广东省深圳市龙华区2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省深圳市龙华区九年级第一学期联考数学试卷（12月份）一、选择题（共10小题，每小题3分）1.下列函数中是二次函数的是（）A.y＝x+1 B. C.y＝ax2+bx+c D.y＝x2【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．【详解】A.y＝x+1，是一次函数，故该选项不符合题意；B.，不是二次函数，故该选项不符合题意；C.y＝ax2+bx+c，当是二次函数，故该选项符合题意；D.y＝x2，二次函数，故该选项符合题意；故选D【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题的关键．2.下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：、主视图、俯视图都是正方形，故不符合题意；、主视图、俯视图都是矩形，故不符合题意；、主视图是三角形、俯视图是圆形，故符合题意；、主视图、俯视图都是圆，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图．3.对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A.这个函数的图象分布在第一、三象限B.点(1，4)在这个函数图象上C.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形D.当x＞0时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小进行分析即可．【详解】解：A、反比例函数中的k＝4＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，正确，不符合题意；B、点（1，4）在它的图象上，正确，不符合题意；C、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，正确，不符合题意；D、反比例函数y＝中的k＝4＞0，其在每一象限内y随x的增大而减小，不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，关键掌握以下性质：反比例函数（k≠0），当k＞0，反比例函数图象在一、三象限，每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，每个象限内，y随x的增大而增大4.菱形的对角线，则菱形的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由菱形的面积公式可求解．【详解】解：菱形的面积==40，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键．5.在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值A.也扩大3倍 B.缩小为原来的C.都不变 D.有的扩大，有的缩小【答案】C【解析】【详解】根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．故选C．6.在一个不透明的袋子里，装有6枚白色棋子和若干枚黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同．将袋子里的棋子摇匀，随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色棋子的频率稳定在0.1，由此估计袋子里黑色棋子的个数为（）A.60 B.56 C.54 D.52【答案】C【解析】【分析】设设黑色棋子有x枚，根据摸到白色棋子的频率稳定在0.1列出方程求解即可．【详解】解：设黑色棋子有x枚，∵摸到白色棋子的频率稳定在0.1，∴，解得,经检验是方程的解，∴黑色棋子有54枚，故选C．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据频率求频数，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．7.如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A.7 B. C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出DE，由EF=1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．【详解】解：∵∠AEB＝90，D是边AB的中点，AB＝6，∴DE＝AB＝3，∵EF＝1，∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，∴DF是ABC的中位线，∴AC＝2DF＝8．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．8.新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A.14 B.15 C.16 D.17【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程传播问题的公式列出方程计算即可；【详解】设1人平均感染x人，已题意可得：，解得：，（不符合题意）；故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确方程计算是解题的关键．9.二次函数的图象如图所示，对称轴是，下列结论正确的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的性质，对称轴，图形的信息，逐一计算判断即可．【详解】∵，∴，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴，∴，故A不符合题意；∵，∴，故B不符合题意；∵时，y=a-b+c，∴2a-2b+2c，∵，∴，∴-b-2b+2c，∴3b-2c，故C不符合题意；∵时，y=a-b+c，∵，∴，∴3a+c，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了二次函数图像，抛物线的性质，灵活运用图像及其性质是解题的关键．10.如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点，为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质可得，然后利用SAS即可证出，根据全等三角形的性质可得：，根据直角三角形的性质和三角形的内角和，即可判断①；根据中线的定义即可判断②；设正方形的边长为，根据相似三角形的判定证出，列出比例式，即可判断③；过点作于，易证△AMN∽△AFB，列出比例式，利用勾股定理求出ME、MF和MB即可判断④．【详解】解：在正方形中，，，、分别为边，的中点，，在和中，，，，，，故①正确;是的中线，，，故②错误;设正方形的边长为，则，在中，，，，，，即，解得：，，，故③正确；如图，过点作于，∴∴△AMN∽△AFB∴，即，解得，，根据勾股定理，，，，故④正确.综上所述，正确的结论有①③④共3个故选：B．【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分）11.如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝_________．【答案】5.4【解析】【分析】由题意利用平行线分线段成比例定理列出比例式，以此进行计算即可得出答案．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴，解得CN＝3.6，∴ND＝CD﹣CN＝9﹣3.6＝5.4故答案为：5.4．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．12.下面4个图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是_____．【答案】④①③②.【解析】【详解】试题分析：北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．先后顺序为④①③②．故选B．

点睛：本题考查平行投影的特点和规律.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长.13.△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是_________．【答案】60°或120°##120°或60°【解析】【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论．【详解】解：当∠A是锐角时，如图，过点B作BD⊥AC于D，∵AC＝5，△ABC的面积为5，∴BD＝5×2÷5＝2，在中，sinA＝＝＝，∴∠A＝60°．当∠A是钝角时，如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，∵AC＝5，△ABC的面积为5，∴BD＝5×2÷5＝2，在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝＝＝，∴∠BAD＝60°．∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．故答案为60°或120°．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线．14.如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=-x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为________________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的对称性、矩形的性质和坐标与图形性质求得AB与AD，再根据长方形的周长公式求解即可．【详解】解：在由抛物线知对称轴为直线x=，过顶点F作FE⊥OB，垂直为E．∵四边形ABCD为矩形且C、D在抛物线上，∴EF垂直平分AB，AD⊥AB，∴AE=EB=OE-OA=3-m，即AB=2AE=2（3-m），又，∴矩形ABCD的周长为=2AB+2AD=4(3-m)+2()=，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的性质、矩形性质、坐标与图形，本题难度中等，主要考查学生对二次函数性质的掌握．这类题型，抓住矩形的性质确定各点坐标与抛物线的关系为解题关键，做这类题要注意数形结合思想的运用．15.如图，已知动点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC，直线DE分别交x轴，y轴于点P，Q，当QE：DP=9：25时，图中的阴影部分的面积等于___．【答案】【解析】【分析】作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，得到△QEG∽△PDF，于是得到＝，设EG=9t，则PF=25t，然后根据△ADE∽△FPD，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解．【详解】解：作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，∴△QEG∽△DPF，∴＝，设EG=9t，则PF=25t，∴A（9t，），由AC=AEAD=AB，∴AE=9t，AD=，DF=，PF=25t，∵△ADE∽△FPD，∴AE：DF=AD：PF，9t：=：25t，即t2=，图中阴影部分的面积=×9t×9t+××=，故答案为．【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．也考查了相似三角形的判定与性质．三、解答题（共7小题）16.计算：（1）sin60°cos60°+sin45°cos45°﹣sin30°cos30°；（2）(x+1)2＝3(x+1)．【答案】（1）；（2）x1＝﹣1，x2＝2【解析】【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可；（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可．【详解】解：（1）原式＝＝＝；（2）（x+1）2＝3（x+1），移项：（x+1）2﹣3（x+1）＝0，因式分解得：（x+1）（x+1﹣3）＝0，化简得：（x+1）（x﹣2）＝0，∴x+1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝2．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、一元二次方程-因式分解法，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值，和熟练掌握因式分解的方法．17.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)、B(1，3)、C(2，1)．（1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2；（2）△A'B'C'周长_________；（3）△A'B'C'的面积_________．【答案】（1）见解析；（2）；（3）6【解析】【分析】（1）根据位似比为2,得对应点的横纵坐标都乘以，在给定网格中可知只能画出一个图形；（2）分别把、、长度求出，相加即可；（3）采取割补法，由正方形的面积减去3个三角形的面积即可求出答案．【详解】（1）如图，△A'B'C'为所作；（2），，，，故答案为：；（3），故答案为：6．【点睛】本题考查图形的位似、勾股定理以及求三角形周长与面积，根据位似比画出位似图形是解题的关键．18.九（1）班为准备学校举办“我的梦●美丽中国梦”演讲比赛，通过预赛共评选出甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生共5名推荐人选．（1）若随机选一名同学参加比赛，求选中男生的概率．（2）若随机选一名男生和一名女生组成一组选手参加比赛，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果，并求恰好选中男生甲和女生A的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据简单概率公式计算即可；（2）画树状图求概率即可【详解】解：（1）共有5人，男生有3人，则随机选一名同学参加比赛，选中男生的概率＝；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中选中男生甲和女生A的结果数为1，所以恰好选中男生甲和女生A的概率＝．【点睛】本题考查了简单概率公式求概率，树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．19.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）【答案】（1）点B距水平地面AE的高度为5米；（2）广告牌CD的高度约为6.7米【解析】【分析】（1）过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果；（2）由辅助线作法及已知得四边形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM的长，从而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，进而得CE的长；在Rt△DAE中由三角函数知识可求得DE，根据CD=CE−DE即可求得CD的长．【详解】（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．∵i＝1：＝＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝5（米），即点B距水平地面AE的高度为5米；（2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，∴四边形BMEN为矩形，∴NE=BM=5米，BN=ME，在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，∴AM＝（米），∴ME＝AM+AE＝（5+21）米=BN，∵∠CBN＝45°，∴CN＝BN＝（5+21）米，∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），即广告牌CD的高度约为6.7米．【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．20.如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；（2）求△BMN面积的最小值．【答案】（1）见解析；（2）△BMN面积的最小值为【解析】【分析】（1）连接BD，证明△AMB≌△DNB，则可得BM=BN，∠MBA＝∠NBD，由菱形的性质易得∠MBN=60゜，从而可证得结论成立；（2）过点B作BE⊥MN于点E．【详解】（1）证明：如图所示，连接BD，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴∠ADB＝∠NDB＝60°，故△ADB是等边三角形，∴AB＝BD，又AM+CN＝1，DN+CN＝1，∴AM＝DN，在△AMB和△DNB中，，∴△AMB≌△DNB（SAS），∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD，又∠MBA+∠DBM＝60°，∴∠NBD+∠DBM＝60°，即∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）过点B作BE⊥MN于点E．设BM＝BN＝MN＝x，则，故，∴当BM⊥AD时，x最小，此时，，．∴△BMN面积的最小值为．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质等知识，关键是作辅助线证三角形全等．21.龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？【答案】应将每件上衣的售价降低30元【解析】【分析】设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80-x）元，本题的等量关系为：每件上衣的利润×每周售出数量-固定成本=8000．【详解】解：设每件上衣应降价x元，则每件利润（80﹣x）元，列方程得：（80﹣x）（100+x）﹣3000＝8000，解得：x1＝30，x2＝25因为为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存，所以x＝30．答：应将每件上衣的售价降低30元．【点睛】本题考查了一元二次方程应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．22.如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于、两点（、不与重合），沿着将矩形折叠使、两点重合．（1）____________（用含有的代数式表示）；（2）如图2，当点恰好落在矩形的对角线上时，求的长度；（3）若折叠后，是等腰三角形，请直接写出此时点的坐标．【答案】（1）；（2）2；（3）或【解析】【分析】（1）根据点A的坐标可得点E的纵坐