2024-2025学年高中物理第六章万有引力与航天章末整合提升学案新人教版必修2

PAGE9-章末整合提升[构建学问网络][要点专题突破]专题一万有引力与重力的关系1．物体受到的万有引力产生两个效果：一个是维持物体做圆周运动，另一个是使物体压紧地面．所以可将万有引力分解为两个分力：一个分力供应物体做圆周运动所需的向心力，另一个分力就是重力，数值上等于地面对物体的支持力．在赤道上时，这些力在一条直线上，且满意Geq\f(Mm,R2)＝mg＋mω2R，式中R、M、ω分别为地球的半径、质量、自转角速度．2．重力是由万有引力产生的，但重力不是万有引力，它是万有引力的分力．物体随地球一起转动，所须要的向心力F＝mω2R＝meq\f(4π2,T2)R很小，可以近似认为重力等于万有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2).[例1]已知地球半径为R，一只静止在赤道上空的热气球(不计气球距离地面的高度)绕地心运动的角速度为ω0，在距地面h高处的圆形轨道上有一颗人造地球卫星，设地球的质量为M，热气球的质量为m，人造地球卫星的质量为m1.依据上述条件，有一位同学列出了以下两个式子：对热气球有Geq\f(Mm,R2)＝mωeq\o\al(2,0)R，对人造地球卫星有Geq\f(Mm1,R＋h2)＝m1ω2(R＋h)，进而求出人造地球卫星绕地球运行的角速度ω.你认为该同学的解法是否正确？若认为正确，恳求出结果．若认为错误，请补充一个条件后，再求出ω.[解析]该同学的解法不正确．对人造地球卫星所列方程正确，但对热气球，其静止在赤道上是因为所受浮力与重力平衡，而不是万有引力供应向心力．补充条件的方法有两种：(1)可补充地球表面重力加速度g.对热气球有Geq\f(Mm,R2)＝mg，对人造地球卫星有Geq\f(Mm1,R＋h2)＝m1ω2(R＋h)，联立以上两式得ω＝eq\f(R\r(gR＋h),R＋h2).(2)可补充同步卫星离地面的高度h0.对同步卫星有Geq\f(Mm0,R＋h02)＝m0ωeq\o\al(2,0)(R＋h0)，对人造地球卫星有Geq\f(Mm1,R＋h2)＝m1ω2(R＋h)，联立以上两式得ω＝ω0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R＋h0,R＋h)))eq\f(3,2).[答案]见解析总结提能明确地球表面上的物体和在空中绕地球转动的物体受力状况和运动状况的不同，以及物体随地球或绕地球做圆周运动向心力的来源，是解决这类问题的关键．专题二对人造卫星几个“速度”的理解1．放射速度卫星干脆从地面放射后离开地面时的速度，相当于在地面上用一门威力强大的大炮将卫星轰出炮口时的速度，卫星离开炮口后，不再有动力加速度．2．第一宇宙速度(环绕速度)地球卫星的最小放射速度．在地面旁边，卫星绕地球做圆周运动，万有引力供应向心力，又因为万有引力近似等于重力，所以有mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，即环绕速度v1＝eq\r(gR)，式中R为地球半径，g是地面旁边的重力加速度．此式仅适用于在地面旁边的圆轨道上运行的卫星．将g、R值代入得v1＝7.9km/s，即放射速度为7.9km/s时，卫星刚好在地面旁边的圆轨道上运行，且其绕行速度为7.9km/s.3．其次宇宙速度(脱离速度)使物体可以摆脱地球引力的束缚，成为绕太阳运行的人造行星(或飞到其他行星上去)的最小放射速度，其大小v2＝11.2km/s.4．第三宇宙速度(逃逸速度)使物体摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小放射速度，其大小v3＝16.7km/s.5．轨道速度人造卫星在高空沿着圆轨道或椭圆轨道运行．若沿圆轨道运行，此时Fn＝F引，即meq\f(v2,r)＝Geq\f(Mm,r2)，所以v＝eq\r(\f(GM,r))，式中M为地球质量，r为卫星与地心之间的距离，v就是卫星绕地球运行的速度．由于v∝eq\r(\f(1,r))，所以v随r的增大而减小，即卫星离地球越远，其轨道速度就越小．当r＝R地时，v＝v1，即第一宇宙速度是轨道速度的特例；当r>R地时，v<v1.因此轨道速度总小于或等于第一宇宙速度．换句话说，卫星绕地球运行的最大速度是7.9km/s.[例2]设地球半径为R，地球自转周期为T，地球同步卫星距赤道地面的高度为h，质量为m，此卫星处在同步轨道上运行时与处在赤道地面上静止时，试求：(1)线速度之比；(2)向心加速度之比；(3)所需向心力之比．[解析]由于卫星在同步轨道上运行时与处在赤道地面上静止时，具有相同的运转角速度，则(1)二者的线速度之比eq\f(v同,v赤)＝eq\f(ωR＋h,ωR)＝eq\f(R＋h,R).(2)二者的向心加速度之比eq\f(a同,a赤)＝eq\f(ω2R＋h,ω2R)＝eq\f(R＋h,R).(3)二者所需向心力之比eq\f(F同,F赤)＝eq\f(mω2R＋h,mω2R)＝eq\f(R＋h,R).[答案](1)eq\f(R＋h,R)(2)eq\f(R＋h,R)(3)eq\f(R＋h,R)总结提能运用万有引力定律解题时，必需明确区分探讨对象是运行在轨道上的卫星还是静止在地面上的物体，即地球的万有引力是完全供应向心力还是既供应向心力又产生重力．这一点是此类题目的求解关键．此外，还要特殊留意同步卫星与地球赤道上的物体具有相同的运转角速度和运转周期．专题三卫星的追及、变轨及对接问题卫星的变轨问题应结合离心运动和向心运动去分析，因为变轨的过程中不满意稳定运行的条件F万＝F向，而是在原轨道上因为速度减小做向心运动而下降，速度增大做离心运动而上升，但是一旦变轨胜利后又要稳定运行，这时又满意F万＝F向．[例3]如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是()A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的cD．a由于某种缘由，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大[解析]因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、向心加速度大小均相等．又b、c轨道的半径大于a轨道的半径，由v＝eq\r(\f(GM,r))，知vb＝vc<va，故A错误；由a＝eq\f(GM,r2)，知ab＝ac<aa，故B错误；当c加速时，c受到的万有引力F<meq\f(v\o\al(2,c),rc)，故它将偏离原轨道，做离心运动，当b减速时，b受到的万有引力F>meq\f(v\o\al(2,b),rb)，它将偏离原轨道，做向心运动．所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故C错误(对这一选项，不能用v＝eq\r(\f(GM,r))来分析b、c轨道半径的改变状况)；当a的轨道半径缓慢减小时，由v＝eq\r(\f(GM,r))，知r减小时，v渐渐增大，故D正确．[答案]D总结提能卫星在运动中的变轨有两种状况，即离心运动和向心运动．当Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)时，卫星做向心运动；当Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)时，卫星做离心运动．在这里要留意，因为原轨道上的速度减小做向心运动轨道降低了，但是降低后在低轨道上运行的速度要比在原高轨道上的速度大．专题四解决天体运动问题的几种模型1．物理模型思想在应用万有引力定律探讨天体运动问题时，常常会建立一些物理模型．恰当构建物理模型，有助于快速、合理地处理问题．本章常见的模型有质点模型、匀速圆周运动模型和绕行模型．(1)质点模型天体有自然天体(如地球、月球)和人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)两种，无论是哪种天体，在分析天体运动问题时，常把探讨对象看成质点，环绕天体干脆看成一个质点，中心天体看成是位于球心位置的一个质点．(2)匀速圆周运动模型行星与卫星的运行轨道大都是椭圆，用圆周运动学问处理接近圆的椭圆轨道问题，误差不大并且便利解决，因此天体的运动就抽象为质点的匀速圆周运动．(3)绕行模型①核星模型这种天体运动模型中，一般由运行天体绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动，即为常规性运动模型．②双星模型在天体模型中，将彼此距离较近的两颗恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕二者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动．③三星模型宇宙中存在一些离其他恒星较远的三颗星体组成的相对稳定的系统，三颗星体可能构成稳定的正三角形，也可能在同始终线上．2．志向化模型涉及解决天体运动问题的思维方法是将天体运动建立志向化模型，从而简化与天体运动有关的计算．(1)把天体看成是志向化的质点模型，天体间的作用力大小F＝Geq\f(Mm,r2)，r即两个质点间的距离，假如是两个匀质球体，则r表示两个球体球心间的距离．(2)物体在天体表面所受的重力等于(约为)它们间的万有引力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，此公式忽视了天体自转带来的影响．(3)把天体的运动看成是志向化的匀速圆周运动，天体做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力供应，即ma＝Geq\f(Mm,r2).[例4]宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起．设两者相距为L，质量分别为m1和m2.(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比；(2)试写出它们角速度的表达式．[解析]双星之间相互作用的引力满意万有引力定律，即F＝Geq\f(m1m2,L2)，双星依靠它们之间相互作用的引力供应向心力，又因为它们以二者连线上的某点为圆心，所以半径之和为L保持不变，运动中角速度不变，如图所示．(1)分别对m1、m2应用牛顿其次定律列方程，对m1有Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2R1①对m2有Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2R2②由①②得eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)；由线速度与角速度的关系v＝ωR，得eq\f(v1,v2)＝eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1).(2)由①得R1＝eq\f(Gm2,L2ω2)，由②得R2＝eq\f(Gm1,L2ω2)，又L＝R1＋R2，联立以上三式得ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3)).[答案](1)见解析(2)eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))总结提能宇宙中任何天体之间都存在相互作用的引力，对于质量巨大的天体之间或天体与天体靠得比较近时，引力的作用效果显著．例如，在处理双星问题时，只考虑双星之间的相互引力作用，对距离双星很远的天体的引力的影响可忽视，使实际问题模型化简便于处理．专题五处理天体问题的方法技巧1．处理天体问题的方法(1)建立三种模型①质点模型；②匀速圆周运动模型；③绕行模型．(2)抓住两条思路天体问题事实上是万有引力定律、牛顿其次定律、匀速圆周运动规律的综合应用，解决问题的基本思路有两条：①在中心天体表面或旁边，万有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg0(g0表示天体表面的重力加速度)．特殊提示：在探讨卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g0，常运用GM＝g0R2作为桥梁，把“地上”和“天上”联系起来．②把天体的运动看成是匀速圆周运动，向心力由万有引力供应，涉及的公式有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，或mg＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝mvω＝meq\f(4π2,T2)r.本章涉及的题目多为以上志向化条件下的四类公式的应用，学习时应仔细领悟．[例5](多选)假设一做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加到原来的2倍，且仍做匀速圆周运动．则()A．由公式v＝ωr，知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍B．由公式F＝meq\f(v2,r)，知卫星所须要的向心力将减小到原来的eq\f(1,2)C．由公式F＝Geq\f(Mm,r2)，知地球供应的向心力将减小到原来的eq\f(1,4)D．由上述B和C中给出的公式知，卫星运行的线速度将减小到原来的eq\f(\r(2),2)[解析]对于不同轨道上的人造地球卫星，其角速度ω＝eq\r(\f(GM,r3))不同，所以由公式v＝ωr，不能得到卫星线速度v跟r成正比关系的结论，它的确定式为v＝eq\r(\f(GM,r))，A错误；同理，F＝meq\f(v2,r)中卫星运行速度v是变量，向心力F跟r成反比关系不成立，它的确定式为F＝Geq\f(Mm,r2)，B错误；人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力供应，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r)).可以看出，离地球越远的卫星线速度越小，当半径加倍时，引力变为原来的eq\f(1,4)，线速度变为原来的eq\f(\r(2),2)，故C、D正确．[答案]CD易错点击：分析不同轨道上的人造卫星时，肯定要分清哪些物理量不变，哪些物理量变，并明确变量间的函数关系．2．计算重力加速度的方法(1)地球表面旁边的重力加速度，在忽视地球自转的状况下，可用万有引力定律来计算．由mg＝Geq\f(Mm,R2)得g＝eq\f(GM,R2)＝6.67×10－11×eq\f(5.98×1024,6370×1032)N/kg≈9.8N/kg＝9.8m/s2，即地球表面旁边，物体的重力加速度g＝9.8m/s2.这一结果表明，在重力作用下，物体加速度的大小与质量无关．(2)计算地球上空距地面h处的重力加速度g′.由万有引力定律得g′＝eq\f(GM,R＋h2)，又g＝eq\f(GM,R2)，则eq\f(g′,g)＝eq\f(R2,R＋h2)，故g′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R＋h)))2g.(3)计算随意天体表面旁边的重力加速度g′.由万有引力定律得g′＝eq\f(GM′,R′2)(M′为天体的质量，R′为天体的半径)，又g＝eq\f(GM,R2)，则eq\f(g′,g)＝eq\f(M′,M)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R′)))2，故g′＝eq\f(M′,M)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R′)))2g.3．估算天体的质量和密度(1)中心天体的质量由万有引力定律和向心力表达式得Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，则M＝eq\f(4π2r3,GT2).(2)中心天体的密度方法1：中心天体的密度表达式ρ＝eq\f(M,V)，又V＝eq\f(4,3)πR3(R为中心天体的半径)，结合前面M的表达式得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)，