青岛版数学-九年级上册-解直角三角形 -巩固练习（含答案）

青岛版数学-九年级上册-第二章-解直角三角形-巩固练习一、单选题1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）

A.

​

B.

​

C.

​

D.

​2.如图1，一超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图已知自动扶梯AB的坡度为1：，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为，则二楼的层高BC约为精确到米，，，

A.

4米

B.

米

C.

米

D.

米3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，，，那么sin∠ACD的值是A.

B.

C.

D.

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，∠B=30°，则c和tanA的值分别为（）A.

12,

B.

12,

C.

,

D.

,5.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则

tan∠ACB的值为

（

）

A.

1

B.

C.

D.

6.如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为１米，继续往前走３米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（

）

A.

4.5米

B.

6米

C.

7.5米

D.

8米7.在Rt中，∠C=90°,若则的值是(

)A.

B.

C.

D.

8.河堤的横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：，则AB的长是（

）A.

5

B.

5

C.

10

D.

109.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升200米到达A处，在A处观察B地的俯角为α，则B，C两地之间的距离为(

)A.

米

B.

米

C.

米

D.

米二、填空题10.如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH=BC，那么sin∠BAC的值是________．

11.________．12.如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________

km．13.如图所示，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.已知铁塔底座宽CD=12米，塔影长DE=18米，小明和小华的身高都是1.6米，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2米和1米，那么塔高AB为________米。14.正方形网格中，如图放置，则tan的值为________．

[MISSINGIMAGE:,]15.如图，斜坡AC的坡比为0.8:1，若BC=5，则斜坡AC=________．

16.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=37°,BC=32,则AC=________.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)17.计算：tan45°+cos45°=________三、解答题18.图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图，已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）19.如图,在△ABC中,sinB=,∠A=105°,AB=2,求△ABC的面积.四、综合题20.如图：

（1）已知sinα+cosα=

,求sinαcosα.（2）已知α为锐角,tanα=2,求

的值.21.我市公共自行车项目现已建立了几百个站点，为人们的生活带来了方便．图（1）所示的是自行车的实物图．图（2）是一辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC的长为45cm，且∠CAB＝75°，∠CBA＝50°．（参考数据：sin75°≈0.96，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin50°≈0.76，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）（1）求车座固定点C到车架档AB的距离；（2）求车架档AB的长（第2小题结果精确到1cm）．22.如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续飞行30m到达A′处，（1）求A，B之间的距离；（2）求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．

答案一、单选题1.【答案】A【解析】【分析】本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．【解答】由图可知，∠α的对边为3，邻边为4，则tanα=．

故选A．2.【答案】A【解析】【解答】解：延长CB交PQ于点D.∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ.∵自动扶梯AB的坡度为1:2.4，

∴

设BD=5k(米),AD=12k(米),则AB=13k(米).∵AB=13(米)，∴k=1，∴BD=5(米),AD=12(米).在Rt△CDA中,

∴CD=AD⋅tan∠CAD≈12×0.75=9(米)，∴BC=9−5=4(米).故答案为：A.【分析】延长CB交PQ于点D，由已知条件易证BC⊥PQ，再利用坡度的定义，可知BD与AD的比值，利用勾股定理求出BD，AD的长，在Rt△CDA中，利用解直角三角形求出CD的长，然后根据BC=CD-BD，从而可求出BC的长。3.【答案】C【解析】【分析】在直角△ABC中，∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．

【解答】在直角△ABC中，

∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠B=∠ACD．

∴sin∠ACD=sin∠B=

故选C．

【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．4.【答案】C【解析】【解答】解：

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，∠B=30°，

∴AB=2AC，cosB=，

∴c===4，

∴AC=2，

∴tanA===，

故选C．

【分析】根据含30度角的直角三角形性质得出AB=2AC，解直角三角形求出c=，代入求出即可，求出AC，代入tanA=求出即可．5.【答案】B【解析】【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】由图形知：tan∠ACB=

故答案为：B．【点评】题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义6.【答案】B【解析】【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯到地面的垂线平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．

【解答】解：如图，GC⊥BC，AB⊥BC，

∴GC//AB，

∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似)，

∴

设BC=x，则，

同理，得，

∴，

∴x=3，

∴，

∴AB=6．

故选B．

【点评】本题考查相似三角形性质的应用．在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中的“”．7.【答案】D【解析】【解答】解：如下图所示，

∵

∴，

∴.

故选D.

【分析】画出直角三角形更直观些；根据，而又因为8.【答案】D【解析】【解答】解:河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:BC:AC=1:,又堤高BC=5米,AC=米.可得AB===10米故答案为：D.【分析】由坡比得比例式可求得AC的长，再用勾股定理计算即可求解.9.【答案】D【解析】【解答】由题意得，∠B=，在Rt△ACB中，tanB=，则BC=米，故答案为：D.

【分析】根据两直线平行内错角相等，可得∠B=.在Rt△ACB中,由tanB=，即可求出BC的值.二、填空题10.【答案】【解析】【解答】如图，过点B作BD⊥AC于D，设AH=BC=2x，

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=CH=BC=x，

根据勾股定理得，AC==x，

S△ABC=BC•AH=AC•BD，

即•2x•2x=•x•BD，

解得BC=x，

所以，sin∠BAC=．

故答案为：

【分析】过点B作BD⊥AC于D，设AH=BC=2x，由等腰三角形三线合一可得BH=CH=

BC=x，在直角三角形ACH中，根据勾股定理得，AC=,因为S△ABC=

BC•AH=

AC•BD，即•2x•2x=•

x•BD，解得BC=x，在直角三角形ABD中，sin∠BAC=.11.【答案】【解析】【解答】.

故答案为：.

【分析】根据特殊角的锐角三角函数值求解即可。12.【答案】【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，

根据题意得：∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°，

∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°，

∴∠CAB=∠ACB，

∴BC=AB=2km，

在

答案为

【分析】添加辅助线，将所求的问题转化到直角三角形中，因此过点C作CD⊥AB于点D，根据题意求出∠CBD的度数及BC的长，再利用解直角三角形求出CD的长，即可解答。13.【答案】24【解析】【解答】解：过D点作DF∥AE，交AB于F点，设塔影留在坡面DE部分的塔高AF=、塔影留在平地BD部分的塔高BF=，则铁塔的高为+.∵：18m=1.6m：2m，∴=14.4m；∵：6m=1.6m：1m，∴=9.6m.∴AB=14.4+9.6=24（m）.∴铁塔的高度为24m.

【分析】过D点作DF∥AE，交AB于F点，设塔影留在坡面DE部分的塔高AF=、塔影留在平地BD部分的塔高BF=，则铁塔的高为+，根据同一时刻、同一地点、同一平面上不同物体的高度与影长成比例即可列出关于h1,h2的方程，求解即可。14.【答案】2【解析】【解答】由图可得tan∠AOB=2.

【分析】在以∠AOB为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值．15.【答案】【解析】【解答】由题意得AB：BC=0.8：1，BC=5，∴AB=4，

∴AC=

=

.

故答案为：.

【分析】先依据坡比的定义求得AB的长，然后再依据勾股定理求解即可.16.【答案】24【解析】【解答】解：在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=37°,BC=32,

则AC=BC×tanB≈32×0.75=24.

故答案为：24.

【分析】由正切函数可得tanB=,代入tanB和BC的值即可求得AC。17.【答案】2【解析】【解答】解：原式==1+1=2

故答案为：2【分析】代入特殊角的三角函数值，再进行计算。三、解答题18.【答案】解：将滑板车看作AB、BC两条直线，作AD垂直于BC，A离地面高度即AD的长度加上轮胎半径，则Sin∠B=Sin∠70°=≈0.94，所以AD≈86.5厘米，则A离地面高度为86.5+5=92.5厘米【解析】【分析】作AD⊥BC，在Rt△ADB中，根据锐角三角函数正弦定义可求得AD长，由AD+轮胎半径即为把手A离地面的高度.19.【答案】解:过A作AD⊥BC于D.

在Rt△ABD中,易得∠B=45°,又AB=2,∴∠DAB=∠B=45°,AD=BD=2×∴∠CAD=105°-45°=60°.

在Rt△CAD中,tan∠CAD=

,

∴CD=AD·tan∠CAD=

×tan60°=

.

∴BC=CD+BD=

+

.

∴S△ABC=

·BC·AD=

(

+

)×

=

+1【解析】【分析】已知sinB，需要构造直角三角形，则过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中,易得∠DAB=∠B=45°,而AB=2,求得AD=BD=；由∠A=105°,∠DAB=45°，得∠CAD=105°-45°=60°，在Rt△CAD中,由AD=，可求得CD，从而可得BC=BD+CD。四、综合题20.【答案】（1）解:把已知式子两边同时平方,得(sinα+cosα)2=,

sin2α+2sinαcosα+cos2α=,∴2sinαcosα=-1=,sinαcosα=.

（2）解:

==7.【解析】【分析】（1）根据sin2α+cos2α=1，可考虑将sinα+cosα=两边平方，再将sin2α+cos2α=1代入即可求得sinαcosα.

（2）中不含tanα,由tanα=,可将分式中的分子分母同时除以cosα,可转化为tanα的代数式，