6.2+排列与组合+讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育试卷第=page11页，总=sectionpages33页倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育第六章计数原理第六章计数原理6.26.2排列与组合知识解读 知识解读知识点一排列排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示排列数公式的两种形式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.(2)Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为Aeq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.排列相同的条件两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素完全相同．(2)元素的排列顺序也相同．知识点二组合组合定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．组合数公式组合数公式乘积形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n阶乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)规定：Ceq\o\al(0,n)＝1.组合数的性质性质1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).知识点三排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数Ceq\o\al(m,n)与排列数Aeq\o\al(m,n)间存在的关系Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)知识归纳知识归纳排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“Aeq\o\al(m,n)”表示Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)(1)Aeq\o\al(n,n)＝n！；(2)0！＝1Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),m！)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“Ceq\o\al(m,n)”表示Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)(1)Ceq\o\al(n,n)＝Ceq\o\al(0,n)＝1；(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；(3)Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)题型探究题型探究例1．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只鞋子恰有两双；（3）4只鞋子有2只成双，另2只不成双．【答案】（1）3360(种)；（2）45(种)；（3）1440(种)．【详解】解：（1）从10双鞋子中选取4双，有种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝×24＝3360(种)．（2）从10双鞋子中选2双有种取法，即有45种不同取法．（3）先选取一双有种选法，再从9双鞋中选取2双有种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝×22＝1440(种)．例2．平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线.（1）试写出以其中任意两个点为端点的有向线段.（2）试写出以其中任意两个点为端点的线段.（3）试写出以其中任意三点为顶点的三角形.【答案】（1）AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC；（2）AB，AC，AD，BC，BD，CD；（3）ABC，ABD，BCD.【详解】解：（1）以其中任意两个点为端点的有向线段为一个排列，共有有向线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC；（2）以其中任意两个点为端点的线段为一个组合问题，共有线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD；（3）以其中任意三点为顶点的三角形是一个组合问题，共有ABC，ABD，BCD.例3．对任意，定义+，其中为正整数.（1）求的值；（2）探究是否为定值，并证明你的结论；（3）设，是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1),;(2)是定值，答案见解析;(3)答案见解析.【详解】解：(1)由题意知，，，所以，(2)是定值，证明:由题意知，，，则，所以.(3)假设存在正整数，使得成等差数列，则，当时，，即，即，因为，所以，，整理得，，其中为正整数，，因为，所以，当且仅当时等号成立，又，即不成立，即假设不成立，所以不存在存在正整数，使得成等差数列.例4．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，女生必须站在一起；（4）全体排成一排，男生互不相邻；（5）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；（6）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600;（6）3720【详解】（1）从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2520(种).（2）分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有种方法，共有＝5040(种).（3）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有＝576(种).（4）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，共有＝1440(种).（5）法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×＝3600(种).法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有种排法，其他有种排法，共有＝3600(种).（6）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，共有＋＝3720.法二：7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有－2＋＝3720(种).例5．现有编号为，，，，，，的7个不同的小球．（1）若将这些小球排成一排，且要求，，三个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求球排在中间，且，，各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）若将这些小球排成一排，要求，，，四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【详解】（1）把，，三个球看成一个整体，则不同的排法总数为种.（2）在正中间，所以的排法只有1种，因为，，互不相邻，故，，三个球不可能在同在的左侧或右侧，若，，有1个在的左侧，2个在的右侧，则不同的排法有，同理可得若，，有2个在的左侧，2个在的右侧，不同的排法有，故所求的不同排法总数为种.（3）从7个位置中选出4个位置给，，，，且，，，四个球按从左到右排，共有排法种，再排余下元素，共有种，故不同排法总数为种.（4）三个盒子所放的球数分别为或，若三个盒子所放的球数分别为，则不同排法共有，若三个盒子所放的球数分别为，则不同排法共有，故不同的排法总数为.课后小练课后小练1．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．2．现有大小相同的只球，其中只不同的红球，只不同的白球，只不同的黑球．（1）将这只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答）（2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，共有多少种分堆的方法?（请用数字作答）（3）现取只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）3．（1）3个人坐在有八个座位的一排椅子上，若每个人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？（2）某高校现有10个保送上大学的名额分配给7所高中学校，若每所高中学校至少有1个名额，则名额分配的方法共有多少种？4．将个编号为、、、的不同小球全部放入个编号为、、、的个不同盒子中.求：（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（4）把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？5．现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？（5）如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？6．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生男生等级优秀合格尚待改进频数155表二：女生女生等级优秀合格尚待改进频数153（1）求,的值；（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望；（3）由表中统计数据填写列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.男生女生总计优秀非优秀总计45参考公式：，其中.参考数据：0.010.050.012.7063.8416.635倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育参考答案1．（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【详解】（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，所以甲、乙两组的比例是，又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．2．（1）种；（2）种；（3）.【详解】解：（1）只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有种方法；（2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，共有种分法；（3）当取出个红球，个的白球，个的黑球时，；当取出个红球，个白球，个黑球时，；当取出个红球，个白球，个黑球时，；.故各种颜色的球都必须取到的概率为．3．（1）24；（2）84【详解】解：（1）由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有（种．（2）根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空；相当于用6块档板插在9个间隔中，共有种不同方法．所以名额分配的方法共有84种．4．（1）（种）；（2）（种）；（3）（种）；（4）（种）.【详解】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为（种）；（2）先将个小球分为组，各组的球数分别为、、，然后分配给个盒子中的个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）；（3）考查编号为的盒子中放入编号为的小球，则其它个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为、、的盒子中放入的小球编号可以依次为、、或、、，因此，所求放法种数为（种）