北约自主招生试题及答案解析

2013“北约”自主招生试题

2013-03-16

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(每题8分，共48分)

1.以应和1-为两根的有理系数多项式的最高次数最小为()

A.2B.3C.5D.6

【解】由％=虚河知V=2,同理由1-次=%可知(1-4=2;

所以方程(/—2)[(1-X)3-2]=O的次数最小，其次数为5,故选C.

2.在6x6的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆

车，每辆车只占一格，共有种停放方法.

A.720B.20C.518400D.14400

【解】红色车选3列有C；=20种方法，再从这三列中选三行有C：=20种方法，另外将红色

车放在已选好的三列三行中有3x2=6种方法，同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格

中选，也有3x2=6种方法，因此方法数有(20x20x6)x6=14400种.故选D.

3.已知x2=2y+5,y2=2x+5(xwy),贝ijx3一212y2值为()

A.-10B.-12C.-14D.-16

【解】由Y=2y+5与V=2x+5两式作差得x+y=—2(xwy),代入两式中分别化出

X2+2x-l=0.V+2y_l=0,所以乂y是方程r+2—1=0的两个不等实根，于是

x+y=-2,个=-1,也所以

x3-2x2y2+V=(%+y)[(x+y)2-3xy]-2(xy)2=(-2)x7-2=-16.故选D.

4.在数列｛q｝中,q=1,=4an+2(〃N1),则^I3值为()

A.3019x22012B.3019x220'3C.3018x22012D.无法确定

【解】由q=1,S〃+1=4q+2(〃N1)……①可知，

当〃=1时,S2=4《+2,所以q=5;

当〃N2时，有S“=44“+2(n>2)……②，由①-②式得，

♦=44-4%(«>2),即q川一〃=2(见一%)522),且&-二3

所以《「24=3x21同除以2"得，巴&一%=且华=1:

”2"2"T22°

所以芸=1+3〃，故令〃=2012时，得a刈3=22m%3019,故选A.

22

5.在A4BC中，。为BC中点,平分N4■交AB于点〃，。乂平分NAOC交AC于N,

则BM+CN与MN的关系为（）

A.BM+CN>MN-

B.MN+CN<MN

C.BM+CN=MN

D.无法确定

【解】如图，在DA取£）石二。8,连接ME,NE,MN

则显然可证ME=MB,EN=NC、

且有ME+NENMN，即BM+CNNMN,

上述不等式当且仅当/MED+4DEN=180,

也即N8+NC=18（T,

这显然与三角形内角和定理矛盾，故等号取不到,

也即选A.

6.模长都为1的复数A,B,C满足A+5+CHO,则，--------的模长为（）

A+8+C

A.--B.1C.2D.无法确定

2

【解】由题知4A=88=。。=1,所以

BC+AC+AB2BC+AC-ABBC+AC+AB

-----------------x——-

A+3+CA+8+CA+8+C

2----------------------

BC+AC+ABBC+AC+ABBC-^-AC+AB

也即=-------------------------------x——=-=~=——

A+8+CA+8+CA+3+C

3+BA+CA+AB+C8+AC+8c,,

=------=1,故选B.

3+AB+AC+3A+8C+CA+CB

二、解答题（每题18分，共72分）

7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数，并证明你的结论.

【解】:至多有4个.首先可以取137,9这四个数,它们任意三个数之和分别为11,13,17,19符

合质数定义.下面再证明5个正整数是不符合题意的.

若有5个正整数，则考虑这五个数被3除的余数，如果有一个数的余数为0,那么考虑余

下的4个数被3除的余数,如果余数既有1也有2,那么这两个数与前面余数为0的数的和刚

好为3的倍数，故不符合题意，如果余下四个数的余数均相等，显然取余下四个数中的三个数,

则这三个数的和为3的倍数不是质数，也不符合题意,如果这5个数被3除的余数都不等于

0,则由抽屉原理，至少有3个数被3除的余数相同，这三个数的和是3的倍数不是质数，也不

符合题意.综上可知,不存在5个止整数符合题意，即全多有4个止整数符合题意.

-

8.已知q+/+/+…+。2013=0,且—2%1=1%-2/1=­••=1«2OBI-

证明：q=a2=%=…=&0[3=0.

【证明】：观察可知4+/+6+…+々2013=°，

即(2%—q)+(2%—啰)+…+(2生013一。2012)+(2q一々OK)=0......①

又|--2a2H々一招1=…=1々2013-2%],不妨设|%-2%1=t，

则①可写为写一(2013-4)r=0(0WNN2013[wN)4|](2*-2013)/=0,

又显然2k-2013Ho，则有f=0,于是有

q=2〃2，&=2々3，'•'Mzoiz=2a2013M2oi3=,所以q=2".4,即q=0.

也所以q=%=%=,•=&m3=。,即证.

9.对于任意。，求32cos6。—cos6，-6cos46—15cos2夕的值.

【解】32cos6，-cos6，-6cos48-15cos2〃

=32(J+c0s-cos60-6cos4,-15cos10

2

=4(1+cos320+3cos20+3cos226)-(3cos32。-4cos26)-6cos4。-15cos20

=4+12cos228—6cos4。=4+6(1+8s4。)一6cos46=10即求.

10有一个mx〃的数表,己知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重

新排列，则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论.

K原题叙述次已知有n个实数，排列成mxn阶数阵，记作｛4｝…，使得数阵中的每一行从

左到右都是递增的，即对意的，=1,2,3,・・•，加，当/<A时，都有/V，•现将｛%%”的

每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的mx〃阶数阵，记作｛《｝皿,

即对任意的，=1,2,3,・・・,〃,当I；<i2时，都有处<4八试判断｛4｝E中每一行的〃个

数的大小关系，并说明理由.

【解】：数阵｛"｝心“中每一行的〃个数从左到右都是递增的，理由如下：

显然，我们要证明数阵｛q；｝,“〃中每一行的“个数从左到右都是递增的，我们只需证明，

对于任意，=1,2,3,・・・,加,都有淇中）=1,2,3,・,・,（〃一1）.

若存在一组或>或2）,

a

令4（q+】）=iks+1）淇中左=123,・・・,人｛彳,。，…，iJ=｛12