考研真题 《量子力学教程》（第3版）章节题库

第1章波函数与Schrödinger方程第2章一维势场中的粒子第3章力学量用算符表达第4章力学量随时间的演化与对称性第5章中心力场第6章电磁场中粒子的运动第7章量子力学的矩阵形式与表象变换第9章力学量本征值问题的代数解法第10章微扰论第11章量子跃迁第12章其他近似方法章节题库一、填空题1.波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的和在该点扰到粒子的成正【参考答案】强度；几率2.设体系的状态波函数为I1,)如在该状态下测量力学是F在确定的值，则力学量算符曰3.微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是、o【参考答案】连续性；有限性；单值性4.玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_。【参考答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率5.判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是_o【参考答案】当物理体系的作用量与h相比拟时，该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远大于h时，视为经典体系6.不确定关系是微观粒子性质的数学表述。【参考答案】波粒二象性7.用球坐标表示，粒子波函数表为。写出粒子在球壳中被测到【参考答案】8.一粒子的波函数为I,写出粒子位于E间的几率的表达式_o9.一粒子的波函数,则粒子位于间的几率为o【参考答案】10.(安徽大学2007—2008学年第1学期期末考试试题)用球坐标表示，粒子波函数表为,写出粒子在球壳中被测到的几率【参考答案】11.表示,几率流密度表示为_o【参考答案】几率密度；二、判断题在量子力学中，粒子在某一点的能量等于动能与势能之和。【参考答案】错三、名词解释题1.波函数。答：描述微观体系的状态的一个函数称之为波函数，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。2.基本量子条件。答：[,x,]=0,[P,p₅]=0,[]=气五、简答题1.简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。答：微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。微观粒子的状态波函数出用算符F的本征函数中展开((F中。=2中。,Fp,=使):则在出态中测量粒子的力学量F得到结果的几率,得到结果在2→2+范围内的几率2.波函是用来描述什么的?它应该满足什么样的自然条件?()f的物理含义是什么?单值、有限和连续的。|w(e)f表示在t时刻严附近dt体积元中粒子出现的几率密度。3.在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态?答：不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确4.将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变?答：不改变。根据M.Born对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1,因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函数在空间各点的相对强度。5.归一化波函数是否可以含有任意相因子e(6为实常数)?答：可以。因为lP=1,如果f,对整个空间积分等于1,则l°wP对整个空间积分也等于1。即用任意相因子e(6为实常数)去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的归一化。6.波函数ψ与Kψ、ve"(K、α均为常数)是否描述同一状态?Ky、ve描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。7.试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。答：对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。8.简述波函数的统计解释。答：波函数在空间某一点的强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率成正比。1.用测不准关系估算氢原子的基态能量。解：氢原子哈密顿,对于基态，由于球对称性，哈密顿量可以写成量可以近似为：基态时能量极小，对严求导有：解得：因此基态能量约为：2.当前物理前沿的一个重要领域是自旋霍尔效应，其中有一类为二维电子气型系统。该系统的哈密顿量为,其中C是一个系数，、C代表泡利矩阵。试从该系统的薛定谔方程出发，导出连续性方程，并给出相应的几率密度和几率流密度的表达式。解：哈密顿量写成矩阵形式：则薛定锷方程可以写作如下形式：①②同理，令bx(2)-bx(2)°,,则有：上述两式相加，得：若设几率密度=则有连续性方程：3.已知氢原子的基态波函数,求：(1)势能的平均(2)动能的平均值。解：(1)由波函数的统计诠释，势能平均1。由于势能和波函数的中心对称性，得：(2)由位力定理，2T>=》,,在这里，,2(T)=<-V>。因此，由(1)可知：4.由Schrödinger方程,导出几率流密度矢量。解：几率密度为P(x,t)=y(x,t)y(x,t),p(p.t)=φ(p.t)d(p.t)=P(p-f)这表示在动量空间以速度f传播的一个波包。下的几率为R,而在r)下的几率为R,有人由此断言在9(r)态下的几率必为(R+R)/2,试问这种断言是否正确，说明理由。解：不正确。对量子态),出现在空间体积dV内的几率为：10.已知氢原子的基态波函数为,求几率最大处的径向坐标r。解：在(r₂r+dr)的球壳内粒子出现的几率为：所以，几率最大处的径向坐标=a。11.设t=0时，粒子的状态均动能。解：由题意可得：求此时粒子的平均动量和平所以，平均动量：动能平均值：而由归一代条件：12.质量为的粒子作一维自由运动，如果粒子处于y(x)=Asin²kx的状态上，求其动量P与动能T的取值几率分布及平均值。解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为：显然，两者相互对易，有共同完整本征函数：且满足pp,(x)=pd,(x),于是有：8表示偏离州的程度。,W表示H的归一化本征函数，试证明：E-E>(E₂-E)e。14.设W₂(x,t)是Schrodinger方程的解，且当t=0时W:(x,0)满足正交归一条件。求证W(x,t)亦满足正交归一条件，即证明：15.设t=0时，粒子的状态求此时粒子的平均动量和平均动能。解：粒子波函数可以化为：动量的可能值为：0,2k,-2k,k,-k。动能的可能值为：0,相应的几率为：满即相应的几率为5s富富s。,其中所以有：17.一维运动粒子的状态是(1)粒子动量的几率分布函数。(2)粒子的平均动量。解：先将波函数归一化：所以，动量几率分布函数为：或者：(奇函数积分)。18.对一维线性谐振子基态三，求动量几率分布。,则：(3)粒子的z分量坐标出现在Z1→Z2范围内，同时动量分量P出现在Pi→P1范围内的几率。解：(1)W(Z→z:)-[d["dlv()f。21.设(r.t)和W₂(r.t)是薛定谔方程的两个解，证明：与时间无关。证明：(r.t)和W₂(r.t)是薛定谔方程的两个解，则：①②以WI左乘②式、V₂左乘①式的共轭方程，再相减，有：对全空间积分，得：波函数在无限远处迅速趋于0的条件，等式右端为0,所以,即与时间无关。22.质量为m,速度为v,能量为的粒子沿x轴方向运动，其位置测量误差为△x,设△t=△x/v,试由测不准关导出能量与时间的测不准关23.考虑一维波函,其中A、n、Xo为已知常数。利用薛定谔方程求位势V(x)和能量E。对于它们，该波函数为一本征函数(已知当，-90)解：(1)定态薛定谔方程为：①从式①和②中消去Y(x),得：③代回式③,解得：24.一个谐振子处于基,求势能的平均值及动能T=p²/2m的平均值。(积分公式25.一个质量为的粒子在势V(X)作用下作一维运动。假定它处在态的能量本征(1)求粒子的平均位置。(2)求粒子的平均动量。(4)求粒子的动量在(4)求粒子的动量在E间的几率。解：(1)(3)由薛定谔方程：将式②、③代入①,解得：①②③(4)由题意可得：证明：,其中利用了奇函数的性质。满足不确定关系得证。28.在t=0时，自由粒子波函数(1)给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅。(2)求出几率最大的动量值。(3)求出发现粒子在汤导÷区间中的(4)y(x,t)=?(积分形式即可)。解：(1)利用傅里叶变换，可得粒子在动量空间的波函数为：该态中粒子动量可能测得值为E,相应的几率振幅为(2)动量几率最大时，有：29.体系处于一=态，求：(1)几率密度(2)几率流密度解：(1)因为V-V",故：得证。的能量本征30.一个质量为m的粒子在势V(x)作用下作一维运动。假定它处在态的能量本征(1)求粒子的平均位置。(2)求粒子的平均动量。解：(1)(3)由薛定谔方程：粒子的动量在P→p+dp间的几率为：31.设某时刻，粒子处在状,求此时粒子的平均动量和平均动解：由题意可得：由归一化条,得：所以有：粒子的平均动量为：粒子的平均动能为：32.求在定态中，粒子的几率流密度J及其变化率。解：概率流密度故在定态一、填空题1.一质量为口的粒子在一维无限深方势阱波函数为,能级表达式为_o中运动，其状态【参考答案】2.粒子在一维6势阱中运动，波函数为一日，则一的跃变条件为。若势阱改为【参考答案】3.如图3-14所示，有一势场为：当粒子处于束缚态时，E的取值范围为11图3-14二、名词解释题能级简并、简并度。答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为能级简并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。1.放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关?答：与量子隧穿效应有关。2.一个量子体系处于定态的条件是什么?答：量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。3.分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态?答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。答：一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”;一个能级对应的本征函5.什么样的状态是定态，其性质是什么?答：定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变6.什么是隧道效应，并举例说明。解：粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和α衰变现象都是隧道效应产生的。1.质量为m的粒子在无限深势阱(0<x<a)中运动，处于基态。写出能级和波函数，并计算平均值x、D,2.如图3-9所示，设电子以给定的能量自左入射，遇到一个方势阱(1)求反射系数和透射系数。(2)给出发生共振隧穿的条件。(3)考虑到电子有自旋(自旋向下或向上),你能否借用上面的结果，设计一个量子调控装置，使反射回来的只有自旋向上的电子而没有自旋向下的电子?图3-9解：(1)设能量为E的粒子从左侧入射，则由薛定锷方程：其中，考虑波函数及其导数在x=-a和x=a时的连续性，可以解出：因此透射系数：(2)当T=1时，出现共振透射，此时=1,k'a-nπ,,n为所有使E>0的正整数。(3)外加均匀磁场B,则入射自旋向下电子能量,当此能量为共振透射能量时，自旋向下电子全部透射，反射系数为零。此时有：3.试求质量为m的粒子处在长度为L的一维盒子(可看成是无限深势阱)中，试求他对盒子壁的压力。解：设粒子处于第n个本征态Wn,本征能,因此粒子对盒壁的压力：4.考虑一维阶梯,若能量E的粒子(E>Uo)从左边入射，试求该阶梯势的反射系数和透射系数。解：当x>0时，由薛定锷方,得：由于粒子从左边入射，在x>0的区域只有透射波，故解得波函数为：=其中C为常数，当x<0时，由薛定锷方,同理可得：其中A、B为常数，利用在x=0处和Y的连续所以，可得反射系数：透射系数为：5.粒子以能量E由左向右对阶梯势入射，求透射系数。讨论如下三种情况：(3)E>0,但由右向左入射。一般解可写为：,将上述方程简化为：由波函数连接条件，有：据此，可计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数分别为：满足R+D=1。可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x<0的区域找到电子(2)对于E>0情况，写出分区薛定谔方程为：(3)对E>0的情况，粒子从右向左入射，仿(2)有：6.质量为μ的一维粒子，在势阱=-内运动(α>0),求束缚态能级和波函数。7.求电荷为q的一维谐振子在外加均匀电场E中的能级，哈密顿量为每=,,哈密顿量可写为：在坐标空间有,于是有：与无电场时的哈密顿量相比，相差一常数，且x、p换为x'、P,对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以：8.一微观粒子处于M≤a已知该粒子在t=0时刻处于由波函数：描写的量子状态中，证明在此后任意时刻该粒子能量的期望值必大于该无限高方势阱的基态本征能量值。证明：由于[A.A]=0,,故能量是守恒量，因此任意时刻体系的能量本征值保持不变。一维无限深势阱本征波函数：而t=0时，粒子处于波函描写的量子态中，由傅立叶展开知Y(x)可以写作：得证。证明：一维δ势垒中粒子的定态薛定谔方程为：趋近于零，故不是束缚态。得证。10.质量为“的粒子被约束在半径为r的圆环上做一维运动。(1)求粒子的能量本征值和本征函数，判断能级是否有简并。(2)粒子在t=0时刻的归一波函数,若在t时刻对能量进行测量，求结果等于第一激发态能量的概率。(3)若在圆环上加入势垒,求粒子的能量本征值和本征函数。解：(1)体系的哈密顿量为。设本征函数为◎,本征值为，则有：-,。(胜为整数)11.质量为m的一个粒子在边长为a的立方盒子中运动，粒子所受势能V(x,y,z)由下o(1)列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数(2)假设有两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少?并写出归一化系基态波函数。(提示：电子自旋,是费米子)解：(1)定态薛定谔方程：武(2)电子是费米子，波函数应是反对称的：(3)玻色子可占据相同态，基态：ψs(F,臣)-vm(xi,yi,Z)ym(x₂,y12.如图3-10所示，质量为m的电子以动能E>V₀由左向右入射到高度为Vo(Vo>0)的台(1)列出定态薛定谔方程及波函数导数ψ'在x=0两侧的跃变条件.图3-10解：(1)定态薛定谔方程：。化简为：在x=0两侧邻域积分得13.试判断下列函数中的那些所描述的状态是定态?p=|4GF.A²|=k(x)e²+v()e可见，是定态。(2)同理可知：=μ(x)f[2+--×+e-]-2h(xf[1+co可见，不是定态。(3)同理可知：可见，不是定态。14.设粒子在宽为a的一维无限深势阱中运动，求基态动量的平均值和基态动量平方的平均值。解：在宽为a的一维无限深势中运动的粒子的波函数为：因此基态动量平均值为：基态动量平方的平均值为：215.质量为“的粒子沿x方向以能量E向x=0处势阶运动。,问在x=0处被反射的粒子几率有多大?解：写出分区薛定谔方程为：由x=0处的连续性条件，可得：从而几率流密度为：所以，反射几率：;透射几率：16.频率为②的谐振子，初始时刻的状态是W(0)=cw。(0)+c₃v₃(0),写出体系在t时刻的状态，给出能量的平均值。Schrödinger方程，即：17.质量为m的粒子在-a<x<a和-b<y<b的矩形无限深势阱中运动，求体系的能级和波函数，并讨论简并存在的条件及简并度。解：在-a<α<a、-b<y<b以外的其他区域，由u=知，当-a<x<a-b<y<b时，得Schrodinger方程为：②由①式，,则原万程可化为：X(x)=Ae+Be-由波函数连续性条件X(-a)=X(a)=0,得：e²a-2²=2isin2ka=0,(M为正整数)18.质量为m的粒子在有限深势井中运动，自己写出一个有限深势场的形式，相应的哈密顿量以及波函数满足的边值关系。解：,相应的哈密顿量为：本征函数，求任意时刻谐振子的波函数、能量和坐标的平均值。谐振子的递推关系：解：由可得：令-曰为一对应的能量本征值，则任意时刻之皆振子能量的平均值为：将任意时刻坐标的平均值为：结可见，任意时刻坐标的平均值为0。20.求在xy平面内运动的二维各向同性谐振子的本征函数和能量本征值。解：该谐振子体系的Hamilton量为：由分离变量法可得：H₂X(x)=E,X(x)因为上述两式都是一维线性谐振子情况，可得：Y(W)=NeH(ay),,n=0,1,2,…21.设质量为m的粒子在下列势阱中运动：求粒子的能级。解：由题意可列定态薛定谔方程：①方程①即为一维线性谐振子的定态薛定谔方程。由连续性条件，其波函数满足W₂(x)=0。而方程①的解为：22.在势中运动的粒子，处于第n激发态，试求：(1)距势阱内左壁宽度处的几率密度。(2)在该处，量子数n取何值时几率密度最大，最大值为多少。解：在0<x<a区域，定态薛定谔方程为：①所以，X处iN几率密度数为(处在第n激发态):(1)所以，距势阱内左壁宽度处即处的几率密度为：结合以上两个条件，n=4m+1(m=0,1,2,…),即n取1,5,9,.…时几率密度最大，23.有一质量为醋的粒子，在如下势场中运动：试求出束缚能级所满足的方程。解：当E>V时，四个区域的波函数分别为：y₁(x)-0,(x)-Asin(kxv:(x)-Bsin(k₂x+7),y.(由x-0处波函数连续可知：δ-0;由x-b处波函数连续可知：Y--k,b。此即E>V%时能量本征值满足的超越方程。w₁(x)-0,w₂(x)-Asin(v:(x)-Bexp(ax)+Cexp(-ax),w.由x=b处波函数连续条件可知：Bexpbα+Cexp(-ba)=0或者B=-Cexp(-2bα)。Asinka--Cexp(aα-2bα)+CexpAkcoska--Caexp(ax-2bα)-Caexp24.质量为“的粒子处于如下的一维位势中：解：当一时，两个区域的波函数分别为：25.质量为□的粒子处于如下一维势阱中：若已知该粒子在此势阱中存在一个能量的状态，试确定此势阱的宽度□。Asinka=Bexp(-aa),Akcoska=-Bce(2)若已知t=0时，该粒子状态为,求t时刻该粒子的波函态波函数为：(3)t时刻测量到粒子的能量为E的几率是：t时刻测量到粒子的能量为E₂的几率是：(4)平均能量：平均位置：27.一维谐振子在t=0在t时刻的状态三及此时刻能量、坐标及动量的平均值。解：由薛定谔方程易知：其中，一维谐振子能级释，可得：再由波函数统计诠28.质量为m的粒子处在如下一维势阱中：若已知该粒子在此势阱中具有一个的本征态，求此势阱的宽度a。解：对于的情况，三个区域中的波函数分别为：w₁(x)=0,v₂(x)=Asin(kx+δ),y(x)=Bexp其中，W₂(x)=Asin(kx+nπ)=A(-1)"sin(kx)=Asin在x=a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件：W₂(a)=w₃(a),w₂(a)=vAsin(ka)=Bexp(-aa),A'kcos(ka)=-Bαexp(-aa)于是有：此时即能量满足超越方程。当时，由于,因此有：所以，势阱的宽度为：其中，,如图3-11所示。图3-11由波函数有限性，可知一；同时束缚态要求E<0。令,所以：由束缚态条件,有三。再利用x=a处的连续性条件所以，代入，即为确定束缚态能级的方程。具体能级可用数值法或作图法求解。(2)设入射波函数几率幅为1,求反射波和透射波几率幅及几率流密度。(3)求反射系数和透射系数。图3-12解：(1)由题意可知：①(2)首先，利用y(X)在一三连续的条件W₁(0)=V(0),代入①式可得：使用最后，将③代入②得到,因而有：对于定态),概率流是时间无关的且等于：对区域I应用①式，有：同样，对于区域Ⅱ,有：在区域I,概率流是两项之和，,相应于从左向右的入射粒子流，而相应于反射粒子流(从右向左运动)。注意，在区域Ⅱ,概率流代表透射波。(3)应用反射系数的定义，则：将③式代入，得到：透射系数是：31.证明：一维无奇性势的薛定谔方程的束缚态无简并。证明：设无奇性一维势=。M、日若对应同一能量E,则由薛定谔方程即,所以：32.质量为的粒子，在一维无限深势阱中运动，若三时，粒子处于状态上，其中，一为粒子的第7个本征态。(1)求t-0时能量的可测值与相应的取值几率。(2)求三时的波函数Y(x,t)及能量的可测值与相应的取值几率。(2)因为哈密顿算符不显含时间，故>0时的波函数为：其中，Akcoska=-Bαexp(-aa)此即能量满足的超越方程。时，由于,故：最后，得到势阱的宽度：34.求一维无限深势阱中处于状态W(X)的粒子的动量分布概率A(p)f。解：无限深势阱积分方法1:利用公式有：积分方法2:。利用三角函数的积化和差公式分别对实部和虚部分别积分。积分方法3:用复数积分法。E→Akcos(k+nx)=-Bαexp(-aa)整理可得：39.质量为m的粒子在如下一维势阱中运动(V%>0):若已知该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度a。解：对于-V₀<E<0的情况，三个区域中的波函数分别为：v(x)-0,v₂(x)-Asin(kx+8),v:(x)-Bex其中，利用波函数再x-0处的连接条件知，δ-nπ,n=012,…。Akcos(ka+nπ)=-Bαexp于是有：此即能量满足的超越方程。时，由于,则有：最后得到势阱的宽度为：40.粒子在一维势场V(x)中运动，证明：属于不同能级的束缚态波函数互相正交。③(2)求通解。W₁=Ae“+A₂e",Vπ=Bsin(kx+δ),(3)利用波函数的标准条件。1)有限性：2)连续性：,所以有：,所以有：(1)÷(2)得：(3)÷(4)得：(6)由(5)得：n=0±1…两式相加可得：实际上只有两组独立的解，分别对应：①当δ=0时，;②。这就是束缚态能级所满足的方程。。体系的定态薛定谔方程为：此为一维线性谐振子的定态薛定谔方程，其定态波函数为：代入得系统的定态波函数与能级为：,n=0,1,2,3...44.一粒子在宽度为C的一维无限深势阱中运动，求其定态能量和定态波函数。的具体形式为：方程可变为：根据波函数的标准条件确定系数A、B,由连续性条件，得：y(0)=0,y(2α)=0=B=0=Asin))。可见E是量子化的。对应于E的归一化的定态波函数为：第3章力学量用算符表达一、选择题值为()。力光【参考答案】BA.Ap/im【参考答案】CA.ACB.CA【参考答案】C1.角动量算符各分量之间满足的对易关系为。坐标x和动量-三的对易关系是_o【参考答案】2.如两力学量算符A、有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为【参考答案】03.设粒子处于态,V为归一化波函数，-日为归一化的球谐函数，则系数C的取值为,三的可能值为,三的平均值为-04.角动量算符满足的对易关系为,坐标x和动量-三的对易关系是_o【参考答案】5.量子力学中的力学量用算符表示，表示力学量的算符有组成_的本征函数。【参考答案】厄密；完全系6.给出如下对易关系：【参考答案】7.量子力学中，体系的任意态y(x)可用一组力学量完全集的共同本征态V(x)展开，展开式为,展开式系数_o【参考答案】;【参考答案】(1)-1;(2)2x9.一维运动中，哈密顿量,求【参考答案】【参考答案】①③⑤P11.已知体系的哈密顿算符为,下列算符：①x;②y;③x;④【参考答案】③④⑤12.量子力学中的力学量用算符来表示，量子力学中的力学量算符的矩阵是【参考答案】厄米；厄米13.正交归一性表示为,如果算符F是厄米算符，则它满足_o14.如果算符F表示力学量F,那么当体系处于F的本征态时，力学量F有_。这个【参考答案】确定值；本征值【参考答案】iAL₂;0【参考答案】语；0;AL₂;0;0三、判断题【参考答案】错3.在任意态中，力学量x和x必定满足下述关系式：【参考答案】对四、简答题1.量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符?答：实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。2.写出测不准关系，并简要说明其物理含义。答：测不准关系。物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同时有确定的测值。3.如果算符F表示力学量F,那么当体系处于F的本征态Y时，问该力学量是否有确定的答：是，其确定值就是F在本征态的本征值。4.如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易?=……,则对任意波函数Y,有：可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。5.以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。答：在量子力学中，能量E用算符H表示，当体系处于某个能量En的本征态000时，算符A对态串的作用是得到这一本征值，即：高熏=;当体系处于一般态出时，算符H对态的作用是得到体系取不同能量本征值的几率幅(从而就得到了相应几率),即：6.非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。答：(1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。(2)力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量p换为算符-iA☑得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函数。(3)将体系的状态波函数出用算符F的本征函数中展开：则在平态中测量力学量得到结果为的几率是P,得到结果在2→2+di范围内的几率是k₂Pdz。(4)体系的状态波函数满足薛定谔方程：,其中H是体系的哈密顿算符。(5)在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态(全同性原理)。以上选三个作为参考答案。7.坐标X分量算符与动量X分量算符P的对易关系是什么?并写出两者满足的测不准关系。答：对易关系为[x,P.]-,,测不准关系8.厄米算符F的本征值人与本征矢|)分别具有什么性质?算符?何为幺正算符?答：满足关系式(a)的为厄密算符，满足关系式(b)的为幺正算符。10.证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符?11.相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态?试举例加以说明。答：相互不对易的力学量可以有共同的本征态。例如：L、L、L₂相互不对易，但就是它们的共同本征态，本征值皆为0。12.简述能量的测不准关系。答：能量测不准关系的数学表示式智，即微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。13.简述测不准关系的主要内容，并写出坐标X和动量之间的测不准关系。名丨心名丨心=P,z]P+p,[z,p]x=ih(p-,计算对易式[A,B]。解：由题意可知：4.为球坐标系中的径向位置算符，证明其为厄米算符。证明：在三维球坐标表象下，对任意量子态,有,因此其为厄米算符。5.设口、目、4曰和-三分别是某微观粒子沿x和y方向的坐标和动量算符，下面的四个算符有哪几个是厄米算符，给出理由。解：(1)不是。(2)是。(3)是。(4)不是。7.归一化量子态-三相应的密度算符为,证明三为厄米算符，并求其本征值及本征态。设P的本征值为2,本征矢为l0》,则有：=不防取l⁰-),z-1。此时P的本征值为2-1,本征矢为|>。得证。10.证明任何一个算符F都可以写成F=A+iB,其中A和B都是厄米算符，写出A和B用F表示的形式。证明：令12.一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是L为角动量。求因此对应的量子体系在下列情况下的定态能量和波函数：(1)转子绕一固定的轴转动。(2)转子绕一固定点转动。解：(1)设该固定轴沿z轴方向，则有：L²=L。哈米顿算符：设波函数为9(φ),则本征方程为Ao(0)=Ed(0),即：取其解为：=(m可正可负可为0)。转子的定态能量：由归一化条件：所以，转子的归一化波函数为：(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为：。此即为角动量三的本征方程，其本征值为：其波函数为球函数：所以，转子的定态能量为：能量分立且为21+1重简并。13.证明：证明：因为,则有：14.设厄米特算符H的本征矢为|),-三构成正交归一完备系，定义一个算符(1)计算对易子(3)计算迹E,其中，算符F的迹定义为(4)若算符日的矩阵元为E,证明：解：(1)对于任意一个态矢M〉,有：因此有：oo(3)算符的迹为：15.体系的三维空间是由三个相互正交的态矢和一三构成的，以其为基矢地两个算符-曰和的矩阵形式如下：其中，4=为实常数。证明算符-口和-口是厄米特算符，并且两者相互对易，进而求出它们的共同本征函数。解：由厄米特算符的定义知，厄米特算符-三满足1,或者1。题中所给出的哈密顿算符H和力学量算符日皆为实对称矩阵，故它们都是厄米特算符。,所以有：设-=满足的本征方程为：=其中，=E,能量具有二度简并。由于简并的存在，仅由算符H不能惟一确定，与的当==时，波函数一无法惟一确定，它们的矩阵形式是一样的，为简洁计，当B₂=-b时，重复上面的求解过程，可以得到：综上所述，算符H与B的本征值都是二度简并的，本征函数皆不能惟一确定，但因为它们相互对易，所以有共同完备本征函数系，它们的共同本征函数是惟一确定的，用公式表示如16.某量子体系的能量算符为,(2),证明：证明再再(2)若F和G对易，且F和G的本征值都没有简并，先设F有完备的本征函数系{Wm},由FG=GF有：G上式表明，是算符F18.设f(F)是只与空间坐标有关的力学量，证明：证明：考虑一维情况，由动量算符的定义：进而得到：由另外两个分量也可以得到类似的结果，故得证。所以有：证明：L²与L₂算符的共同本征态为Y(θ,0),平均值：21.对于用哈密顿算符描写的一维物理体系。证明：(1)解：(1)Aq=4-4,4p=-P,[a.门=äD-p=流。I(4)-j(GAqv-14v)LE(Aqv)°+1(Ap≤√2mE25.证明：(1)若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易。JJ证明：(1)设算符F与角动量算符J与皆对易，即,1=是]=0,则：动量算符皆对易，则算符F必与对易，于是，问题得证。27.设体系处在=2带状态中，9、C₂为常数。ww)=((zI+(Y₀/₂(z)+c₂IY₀))求H的本征值和相应的本征矢。久期方程,即(2b-E)(E²-b²)=0,解得：解：(1)[x.L.]=-ity。30.已知厄米算符A、B互相反对易：{A,B}=AB+BA=0;|b)是算符B的本征态：D|07=7,本征值b-0。求在态l中，算符A的平均值。解：因为{A,B}=AB+BA=0,所以有：0=<b|{A,B}|b)=(b|AB|b)+(b|BA但b=0,从而有：31.一维运动中，哈密顿量,32.证明厄米算符平方的对角元是非负的。证明：对于厄米算符A,其平方的对角元为：(2)若t-0时，子处于fi,它在A。表象中的表示。试求出t>0时的粒子波函数。(3)绘出粒子在f₁态的几率随t的变化(以A/△E为单位)。解：(1)哈密顿量H本征值E满足,所以E=E,±△E。E=E,+AE,对应本征E-E,-AE,对应本征(2)利用前面的结,故：,如图4-2所示。图4-234.设力学量算符(厄米算符)F,G不对易，令,试证明：(1)4三的本征值是实数。(2)对于F的任何本征态三，的平均值为0。(3)在任何态中证明：(1)三是厄米算符，所以其本征值必为实数。(3)易知：35.任意角动量算符满足]×j-涛。证明：在任意的两个状态与l之下，投影算符P的矩阵元为：而投影算符P的共轭算符的矩阵元为：f(x)D₂(a)V(x)=f(x)P(x-a)=D。、都不相等,试证当=时,40.已知t₂=L±试。,试证：[L².L.]=0。41.设为算符属于本征值的本征函数，且k=AB,-=1,试证：Bφ是算证明：Bo=ABBφ=(1+BABØ=(a+1)BP,所以，BØ是属于本征值λ+1的本征(3),故的本征函数，本征值为-1。,的本征函数，本征值是-1。=jGuFudz-JRGidr=ʃFuGdz(2)juitFG-GFudz-iju(FG-GF)udr,,上面已证明：=ʃu-(FG-GF)hidr=ʃui(FG满足厄米算符的定义，故i(FG-GF)是厄米算符。是厄米算符。是厄米算符。第4章力学量随时间的演化与对称性一、选择题考虑N个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中，粒子质量为m,势阱范围为D.A²π²N/4ma²【参考答案】E二、填空题1.费米子组成的全同粒子体系的波函数具有,玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有o【参考答案】对称性；反对称性2.自旋为的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有自旋为的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有-0【参考答案】的奇数倍；反对称变换；0或1的整数倍；对称变换3.称等固有性质完全相同的微观粒子为_o参考答案：质量；电荷；自旋；全同粒子三、判断题若力学量算符F不显含时间，则力学量口必为运动恒量。【参考答案】错1.能级的简并度指的是什么?2.描写全同粒子体系状态的波函数有何特点?六、综合分析题1.定点转子的状态可以用哪两个物理量的本征函数描述，这种描述是否唯一，还可以有什解：刚体定点转动时,可得：可知守恒量有2.设粒子在一维势场=中运动，其中a是常数，n是自然数，证明：对于束缚态3.利用角动量之间的对易关系，证明在-三的本征态一E中算符-曰和-曰和平均值证明：假设-二是Jz的本征态，相应的本征值是-日，4.粒子在势场V(x)中运动并处于束缚定态W(x),中。试证明粒子所受势场作用力的平均值证明：粒子所受势场作用的力算符F为：5.对于处于势场2中的一维粒子，证明在其基态下的动能和势能的平均因此,得证。6.粒子在势场中运动，写出定态能量E,并指出以下力学量中，哪些是守恒量：能量E,动量=轨道角动量L、L、L:,,宇称Ⅱ。7.作一维运动的粒子，当哈密顿算符为时，能级是日，如果哈密顿算符变(C为实参数),求变化后的能级-目。解：视以为参变量，则有：利用费曼—海尔曼定理可知：。在任何束缚态|n)下，均有：进而得到能量本征值满足的微分方程：对上式作积分，得到：最后，得到A的本征值为：8.给定总能量算符—,用En、Wa表示其本征值和本征函数。态矢量-三简记为曰。按照海森伯运动方程，力学量算符三的时间变化率算符为,,(1)若定义能量表象中矩阵元,证明：(2),证明求和规则：先计算对易矩阵：不用H的显式，直接对易式定义将后一对易式展开：这两种形式算符相等效：求能量本征态出、出所对应的上述算符的矩阵元。在计算过程中，凡是两个以上的算符乘积的矩阵元都用每一算符的矩阵元的项表示，此外矩阵元也用简写的代表文字如：将求和指标全部写成p,前式成为：9.设一粒子在一维空间运动，其哈密顿量为：证明：由Ehrenfest关系，对于不显与经典运动方程相同，得证。(1)任何不显含时间的力学量的平均值不随时间变化。(2)任何不显含时间的力学量取各种可能测量值的几率不随时间变化。证明：(1)由题意可知：A(t)=(w(t).Ay(t))Hy=E₂V,Aw=AW,a(t)=(w.,y(t))在Y(1)态下，在t时刻测量A得Ak的几率为|a₂)²,而：11.设力学量A不显含时间t,证明在束缚定态下，因A不显含时间t,所,因而有：一、选择题类氢原子问题中，设原子核带正电核为Ze,a0为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出现几率最大的径向坐标位置是()。1.描述微观粒子运动状态的量子数有_;具有相同n的量子态，最多可以容纳的电子【参考答案】主；角；磁；1,2,3,.….;0,1,2,.….,n-1;l,I-1,…,-l+1,-1三、简答题1.现有三种能级,E"cn²,E黑n,请分别指出他们对应的是哪些系统。2.有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”,你是否同意这种说法，简述理由。答：不同意。因为Vm=R(r)Y_(θ,0),R(r)R(")为实函数，但Y(θ.0)可以为复函数。1.已知氢原子的基态波函数(1)求氢原子的最可几半径(即径向几率密度取最大值的值)。(2)求氢原子的平均半径(即P得平均值)。解：(1)基态时，在?→r+dr范围内测量到电子的概率为：径向几率密度为：率密度取极大值，,因此0为最可几半径。(2)氢原子平均半径：2.试求的能级。你觉得能级简并度有什么特点?提示：二维各向同性谐振子可用极坐标求解，能级为径向量子数，m为磁量子数。E=(2n+m+m+1)to。,v=()=H(ay)exp(-α²y²/2)(1)由位力定理可得：(2)当把角动量部分分离后，类氢原子的的等效一维哈氏量为：利用Feynman-Hellmann定理(3)对一维等效定态方程：,,两边作用以一三，利用关系,可5.一个质量为m的粒子被限制在r=a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动。不存在解：波函数可设为,,则u(r)满足约化径向方程对于基态l=0,则方程变为：其。其通解为u(r)=Asin(kr+δ),a≤r≤b。,n=1,2,..因此基态能量：又由归一化条件,得：因此归一化的径向波函数为：又由,最后求得归一化的总波函数为：6.写出氢原子处于3p态的电子径向Schrodinger方程，并给出该态下哈密顿算符H和角动量平方算符曰的本征值。对于3p态电子，。哈密顿算符本征值角动量平方算符本征值7.质量为m的粒子处于二维简谐振子势中，分析该粒子能量本征态的简并度(或称退化度)。解：粒子能量本征态E=E₂+E,=ho(n₂+n,+),其中，此=2…。因此，n=n+n,简并度为n+1。8.氢原子处于基,其中a为玻尔半径。(2)求动量P的大小P的几率分布W(p)。解：(1)(2)因为基态空间波函数球对称，故其对应的动量空间波函数P)9.求粒子在无限深球方势阱中运动的S态(1-0)定态能量和归一化波函数。解得：由波函数有界性条件，知,因此，。故能级和归一化波函数为：10.一体系服从薛定谔方程：(1)指出体系的所有守恒量(不必证明)。(2)求基态能量和基态波函数。解：(1)体系的哈密顿量为：引入质心坐标日和相对坐标口：在坐标变换下，体系的哈密顿量变为：容易得知系统的守恒量为(中心力场)。(2)相对运动哈密顿量为：11.设t=0时氢原子处在态(1)求体系能量的平均值。(2)任意t时刻波函数(3)任意t时刻体系处在态的几率。(4)任意t时刻体系处在一|态的几率。(1)体系能量的平均值为：(2)任意t时刻波函数为：(3)任意t时刻体系处在I=态的几率为1/5。12.考虑在三维各向同性势下运动的带电荷+e的粒子，受沿正x方向的电场E的作用，求粒子的定态能量和波函数。已知一维线性谐振子对应于量子数n的波函数为解：由题意可知，其中归一化因子：,nx,ny,nz=0,1,2,3,...。13.设一粒子在一有心势场V(r)中运动，试问守恒的量有哪几个。(不计自旋)解：在有心势场V(r)中，哈密顿算符是：而角动量符只和一有关，与r无关。因此这些角动量算符与r的函数对易。因此目与H对易。而哈密顿不含t,所以[A,A]=0,即H也是守恒量。14.已知氢原子处于如下状态：求角动量平方和角动量第三分量的可能值及对应的几率。解：由题意可知：所以，据题中所给状态函数可得角动量平方的可能值为：2A²,0;对应的几率分别为1/3,角动量第三分量的可能值为：h,0;对应的几率分别为1/3,2/3。15.设氢原子处于 的状态上，求其能量、角动量平方及角动量看分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。解：选=三为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为：其中，量子数的取值范围是：利用归一化条件求出归一化常数为：氢原子的能量只与主量子数有关，由题意可知，n的可能取值只有两个，即—是：角动量量子数的可能取值只有一个，即曰，故有：16.设氢原子处于如下状态：求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学解：在此能量中，氢原子能量有确定值为：(n=2)。17.已知氢原子处在态下，求电子出现概率最大的角度方向。18.氢原子的波函数为,其中，下指标是量(1)该体系能量的平均值。(2)近似计算电子在二=cm之内出现的概率。(3)体系处于一日，态概率。解：(1)体系的能量平均值,由-=正交归一可得：率:由已(3)t时刻体系的波函数为：19.氢原子处于状态：.。问：氢原子的能量E、角动量平方日、角动量z分量曰，这三个量中哪些量具有确定值?哪些量没有确定值?有确定值的求出它的确定值；没有确定值的求出它的可能值及其出现的几率，并求出其平均值。角动量平方有确定值：角动量子分量没有确定值。日可能值：,几率目；面，几率目。平均值：20.1897年，毕克林(Pickering)在天文观察时，发现一个很象巴尔末线系的谱线系，如图6-1所示，该谱线系具备如下两个特征：一部分谱线与氢光谱的巴尔末线系几乎重合，但又不完全重合；一部分谱线介于氢光谱巴尔末线系两相邻谱线之间。里德伯将毕克林线系归结为类似巴尔末的经验公式：2=2.5,3,3.5,...请说明毕克林线系是由何种元素发出的，给出定量推断理由。注：图中较高的谱线代表巴尔末谱线，较短的谱线代表毕克林谱线，图中谱线是从n=3开始画入的图6-1解：毕克林线系是一=光谱。推断理由如下：(1)考虑原子核与电子的二体运动，里德伯常数应作如下修正：代入H和He的原子核质量，可以计算得到它们里德伯常数的微小差别，以此解释He+光谱存在与巴尔末线系靠近的光谱线。(2)由里德伯一般光谱公式：取m=4,Z=2,可以解释He+光谱的另一部分谱线出现在巴尔末两相邻谱线之间的现象。21.氢原子的波函数(t-0时刻)为。求时刻氢原子的平均能量，具有能量E₂的几率，以及相应角动量在Z方向投影为零的几率。其其中，(E是Bohr半径，一),为-三态对应的能量。于在一中，有三个能量本征态，其中-三和-三对应于能量E₂,故由几率定义，时;23.设氢原子处于状态,求氢原子能量、经归一化,所以当氢原子处于状态(1)能量的可能取值为,相应几率为1,平均值为(2)角动量平方的可能取值为B=,相应几率为1,平均值为(3)角动量z分量的可能取值为,相应几率为24.设氢原子在一时处于状态(1)二时氢原子的日、曰和三的取值几率和平均值。(2)2时体系的波函数，并给出此时体系的三、三和-目的取值几率和平均值。,将=向氢原子的本征态展开。(1)=,不为零的展开系显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为于是归一化的展开系数1)能量的取值几率：;平均值为：3)L₂的取值几率为：;平均值：皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与t=0时第6章电磁场中粒子的运动一、简答题1.什么是塞曼效应?什么是斯达克效应?2.写出电子在外电磁场中的哈密顿量。1.电子在二维均匀磁场中运动，,试写出描写该系统的哈密顿量。解：可取,系统的哈密顿量为：2.质量为4,电荷为q的粒子在以电磁势(目，A)描写的电磁场内运动，哈密顿量为,试求相应的守恒流。解：薛定谔方程为,前一方程乘以W,程乘以Y,二者相减可得,后一方由此可得守恒流为：3.处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：其中，m是电子质量，=为电子动量算符，算符A且②和B都为实常数，证明电子角动量算符的z分量为该体系的守恒量。其中，显然。设：于是有：利用类似的方法，可得：=-i[Lp]+[PJx)=-2沈y[²,J.]=[V,節-]=[j²,p]=2/iy第7章量子力学的矩阵形式与表象变换一、综合分析题1.一维谐振子在t=0时处于归一化波函数所描述的态中，式中4(x)、A(x)、4(x)均为一维谐振子的归一化定态波函数，求：(1)待定系数C。(2)t=0时，体系能量的可能取值及相应的几率。(3)t>0时，体系的状态波函数Y(x,t)。(4)t=0与t>0时体系的。(2)能量可能取14都为偶数，故宇称为偶。,相应的几率为1/2、1/5、3/10。因为n=0、2、(4)利,有：解：L满足的本征方程为：5.设算符,求A的本征值和本征函数。则有：可得-C₁=C₂,又IG²+|C₂P=1,则有：,则有：,则有：(2)给出从A表象到B表象的变换矩阵。解：(1)令A的本征值为α,本征态为，则：Ay=ay,Av=αv=y,d²=1,α=±1同理，B的本征值β=±1,在A表象中，由β²=1得b²=1,b=e°,为任意实数，取①=0。由B的本征方程,解得：β=1时，0(2)找出一个么正变换矩阵S,将算符一x对角化。解：(1)设本,本征值为2,则本征方程为: (2)么正变换矩阵：将一交换到自身表象中实现对角化：8.证明幺正变换不改变算符的本征值。证明：设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S。对任意算符F,其在该表象下的矩阵表示为F,则对其进行幺正变换后的矩阵表示为：=由于相似变换不改变矩阵本征值，故SFS与F本征值相同，因此幺正变换不改变算符本征值。9.试证明，表象经幺正变换后，不改变算符本征值。证明：设警=U为幺正变换，则UFY=UFW=F₂UY=UFU+OY=由>=1=N(l)-02(la)-(|X出矩阵A、B。解：根据定义有：由此式求出B的本征值为0,1。在B表象中，B为对角矩阵，对角矩阵元等于本征值，所以B可以表示为：②则有：⑤⑤由③可得：⑥由式⑤、⑥可得：。可取(α为实数),代入②式，即得B表象中A的矩阵表示：⑦由①、⑦表示的A、B已满足题设条件。故α可取实数。令α-0,则：15.力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点?解：力学量在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为G的本征值。16.已知厄米算符A、B,满足A²=B²=1,且3÷盛=m,求：解：(1)由于A²=1,所以算符A的本征值是±1,因为在A表象中，算符A的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符A的矩阵是：由于B²=1,所以：-令012=e,其中为任意实常数，得B在A表象中的矩阵表示式为：(2)类似地，可求出在B表象中算符A的矩阵表示为：,,可得：2-±1。对λ=1,有：所以，在B表象中算符A的本征值是±1,本征函数为：(3)类似地，在A表象中算符B的本征值是±1,本征函数为：从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符B在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，1.称等固有性质的微观粒子为全同粒子。【参考答案】质量；电荷；自旋；完全相同2.对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为,考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_o【参考答案】n²;2n²3.一个电子运动的旋量波函数为,则表示电子自旋向上、位置在严处的几率密度表达式为,表示电子自旋向下的几率的表达式为-0【参考答案】电子自旋。答：电子的内禀特性之一：(1)在非相对论量子力学中。电子自旋是作为假定由Uhlenbeck和Goudsmit提出的：每个电子具有自旋角动量S,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：;每个电子具有自旋磁矩Ms,它和自旋角动量的关系式：(2)在相对论量子力学中，自旋象粒子的其他性质—样包含在波动方程中，不需另作假定。三、简答题1.请用泡利矩并验证它们满足角动量对易关系。2.写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。答：总自旋为0:总自旋为1:|Ty个>3.写出泡利矩阵。4.试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。答：让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。5.完全描述电子运动的旋量波函数,试述|。-及分别表示什么样的物理意义。答：表示电子自旋向下G₂=-A/2),位置在严处的几率密度；表示电子自旋向上(G₂=A/2)的几率。6.何谓正常塞曼效应?何谓反常塞曼效应?何谓斯塔克效应?答：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为(2j+1)条(偶数)的现象称为正常塞曼效应。原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。7.写出在表象中的泡利矩阵。8.斯特恩—革拉赫实验证明了什么?答：(1)半整数内禀角动量在存在。(2)空间量子化的事实。(3)电子自旋磁矩需引入2倍关系。9.自旋可以在坐标表象中表示吗?答：自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。10.反常塞曼效应的特点，引起的原因。(1)碱金属原子能级偶数分裂；(2)光谱线偶数条；(3)分裂能级间距与能级有关；(4)由于电子具有自旋。11.电子在位置和自旋S:表象下，波函如何归一化?解释各项的几率意义。表示粒子在(x,y.2)处的几率密度。12.写出电子自旋=的二本征值和对应的本征态。解：(1)基态"=n=0加o非简并第一2ha二重(2)基态-n₂=0a非简并(3)基态马=n=0o非简并第二3ha二态简并其中，θ和4是球坐标系中的角度坐标，s₂=土代表自旋自由度。Y₁-(θ,0)是球谐函数，Z±是自旋算符：的本征态，(1)若在该状态下测量轨道角动量平方算符L²对应的力学量，计算可能得到的测量值以及相应的几率，并计算该力学量的量子力学平均值。(2)若在该状态下测量轨道角动量的z分量，做与上问相同的计算。(3)若在该状态下测量自旋角动量的z分量，做与上两问相同的计算。(4)定义总角动量的J=L+S,若测量该角动量的平方，做与上面相同的计算。(5)状态是否是哈密顿量A=αL.S的本征态(其中α为常数),给出理由。解：(1)该状态下测量轨道角动量平方算符L²对应的力学量，对应的计算式为：由于自旋波函数不与轨道角动量算符作用，因此：根据球谐函数的性质，有：因此，,也即可能得到的测量值为2A²,相应概率为1。(2)该状态下测量轨道角动量z分量，类似前面的计算过程，有：根据球谐函数的性质，有：于是，有：因此，可能的测量结果为0和力，相应概率分别为(3)该状态下测量自旋角动量z分量₂,由于坐标空间波函数不与自旋算符发生作用，所因此可能的测量结果为,相应概率分别为由角动量升、降算符的定义，可得：故可能的测量结果、√2h²,,对应概率比为2:2√2:1,也即相应的概率分别因此，有：3.当前冷原子物理研究非常活跃。在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为