第1章 图形的相似 单元测试卷 2023学年青岛版九年级上册数学

2023学年青岛新版九年级上册数学《第1章图形的相似》单元测试卷一．选择题（共9小题，满分36分）1．两个相似多边形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：162．如图中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．3．如图（）图形是将已知图形按2：1放大后得到的图形．A．A B．B C．C D．D4．形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（）A．关于直线对称的两个图形 B．两个正三角形 C．两个等腰三角形 D．两个半径不等的圆5．如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是（）A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．6．如图，D，E分别在△ABC的两边AB，AC上，若DE∥BC，则下列成立的是（）A． B． C． D．7．已知两个相似三角形的周长比为2：3，若较大三角形的面积等于18cm2，则较小三角形的面积等于（）A．8cm2 B．12cm2 C．27cm2 D．40.5cm28．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：259．在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作（）条．A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共9小题，满分36分）10．已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出△A1B1C1与△ABC相似，两三角形位于点B同侧且相似比是3，则点C的对应顶点C1的坐标是．11．如图，已知平行四边形ABCD的面积为24，以B为位似中心，作平行四边形ABCD的位似图形平行四边形EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则△ADG的面积为．12．如图，请在小正方形边长为1的正方形网格中，画出两个相似比为1：的相似三角形．13．如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，PE⊥BP交BC的延长线于点E，交CD于点F，若AB＝6，AP＝4，则CE的长为．14．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为．15．已知△ABC∽△DEF，相似比为，且△DEF的周长为18，则△ABC的周长为．16．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河岸垂直，然后在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．已测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，则河宽PQ＝m．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在BC的延长线上截取BD＝AB，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，交AC于点F，连接DF，点P为射线BE上一个动点，若AC＝9，BC＝12，当△APB与△AFD相似时，BP的长为．18．两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为12cm2，则较大多边形的面积为cm2．三．解答题（共7小题，满分78分）19．如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的长．20．如图，△ABC在方格纸中．（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（3，4），C（7，3），并求出点B的坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的位似图形△A′B′C′；（3）计算△A′B′C′的面积S．21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（3，0）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△ABC放大为原来的2倍得到的△A1B1C1，请写出点B的对应点B1的坐标；（2）画出将△ABC向左平移1个单位，再向上平移2个单位后得到的△A2B2C2，写出点C的对应点C2的坐标；（3）请在图中标出△A1B1C1与△A2B2C2的位似中心M，并写出点M的坐标．22．如图，一个矩形的长AB＝am，宽AD＝1m，按照图中所示的方式将它分割成相同的三个矩形，且每个小矩形与原矩形相似，求a的值．23．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为平行四边形DEFG的工件，使GF在BC上，D，E两点分别在AB，AC上，且DE＝5cm，求平行四边形DEFG的面积为多少？24．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，求△DEF的面积．25．如图在△ABC中，D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD．（1）求∠ADC度数；（2）如果AC＝4，BD＝6，求CD的长．

参考答案与试题解析一．选择题（共9小题，满分36分）1．解：相似多边形的周长的比是1：4，周长的比等于相似比，因而相似比是1：4，面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：16；故选：D．2．解：∵∠ABC＝∠EFC＝90°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△EFC，∴，故选：D．3．解：原图占2×3格，则放大2倍后图形应该占4×6格，故选：D．4．解：A、关于直线对称的两个图形全等，∴它们是相似图形，本选项不符合题意；B、两个正三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴它们是相似图形，本选项不符合题意；C、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，∴它们不一定是相似图形，本选项符合题意；D、两个半径不等的圆是相似图形，本选项不符合题意；故选：C．5．解：A、若∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；B、若∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；C、若，其夹角不相等，则不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；D、若，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意．故选：C．6．解：∵DE∥BC，∴＝，所以A选项不符合题意；∴△ADE∽△ABC，∴＝，所以B选项不符合题意；∴＝，所以C选项符合题意；＝，所以D选项不符合题意．故选：C．7．解：∵两个相似三角形的周长之比为2：3，∴两个相似三角形的相似比是2：3，∴两个相似三角形的面积比是4：9，又较大三角形的面积等于18cm2，∴较小三角形的面积为8cm2，故选：A．8．解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，∵OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．故选：C．9．解：若△AOB∽△COD，则＝＝，∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．若△AOB∽△DOC，则＝＝，∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．所以可以作出四条直线．故选：B．二．填空题（共9小题，满分36分）10．解：如图，△A1B1C1为所作，点C的对应顶点C1的坐标是（0，﹣3）．故答案为（0，﹣3）．11．解：延长EG交CD于点H，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，∴AD∥EG，∴四边形AEHD是平行四边形，∴．∵位似图形与原图形的位似比为，∴，即，∴，∴．故答案为：4．12．解：如图，△ABC∽△DEF故答案为：△ABC∽△DEF．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，BE∥AD，由勾股定理得，BP＝＝＝2，∵BE∥AD，∴∠PBE＝∠APB，∵PE⊥BP，∴∠BPE＝∠A＝90°，∴△APB∽△PBE，∴，∴，解得BE＝13，∴CE＝BE﹣BC＝13﹣6＝7，故答案为：7．14．解：由两个枫叶图案相似，可得，解得x＝11，即x的值为11．故答案为：11．15．解：设△ABC的周长为a，∵△ABC∽△DEF，相似比为，△DEF的周长为18，∴＝，解得：a＝12，所以△ABC的周长是12，故答案为：12．16．解：根据题意得出：QR∥ST，则△PQR∽△PST，∴，∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，∴，解得：PQ＝90（m），∴河的宽度为90米．故答案为：90．17．解：连接AP.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∴BD＝BA＝15，CD＝BD﹣BC＝15﹣12＝3，∴AD＝＝＝3，∴BE⊥AD，∴AE＝ED，∴FA＝FD，设FA＝FD＝x，则有x2＝（9﹣x）2+32，∴x＝5，∴FA＝FD＝5，∵∠AEF＝∠FCB＝90°，∠AFE＝∠CFB，∴∠EAF＝∠ABP，当△APB∽△AFD时，＝，∴＝，∴BP＝．当△AFD∽△PAB时，＝，∴＝，∴BP＝9．综上所述，BP的长为或9．故答案为：或9．18．解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴两个相似多边形的相似比是2：3，∴两个相似多边形的面积比是4：9，∵较小多边形的面积为12cm2，∴较大多边形的面积为27cm2，故答案为：27．三．解答题（共7小题，满分78分）19．解：∵∠ADC+∠BAC＝180°，∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝∠BAC，又∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∴＝，∴BA2＝BD•BC，∵AB＝4，BC＝8，∴BD＝2．20．解：（1）∵A（3，4），C（7，3），∴B点坐标为：（3，2）；（2）如图所示：（3）△A′B′C′的面积S为：×4×8＝16．21．解：（1）如图△A1B1C1即为所求作的三角形，点B1的坐标（4，4）；（2）如图，△A2B2C2即为所求作的三角形，点C2的坐标（2，2）；（3）点M即为所求作．M（﹣2，4）．22．解：∵每个小矩形与原矩形相似，∴，解得a＝或﹣（舍去），∴a＝．23．解：如图，过点A作AP⊥BC于点P，交DE于点H，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴AB＝＝＝10（cm），∵AP⊥BC，∴AB•AC＝BC•AP，即6×8＝10×AP，∴AP＝4.8（cm），∵四边形DGFE是平行四边形，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，AP⊥DE，∴△ADE∽△ABC，∴，∵DE＝5cm，∴，∴AH＝2.4（cm），∴PH＝AP﹣AH＝4.8﹣2.4＝2.4（cm），∴平行四边形DEFG的面积＝DE•PH＝5×2.4＝12（cm2），答：平行四边形DEFG的面积为12cm2．24．解：（1）观点一正确；观点二不正确．理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵，，∴，∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，∵A到DE、DF的距离都为1，∴DA是∠FDE的角平分线，同理，EB是∠DEF的角平分线，∴点O是△A