再由十字相乘法解一元二次方程可得．【详解】解∶，解得或，故选：A．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，十字相乘法解一元二次方程，整体的数学思想是解题的关键．7.已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（）A.﹣3或1 B.3或﹣1 C.3 D.1【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算出再代入分式计算，即可求得．【详解】解：由根与系数的关系得：，,即,解得：或,而当时，原方程，无实数根，不符合题意，应舍去，∴

故选C．【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系应用，求得结果后需进行检验是顺利解题的关键．8.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图像可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】A、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．B、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像应开口向下，故不合题意，图形错误．C、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，D、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．故选：C．9.当x=1或﹣3时，代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，则函数y=ax2+(b﹣m)x+c﹣n与x轴的交点为()A.(1，0)和(﹣3，0) B.(﹣1，0) C.(3，0) D.(﹣1，0)和(3，0)【答案】A【解析】【分析】此题属于二次函数相关知识，根据题意将原代数式转化为二次函数形式，将一元二次方程的根转换为二次函数图像与x轴交点的问题即可．【详解】代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，即ax2+bx+c=mx+n，则ax2+(b﹣m)x+c﹣n=0，则y=ax2+(b﹣m)x+c﹣n与x轴的交点为(1，0)和(﹣3，0)．故选：A．【点睛】此题根据二次函数与一元二次方程解的关系，考查二次函数图像与坐标轴交点问题，难度一般．10.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】①0≤x≤4时，y=S△ABD﹣S△APQ=×4×4﹣•x•x=﹣x2+8，②4≤x≤8时，y=S△BCD﹣S△CPQ=×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x）=﹣（8﹣x）2+8，∴y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．故选B．11.二次函数的部分图像如图所示，图像过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图像上，则；（5）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【解析】【分析】①正确，根据对称轴公式计算即可．②错误，利用x=-3时，y<0，即可判断，③正确．由图像可知抛物线经过(-1，0)和(5，0)列出方程组求出a、b即可判断．④错误，利用函数图像即可判断．⑤正确，利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【详解】①正确：∵，所以4a+b=0．故①正确．②错误：∵x=-3时，y<0，∴9a-3b+c<0，∴9a+c<3b，故②错误．③正确，由图像可知抛物线经过(-1，0)和(5，0)，∴a-b+c=025a+5b+c=0解得b=-4a，c=-5a，∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，∵a<0，∴8a+7b+2c>0，故③正确．④错误，∵点A(-3，y1)、点B(-，y2)、点C(，y3)∵3.5-2=1.5，2-(-0.5)=2.5，∴1.5<2.5点C离对称轴的距离近，∴y3>y2，∵a<0，-3<-0.5<2，∴y1<y2∴y1<y2<y3，故④错误．⑤正确．∵a<0，∴(x+1)(x-5)=->0，即(x+1)(x-5)>0，故x<-1或x>5，故⑤正确．∴正确的有三个，故选B．【点睛】本题考查抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图像信息解决问题，属于中考常考题型．12.已知二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如图，解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围．【详解】解：如图，当时，，解得，，则，，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为，即，当直线经过点时，，解得；当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得，所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与轴交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．二、填空题（每个小题4分，共16分）13.关于x的二次函数，当时，y随取x的增大而增大，则实数m的取值范围是___________．【答案】##【解析】【分析】关于x的二次函数，当时，y随取x的增大而增大，则，即可求解．【详解】解：函数的对称轴为直线，∵当时，y随取x的增大而增大，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查的是抛物线的性质，熟练掌握二次函数和增减性是解题的关键．14.已知是方程的两根，则=_____________．【答案】【解析】【分析】先由根与系数的关系结合方程的解可得可得再整体代入求值即可．【详解】解：∵是方程的两根，∴∴∴∴，故答案为：.【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的含义，掌握“利用解的含义与根与系数的关系构建整体代入”是解本题的关键．15.二次函数在上有最小值，则的值为_________．扩展：已知二次函数（h为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为_______________．【答案】①.或②.或【解析】【分析】（1）：分三种情况考虑：对称轴在的左边，对称轴在到的之间，对称轴在的右边，当对称轴在的左边和对称轴在的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时的值，然后把此时的的值与代入二次函数解析式即可求出的值；当对称轴在到的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于，列出关于的方程，求出方程的解即可得到满足题意的值；（2）：由解析式可知该函数在时取得最小值，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，根据时，函数值的最小值为，可分如下三种情况：①若时，当时，取得最小值；②若时，当时，取得最小值，与题意不符；③若，当时，取得最小值，分别列出关于的方程求解即可．【详解】解：（1）二次函数的对称轴为，分三种情况：当，即时，二次函数在上y随x的增大而增大，∴当时，有最小值为，把代入中，得：，解得：；当，即时，二次函数在上y随x的增大而减小，∴当时，有最小值为，把代入中，得：，解得：，舍去；当，即时，此时抛物线的顶点为最低点，∴顶点的纵坐标为，解得：或（舍去）．综上所述，的值为或．故答案为：或．（2）∵二次函数（h为常数），∴该函数在时取得最小值，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，①若时，当时，取得最小值，可得：，解得：或（舍去）；②若时，当时，取得最小值，与题意不符；③若，当时，取得最小值，可得：，解得：或（舍去）．综上所述，的值为或．故答案为：或．【点睛】本题考查二次函数的性质和二次函数最值的求法，一元二次方程等知识点．求二次函数最值时应注意顶点能否取到．根据二次函数的性质和最值进行分类讨论是解题的关键．16.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为_____．【答案】【解析】【分析】先求出∠ACD=30°，进而可算出CE、AD，再算出△AEC的面积．【详解】如图，由旋转的性质可知：AC=AC'，∵D为AC'的中点，∴AD=，∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴∠ACD=30°，∵AB∥CD，∴∠CAB=30°，∴∠C'AB'=∠CAB=30°，∴∠EAC=30°，∴AE=EC，∴DE=，∴CE=，DE=，AD=，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、直角三角形中30度角的性质，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．三、解答题17.选择适当的方法解一元二次方程（1）（2）【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求解．（2）先把化成，再利用因式分解法求解．【小问1详解】解：，∴，即，∴，．【小问2详解】，∴，∴∴．【点睛】本题考查选用适当方法解一元二次方程．当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的式子的特点解出方程的根．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．熟练掌握并运用一元二次方程的解法是解题的关键．18.已知关于x的一元二次方程．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为，且，求m的值．【答案】（1）-2；（2）2【解析】【分析】（1）根据判别式即可求出m的取值范围，进而得到答案；（2）根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：（1）根据题意得，解得，∴m的最小整数值为；（2）根据题意得，∵，∴，∴，整理得，解得，∵，∴m的值为2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键．19.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．（1）求点P与点Q之间的距离；

（2）求∠APB的度数．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】解：（1）连接PQ，由旋转性质有：，，，，即，是正三角形，，，是正三角形，；（2）在中，，，，，．20.超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件，根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件．（1）请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围．（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？【答案】（1）（2）10（3）当x为20时w最大，最大值是2400元【解析】【分析】（1）根据“利润为40元每天可售出50件，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式；再根据该玩具每件利润不能超过60元，得出x的取值范围；（2）根据利润为2250元列出一元二次方程，解方程舍去不合题意的解即可；（3）根据每天的利润＝每件的利润×销售量列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数最值．【小问1详解】解：由题意得，，∵该玩具每件利润不能超过60元，∴，解得：，∴，∴y与x之间的函数表达式为：；【小问2详解】解：根据题意得：，解得：，，∵，∴，答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；【小问3详解】解：根据题意得：，∵，∴当时，w随x的增大而增大，∴当时，w取最大值，最大值为，答：当x为20时w最大，最大值是2400元．【点睛】本题考查了列一次函数关系式，一元二次方程的应用以及二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题的关键．21.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），（1）求抛物线的解析式．求支柱EF的长度．（2）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．【答案】（1）抛物线的表达式，支柱EF的长度是5.5米（2）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车，利用见解析【解析】【分析】（1）根据题目可知A，B，C坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．再把代入抛物线的解析式求解可求出支柱MN的长度．（2）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．【小问1详解】解：根据题目条件A，B，C的坐标分别是（-10，0），（10，0），（0，6），设抛物线的解析式为，将B，C的坐标代入，得解得所以抛物线的表达式．当时，从而支柱EF的长度是10-4.5=5.5米．【小问2详解】如图，设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则G点坐标是（7，0）．过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．【点睛】本题考查的是待定系数法求抛物线的解析式、点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解本题的关键．22.如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）当t=2时，MN有最大值4（3）D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）【解析】【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式．（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值．（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．【详解】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）．将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=．∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）如图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t．∵，∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．又∵N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2．∴．∴当t=2时，MN有最大值4．（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．如图2，以A、M、N、D为顶点