广东省深圳第二实验学校2021-2022学年九年级上学期开学数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省深圳第二实验学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分）1.下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（）A.﹣2 B.0 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根据不等式解集的定义即可得出结论．【详解】解：∵不等式x＞2的解集是所有大于2的数，∴3是不等式的解．故选：D．【点睛】本题考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解是解答此题的关键．2.使分式有意义的条件是（）A.x＝0 B.x≠1 C.x≠﹣1 D.x≠±1【答案】B【解析】【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，1-x≠0，解得x≠1．故选：B．【点睛】本题考查使分式有意义的条件即分母不能为0，对此进行列式计算即可，难度较小．3.下列标志中不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是中心对称图形，故A选项错误；B、是中心对称图形，故B选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项正确；D、是中心对称图形，故D选项错误；故选C．考点：中心对称图形；轴对称图形．4.如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE＝2cm，则平移的距离为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据平移的性质，结合图形，可直接求得结果．【详解】解：根据图形可得：线段BE的长度即是平移的距离，∴平移的距离为2cm，故选：B．【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离．注意结合图形解题的思想．5.若a﹣b＝2，ab＝3，则a2b﹣ab2的值为（）A.6 B.5 C.﹣6 D.﹣5【答案】A【解析】【分析】直接将原式提取公因式ab，进而分解因式将已知代入求出答案．【详解】解：∵a-b=2，ab=3，∴a2b-ab2=ab（a-b）=3×2=6．故选：A．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式解题关键．6.如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于F，再分别以B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧相交于点G，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A.11 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】连接EF，根据题意得出AE垂直平分BF，AF=AB=5，得出OB=OF=3，∠BAE=∠FAE，由勾股定理求出OA，再证出BE=AB=AF，得出四边形ABEF是平行四边形，由平行四边形的性质得出OA=OE=AE，即可得出AE=2OA=8．【详解】解：连接EF，有作图可知AE平分∠BAD，AB=AF=5，∴OB=OF=BF=3，AE⊥BF，在Rt△AOB中，AO==4，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∵AB=AF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AE=2AO=8．故选C．7.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝1，则AB的长是（）A.1 B.2 C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD，然后判断出△AOD是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出OD=AD，然后求出BD，再利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OB=OD，∵∠AOD=60°，∴△AOD是等边三角形，∴OD=AD=1，∴BD=1+1=2，由勾股定理得，AB=，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质并判断出△AOD是等边三角形是解题的关键．8.如图，已知一次函数y＝k1x+b1与一次函数y＝k2x+b2的图象相交于点（2，1），则不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集是（）A.x＞3 B.x＞2 C.x＜2 D.x＜0【答案】C【解析】【分析】看两函数交点坐标左边的图象所对应的自变量的取值即可．【详解】解：一次函数y=k1x+b1与一次函数y=k2x+b2的图象相交于点（2，1），所以不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集是x＜2．故选C．【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．9.如图，在坐标系中，满足将O﹣A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣O所围成的面积平分的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条【答案】C【解析】【分析】把图形利用割补法得到矩形，然后作矩形的对角线找出中心，然后作出直线即可得解．【详解】解：如图：故选：C．【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，利用割补法把图形分成矩形是解题的关键．10.如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE=AD；②∠AED=∠CED；③BH=HF；④，其中正确的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】A【解析】【分析】设AB=a，则AD=a，用a表示出AE长度可判断①；证明DH=DC即可说明②；证明△DHF≌EBH，可判断③；用含a是式子表示BC-CF与2HE比较即可判断④．【详解】解：①设AB=a，则AD=a，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∴BA=BE．∴在Rt△ABE中，AE=a，∴AE=AD．①正确；②∵DH⊥AH，∠DAE=45°，AD=a，∴DH=AH=a．∴DH=DC．根据到角两边距离相等点在角的平分线上定理可知DE平分∠AEC，即②∠AED=∠CED正确；③∵AH=AB=a，∴∠ABH=∠AHB．∵AB∥CD，∴∠ABF+∠DFB=180°．又∠AHB+∠BHE=180°，∴∠BHE=∠HFD．∠HEB=∠FDH=45°，又BE=DH=a，∴△BHE≌△HFD（AAS），∴BH=HF，③正确；⑤BC=a，CF=2a-a，HE=a−a，∴BC-CF=2HE，∴④正确；综上所述，正确的是①②③④共4个．故选A．【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质.二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.分解因式：______________．【答案】4x（x+1）（x-1）【解析】【详解】4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1).故答案为4x(x+1)(x-1).12.若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于____度．【答案】1800【解析】【详解】多边形的外角和等于360°，则正多边形的边数是360°÷30°=12，所以正多边形的内角和为.13.等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为__________________.【答案】4或6##6或4【解析】【分析】此题应分两种情况讨论，4可能为底边，也可能为腰长，且两种情况都成立.【详解】解：当腰是4时，则另两边是4，6，且4+4＞6，6-4＜4，满足三边关系定理，当底边是4时，另两边长是5，5，5+4＞5，5-4＜5，满足三边关系定理，∴该等腰三角形的底边为4或6，故答案为：4或6．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中．14.已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为_____，面积为_____．【答案】①.10cm，②.50cm2【解析】【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．【详解】根据已知可得，菱形的边长AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO=，∴BD=2BO=10（cm），则S菱形ABCD=×AC×BD=×10×10=50（cm2）；故答案为10cm，50cm2．【点睛】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以相应底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积．15.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分面积为___．【答案】【解析】【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积-四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【详解】解：如图，设与的交点为，连接，在和中，，，，∵旋转角为30°，，，，∴阴影部分的面积=，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（本题共55分）16.解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】﹣3≤x＜2，画图见解析【解析】【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．【详解】解：解不等式①得，x≥﹣3，解不等式②得，x＜2，∴不等式组的解集为：﹣3≤x＜2，在数轴上表示为：【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法.17.先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．【答案】，【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【详解】解：===将x=-1代入，原式==．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.解分式方程：+＝2．【答案】x=1【解析】【分析】首先方程两边同时乘以最简公分母，通过整理解整式方程即可，最后要把x的值代入最简公分母进行检验．【详解】解：方程两边同乘以x-2得：，解得：x=1，经检验：x=1是原方程的解．【点睛】本题主要考查解分式方程，关键在于求出分式方程的最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解即可．19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（0，1）．（1）画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）尺规作图：连接A1A2，在C1A2边上求作一点P，使得点P到A1A2的距离等于PC1的长（保留作图痕迹，不写作法）；（4）请直接写出∠C1A1P的度数．【答案】（1）C1（0，﹣1）；图见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）22.5°.【解析】【分析】（1）分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1即可；（2）分别作出A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可；（3）作∠C1A1A2的角平分线交C1A2于P即可；（4）根据角平分线的定义即可解决问题；【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示，并写出点C1的坐标（0，﹣1）；（2）△A2B2C2如图所示；（3）点P如图所示；（4）请直接写出∠C1A1P的度数为22.5°；【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、轴对称变换、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.深圳文博会期间，某展商展出了A、B两种商品，已知用120元可购得的A种商品比B种商品多2件，B种商品的单价是A种商品的1.5倍．（1）求A、B两种商品的单价各是多少元？（2）小亮用不超过260元购买A、B两种商品共10件，并且A种商品的数量不超过B种商品数量的2倍，那么他有哪几种购买方案？并说明哪种是最优方案．【答案】（1）A种商品的单价为20元，B种商品的单价为30元；（2）见解析【解析】【分析】（1）设A种商品的单价为x元，根据用120元可购得的A种商品比B种商品多2件，列出方程，解之检验可得；（2）设购买A种商品a件，根据A种商品的数量不超过B种商品数量的2倍，总费用不超过260元列出不等式组，解之得到整数解，从而得到方案，分别计算出每种方案所需费用可得结果．【详解】解：（1）设A种商品的单价为x元，由题意可得：，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解，∴1.5x=30，∴A种商品的单价为20元，B种商品的单价为30元；（2）设购买A种商品a件，则B种商品10-a件，，解得：4≤a≤，∴a可以取的整数为4，5，6，∴共有3种购买方案：方案一：购买A种商品4件，则B种商品6件，所需费用：20×4+30×6=260元；方案二：购买A种商品5件，则B种商品5件，所需费用：20×5+30×5=250元；方案三：购买A种商品6件，则B种商品4件，所需费用：20×6+30×4=240元；∴方案三是最优方案．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系和不等关系，列出方程和不等式组．21.如图，在四边形ABCD中，，AB=AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．（1）求证：四边形ABCD菱形；（2）若AB=，OE=2，求线段CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据菱形的判定即可得证；（2）先根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后利用勾股定理可得，最后根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得．详解】（1）∵，∴，∵AC为的平分线，∴，∴，∴，，，又∵，∴四边形ABCD是平行四边形，又，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴，∵，，∴，，，∴，在和中，，∴，，即，解得．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），找出两个相似三角形是解题关键．22.如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．【答案】（1）EF=BE+DF．证明见解析；（2）AM=AB；（3）AM=AB．证明见解析【解析】【分析】（1）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据四边形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，证△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，证△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可．（2）根据△EAQ≌△EAF，EF=BQ，得出×BQ×AB=×FE×AM，求出即可；（3）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据折叠和已知得出AD=AB，∠D