第十四章-三角形（能力提升） 带解析

第十四章三角形（能力提升）考试时间：90分钟注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题（共6小题）1.如图，在△ABC和△ABD中，已知∠CAB＝∠DAB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ABD，只需再添加的一个条件不可以是（）A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠CBE＝∠DBE【答案】B【分析】添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等；添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等．【解答】解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，不符合题意；B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，符合题意；C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，不符合题意；D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，不符合题意；故选：B．【知识点】全等三角形的判定2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（）A．10 B．8 C．7 D．6【答案】D【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出AB的取值范围，进而得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的长可能为6．故选：D．【知识点】平行四边形的性质、三角形三边关系3.如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE＝DF，则图中全等的三角形有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】C【分析】根据平行线求出∠ABE＝∠CDF，根据SAS推出△ABE≌△CDF，根据全等得出AE＝CF，根据SSS推出△ABD≌△CDB，根据全等求出AD＝BC，求出BF＝DE，根据SSS推出△ADE≌△CBF即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴AD＝BC，∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，∴BF＝DE，在△ADE和△CBF中∴△ADE≌△CBF（SSS），即3对全等三角形，故选：C．【知识点】全等三角形的判定4.如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO．其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据等边三角形的性质推出AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，求出∠DAC＝∠BAE，根据SAS证△DAC≌△BAE，推出BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝60°，根据等边三角形性质得出∠ADB＝∠AEC＝60°，但∠ADC≠∠AEB，根据以上推出的结论即可得出答案．【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，∵∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣（∠ODB+∠ADC）＝120°﹣60°＝60°，∴∠BOD＝60°，∴①正确；②正确；∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB＝∠AEC＝60°，但根据已知不能推出∠ADC＝∠AEB，∴③错误；故选：C．【知识点】全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质5.小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．小聪作法正确的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB D．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB【答案】A【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．故选：A．【知识点】作图—基本作图、全等三角形的判定、等腰三角形的性质6.如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（）个．（不含△ABC）A．28 B．29 C．30 D．31【答案】D【分析】当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，由此即可判断．【解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，故选：D．【知识点】全等三角形的判定二、填空题（共12小题）7.如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为cm2．【答案】8【分析】延长AP交BC于点Q，则由条件可知S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，则阴影部分面积为△ABC的一半，可得出答案．【解答】解：如图，延长AP交BC于点Q，∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，∴AP＝QP，∴S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，∴S△ABC＝2S阴影＝8（cm2），故答案为：8．【知识点】三角形的面积、等腰三角形的判定与性质8.如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．若AB＝11cm，△BCE的周长为17cm，则BC＝cm．【答案】6【分析】先求出AC长，再根据线段垂直平分线的性质求出AE＝BE，可得AE+BE＝AC＝AB，再根据△BCE的周长求出即可．【解答】解：∵AB＝11cm，∴AC＝AB＝11cm，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴AE+BE＝AC＝AB＝11cm，∵△BCE的周长为17cm，∴BC＝17﹣11＝6（cm）．故答案为：6．【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质9.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝CD．若∠BAD＝40°，则∠C的大小为度．【答案】35【分析】在△ABD中利用等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠ADB的度数，然后利用∠ADB是三角形ADC的一个外角即可求得答案．【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝40°，∴∠B＝∠ADC＝（180°﹣40°）＝70°，∵在三角形ADC中，∠ADB是三角形ADC的外角，∴∠BDA＝∠DAC+∠C，又∵AD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∴∠C＝×70°＝35°，故答案为：35．【知识点】等腰三角形的性质10.如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝°．【答案】20【分析】由“HL”可证Rt△ABD≌Rt△EBD，可得∠ABD＝∠DBE，即可求解．【解答】解：∵∠C＝50°，∠A＝90°，∴∠ABC＝40°，∵DE⊥BC，∴∠A＝∠BED＝90°，在Rt△ABD和Rt△EBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴∠ABD＝∠DBE，∴∠ABD＝∠ABC＝20°，故答案为：20．【知识点】全等三角形的判定与性质11.如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为cm．【答案】5【分析】只要证明△BDF和△CEF为等腰三角形，即可解决问题．【解答】证明：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD，EF＝CE，∴△BDF和△CEF为等腰三角形；∵DF＝BD，CE＝EF，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），∴EC＝5（cm），故答案为：5．【知识点】等腰三角形的判定与性质、平行线的性质12.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是．【答案】∠1=2∠2【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．【解答】解：根据三角形外角的性质得：∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．故答案为：∠1＝2∠2．【知识点】等腰三角形的性质13.如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为．【答案】102°【分析】由等边三角形的性质得∠BAC＝60°，再由平行线的性质得出∠2＝∠1+∠BAC，即可得出答案．【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠1＝42°，a∥b，∴∠2＝∠1+∠BAC＝42°+60°＝102°；故答案为：102°．【知识点】等边三角形的性质、平行线的性质14.如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC的度数为．【答案】57°【分析】延长CD交AB于F，根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算即可．【解答】解：延长CD交AB于F，∵∠BDC是△BFD的一个外角，∴∠BFD＝∠BDC﹣∠B＝104°﹣30°＝74°，∵∠BFD是△AFC的一个外角，∴∠ACF＝∠BFD﹣∠A＝74°﹣40°＝34°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠FCE＝∠ACF＝17°，∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC＝∠ACE+∠A＝17°+40°＝57°，故答案为：57°．【知识点】三角形内角和定理、三角形的外角性质15.在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，已知∠ACB＝50°，∠EAD＝10°，则∠ABC的度数为．【答案】70°或30°【分析】分点E在线段CD上及点E在线段BD上两种情况考虑，当点E在线段CD上时，利用三角形的外角性质可求出∠AEC的度数，在△ACE中利用三角形内角和定理可求出∠CAE的度数，结合角平分线的定义可求出∠BAC的度数，再在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠ABC的度数；当点E在线段BD上时，在△ACD中，利用三角形内角和定理可求出∠CAD的度数，进而可求出∠CAE的度数，结合角平分线的定义可求出∠BAC的度数，再在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠ABC的度数．【解答】解：当点E在线段CD上时，如图1所示，∵∠AEC为△ADE的外角，∴∠AEC＝∠ADE+∠EAD＝100°，∴∠CAE＝180°﹣∠ACB﹣∠AEC＝180°﹣50°﹣100°＝30°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠CAE＝2×30°＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°；当点E在线段BD上时，如图2所示，在△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACB＝50°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∴∠CAE＝∠CAD+∠EAD＝40°+10°＝50°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠CAE＝2×50°＝100°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣100°＝30°．故答案为：70°或30°．【知识点】三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角性质16.一副分别含有30°和45°的直角三角板，拼成如图，则∠BFD的度数是．【答案】15°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠CDF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，∴∠CDF＝60°，∵∠CDF是△BDF的外角，∠B＝45°，∴∠BFD＝∠CDF﹣∠B＝60°﹣45°＝15°．故答案为：15°．【知识点】三角形的外角性质17.如图所示，在△ABC中，∠A＝80°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5点，则∠A5的度数是．【答案】2.5°【分析】由∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，因此推出∠A＝25∠A5，而∠A＝96°，即可求出∠A5．【解答】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠A1同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，∴∠A＝25∠A5，∵∠A＝80°，∴∠A5＝80°÷32＝2.5°．故答案为：2.5°．【知识点】三角形内角和定理、三角形的外角性质18.已知在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC于点D，点E在AB上，点F在CA的延长线上，且∠EDF＝45°，若FG＝ED，BD＝3，S△DBE＝3，则AG的长为．【答案】2【分析】过E作EH⊥BC，垂足为H，则∠DHE＝90°，结合等腰直角三角形的性质证明△FAG≌△DHE，可得AG＝EH，利用BD＝3，S△DBE＝3，可求解EH的长，进而可求解AG的长．【解答】解：过E作EH⊥BC，垂足为H，则∠DHE＝90°，∵在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠FAG＝90°，∴∠FAG＝∠DHE，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝90°，∠CAD＝45°，∵∠EDF＝45°，∴∠EDH+∠ADF＝45°，∵∠F+∠ADF＝∠CAD＝45°，∴∠F＝∠EDH，∵FG＝ED，∴△FAG≌△DHE（AAS），∴AG＝EH，∵S△DBE＝BD•EH＝3，∴×3•EH＝3，解得EH＝2，∴AG＝2．故答案为2．【知识点】全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形三、解答题（共7小题）19.如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，FB＝CE，AB∥ED．求证：AC∥FD．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得∠ACB＝∠DFE，可得结论．【解答】证明：AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥FD．【知识点】全等三角形的判定与性质20.已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．（1）求证：BE＝CD；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．【分析】（1）由“AAS”可证△BOE≌△COD，可得结论；（2）由“SSS”可证△AOB≌△AOC，可得∠BAO＝∠CAO，可得结论．【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS），∴BE＝CD；（2）点O在∠BAC的角平分线上．理由：连接AO，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，又∵∠BEC＝∠CDB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SSS）．∴∠BAO＝∠CAO，∴点O在∠BAC的角平分线上．【知识点】全等三角形的判定与性质21.（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据SAS可得出答案；（2）在CE上截取CF＝DE，证明△ADE≌△BCF（SAS），可得出AE＝BF，∠AED＝∠CFB，则可得出BE＝BF．结论得证．【解答】（1）证明：在△ACE和△BCE中，∵，∴△ACE≌△BCE（SAS）；（2）AE＝BE．理由如下：在CE上截取CF＝DE，在△ADE和△BCF中，∵，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∴AE＝BE．【知识点】全等三角形的判定与性质22.如图1，四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE，AB＝CD．（1）求证：BE＝DF；（2）如图2，连接DE、BF，在添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对平行且相等的线段．【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABE和Rt△CDF，可得BE＝DF；（2）由平行四边形的判定可证四边形ABCD，四边形BEDF是平行四边形，即可求解．【解答】证明：（1）∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，BE∥DF，∵AF＝CE，∴AE＝CF，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），∴BE＝DF；（2）∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE∥BF，DE＝BF；∵Rt△ABE≌Rt△CDF，∴∠BAC＝∠ACD，AB＝CD，∴AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC．【知识点】全等三角形的判定与性质23.已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．（1）如图1，当α＝60时，①请直接写出△ABC和△DEC的形状；②求证：AD＝BE；③请求出∠AEB的度数；（2）如图2，当α＝90°时，请直接写出：①∠AEB的度数；②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长．【分析】（1）①由等边三角形的判定可求解；②由“SAS”可证△CDA≌△CEB，可得AD＝BE；③由全等三角形的性质可得∠CEB＝∠CDA＝120°，由平角的性质可求解；（2）①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC＝135°，可得结论；②由全等三角形的性质可得AD＝BE＝2，由外角的性质和等腰三角形的性质可求AD＝CD＝DF＝2，即可求解．【解答】解：（1）①∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴△ABC和△DEC是等边三角形；②∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，在△CDA和△CEB中，，∴△CDA≌△CEB（SAS），∴AD＝BE，③∵△CDA≌△CEB，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，又∵∠CED＝60°，∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∠CDE＝45°＝∠CED，∴∠ADC＝135°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC＝135°，∴∠AEB＝90°，②∵△ACD≌△BCE，∴BE＝AD＝2，∵∠CAF＝∠BAF＝22.5°，∠CDE＝45°＝∠CAD+∠ACD，∴∠ACD＝∠CAD＝22.5°，∴AD＝CD＝2，∵∠DCF＝90°﹣∠ACD＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°，∴∠DCF＝∠AFC，∴DC＝DF＝2，∴AF＝AD+DF＝4．【知识点】全等三角形的判定与性质24.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情