精-品解析：广东省深圳市龙华区2023-2024学年高一上学期1月期末学业质量监测数学试题（解析版）

第1页/共1页龙华区中小学2023-2024学年第一学期期末学业质量监测试卷高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.半径为的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由弧长公式计算即可得.【详解】由弧长公式得.故选：B.2.函数定义域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接求定义域即可.【详解】由得，定义域是.故选：D3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求得方程的解为或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】将代入中可得，即“”是“”的充分条件；由，得，即或，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A．4.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】借助指数、对数与幂函数的性质，结合中间值即可比较大小.【详解】由，，，可得，故选：C.5.如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求.故选D.【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.定义一种运算：．已知函数，为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先明确的解析式，再根据函数图象变换的法则直接写出结论.【详解】由题可知函数，将其图象上所有点向右平移个单位长度可得到函数的图象.故选：A7.如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设正方体边长为1，由图可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.【详解】设正方体边长为1，由图可得，则且，所以.故选：B.8.设集合，，若，则的取值范围是（）A. B.C.且 D.【答案】C【解析】【分析】确定，根据可推得函数与函数的图象没有交点，即无解，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由得，，所以集合，集合.等价于函数与函数没有交点，即无解，，当且仅当时等号成立，所以，又因为，所以且，故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各组函数中，是相同函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】AC【解析】【分析】根据函数的三要素，特别是定义域和对应关系是否相同，可判断函数是否为相同函数，由此一一判断各选项中的函数，即可得答案.【详解】对于A选项，与的定义域都为R，对应关系相同，二者是相同函数；对于B选项，函数定义域是，函数的定义域是，定义域不同，不是相同函数；对于C选项，与的定义域都为R，对应关系相同，二者是相同函数；对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是相同函数，故选：AC.10.已知非零实数，满足，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】对A，由等价于即可得；对B、C、D，构造对应函数，结合函数的单调性即可判断.【详解】对于A选项，等价于，即，当时，显然成立，A正确；对于B选项，函数在定义域内不是增函数，所以当时，不一定成立，B错误；对于C选项，函数在上是减函数，所以当时，，C正确；对于D选项，在内是增函数，当时，，所以，D正确.故选：ACD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的值域是 B.的图象关于原点对称C.在其定义域内单调递减 D.方程有且仅有两根【答案】BD【解析】【分析】用换元法和反函数定义域求原函数值域判断A；用奇偶性定义判断B；对于C用举反例的方法排除；利用函数单调性与零点存在定理判断D.【详解】对于A，函数的定义域是，令(且)，函数(且)的值域为或，所以的值域是，A错误；对于B，因为，所以函数的图象关于原点对称，B正确；对于C，在函数的定义域内任取两个数，，不满足单调递减的定义，故C错误；对于D，令，则，易得在和上单调递减，在上单调递减，所以在和上单调递减，又，，，，所以在与上各存在唯一零点，即方程有且仅有两根，故D正确.故选：BD.12.已知函数（，），为的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是（）A. B.若，则C.是偶函数 D.的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】对A，将代入结合题目条件可得的值；对B，由函数的图象是中心对称图形，且即可得；对C，由无法判断奇偶性可得；对D，结合函数单调性即可得.【详解】对于A选项，由是的零点得，所以，即，因为，所以，故A正确；对于B选项，函数图象是中心对称图形，由得是函数的对称中心，所以，故B正确；对于C选项，，奇偶性无法判断，故C错误；对于D选项，由A选项得，因为函数在上单调递减，所以，，解得（），所以当时，，当无解，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知集合，，则____．【答案】##【解析】【分析】由交集的定义和运算直接得出结果.【详解】集合，所以.故答案为：14.设均为实数，且，则____________.【答案】##【解析】【分析】等式两边同时取对数，求出的值，代入，利用对数的性质即可求出值.【详解】，取对数得，，；.故答案为:.【点睛】本题考查了有理数指数幂的化简求值，对数的性质和运算法则，属于基础知识的考查.15.如图，单位圆被点，，，…，平均分成份，以轴的正半轴为始边，（…）为终边的角记为，则=____，=____．（说明：∑是一个连加符号，…）【答案】①.②.##【解析】【分析】根据题意，可先确定的值，再求三角函数值.【详解】由题意得，所以，所以.单位圆被平均分成12份，则，，所以.故答案为：；16.已知且，若函数中至少存在两点，使关于轴对称，则的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】结合一次函数单调性对参数的取值范围进行分类讨论，根据题意可知当时才会满足题意，再结合一次函数与指数函数的增长速率之间的关系可得，即可求得的取值范围.详解】当时，函数单调递增，且时，；而单调递减，且，所以当时，当时，此时不存在两点使其关于轴对称，所以不满足题意；当时，函数单调递增，单调递增，当时，当时，此时不存在两点使其关于轴对称，所以不满足题意；当时，函数，存在使其关于轴对称，满足题意；当时，单调递减，单调递增，易知与关于轴对称，要存在两点使其关于轴对称，则需当时，函数与函数的图象有交点，再由一次函数与指数函数的增长速率之间的关系可得，即.综上所述，的取值范围是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于将存在两点使其关于轴对称的问题转化成直线关于轴对称的直线与令一段图象有交点，即可得出结果.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（1）计算：；（2）已知角终边上一点，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指数运算和对数运算法则计算出答案；（2）先根据三角函数定义求出，再利用诱导公式化简后代入求值.【详解】（1）（2）因为为角终边上一点，所以，.18.已知函数的一条对称轴为．（1）求的值；（2）当时，求的单调递增区间【答案】18.19.，【解析】【分析】（1）由正弦函数的对称轴结合得出即可；（2）方法一：先求出当时，，再由正弦函数的单调区间解出x的范围；方法二：整体直接代入正弦函数的单调区间，再求出x范围.【小问1详解】依题意得（），所以（），因为，所以.【小问2详解】法一：由（1）得，当时，，所以，当或时，单调递增，解得此时或，故在上的单调递增区间为，.法二：由（1）得，解（）得（），因为，所以当时，；当时，，故在上的单调递增区间为，.19.如图，给出函数的部分图象．（1）请在图中同一坐标系内画出函数的图象．设与在轴左边的交点为，试用二分法求出的横坐标的近似解（精确度为0.3）；（2）用表示，中的较大者，记为，请写出的解析式．【答案】（1）函数图像见解析，（2）.（或）【解析】【分析】（1）根据函数零点的存在性定理，进行计算，确定零点所在的区间，当区间长度小于或等于时，可以用区间内的任意一点的横坐标作为问题的答案；（2）数形结合，先确定方程的解，再判断各区间上与的大小.【小问1详解】如图.令，则当时，方程的近似解等价于求函数在内的零点，因为，，所以，由零点存在定理可知，.又因为，所以，由零点存在定理可知.又因为，故，由零点存在定理可知.因为，所以可取为.【小问2详解】由，得，或.结合（1）的图象，可得.（或）20.已知函数，且．（1）若，求方程的解；（2）若对，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）令，利用换元法将原方程转化为，则或，结合对数的运算性质即可求解；（2）令，原不等式可转变为在上恒成立，结合二次函数的性质分类讨论，求出即可求解.【小问1详解】令，则，当时，等价于，即，得，有或，则或，所以或.【小问2详解】法一：令，由，得，依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立，令，对称轴，①当时，即，，得.所以.②当，即，，得.所以.综上所述，取值范围为.法二：令，由，得，依题意得恒成立，令，①当时，易知在上单调递增，且当时，，所以此时没有最小值，即不存在使得不等式恒成立.②当时，易知在上单调递增，故恒成立，解得，即当时，不等式恒成立.③当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号，要使原不等式成立，须使恒成立，解得综上所述，的取值范围为.法三：令，由，得，依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立，由，得，①当时，恒成立，R；②当，，所以在上恒成立，令，，则，在上单调递减，所以，所以，的取值范围为.③当，，所以在上恒成立，令，，则，当且仅当，即，，时等号成立，即，所以，的取值范围为综上所述，的取值范围为.21.如图所示，某开发区有一块边长为的正方形空地．当地政府计划将它改造成一个体育公园，在半径为的扇形上放置健身器材，并在剩余区域中修建一个矩形运动球场，其中是弧上一点，分别在边上．设，球场的面积．（1）求的解析式；（2）若球场平均每平方米的造价为元，问：当角为多少时，球场的造价最低．【答案】（1）（2），球场的造价最低【解析】【分析】（1）如图，过点作的垂线，垂足为.由三角函数的定义表示出，进而表示出，即可求解；（2）令，则，由题意可得球场的造价为，结合基本不等式计算即可求解.【小问1详解】过点作的垂线，垂足为.由题意得：，，所以，，所以.【小问2详解】依题意得球场的造价，令，因为，所以，所以，故，因为，当且仅当时取等号，此时，球场的造价最低.22.若函数的定义域为，若对于给定的正实数，存在，使得，则称函数在上具有性质．（1）若函数在区间上具有性质，求正整数的最小值；（2）若函数在区间上具有性质，