2024年新东方初中数学初一年级寒假 满分版 第5节 整式运算的综合应用含答案

2024年新东方初中数学初一年级寒假满分版第5节

整式运算的综合应用含答案第5节整式运算的综合应

用

目标层级图

课前检测

1.计算：

2，3

⑴一2〃2〃•（一3。）(2)-x2/xyz^(-2x2y)

16

(3)—4)-(x+3乂12-3x+2)-2x(x—2)

2.计算：

(1)a5*(-a)(2)“IP-(-2a3)2-“•屋・〃3

3.计算：

（1）（色产-奈乎）+步）,3(2)(27苏・151+3。):(-3a)；

4.当x=2，），=1时，求代数式一2y2卜-+2），）一2d（工一〉）的值。

课中讲解

一.整式混合运算

内容讲解

混合运算顺序：从高级到低级，有括号先算括号。

例1.计算：4x)，2(2x-xy)+(-2x)，)2的结果是.

例2.(1)(—3/)2.4+(_402・〃7T5/尸(2)(x-2)(2x+5)-(x-1)2-(2x-4)(^+2)

I3rl

(3)[-x)^x2+y)(x2-y)+-X2y7+3与力+(一弓心，)

22o

(4)37.2^+(a2尸d+(2/)4+(-41)

过关检测

1.计算(加〃)3・(-1〃)+(_〃"?)2的结果为

2.(1)产+(_/)“(2)(x+3)(x-5)+2x(3x-l)

(3)(2b-a)(2a+b)-2(3a-2b)2(4)(-a4b7--aV+-«2Z?6)-(--f^3)2.

4242

3.先化简，再求值：(2。-1)2+64(4+1)-(3。+2)(34-2),其中/+2。-2020=0.

4.若实数x满足f-2x-l=0,求代数式(2x-l)2—x(x+4)+(x-2)(x+2)的值.

三.“不含”与“无关”问题

内容讲解

不含X项、与X无关的解题步骤：

（1）化简所给代数式（去括号、合并同类项）；

（2）令含x项系数为零；

（3）列方程求解.

例1.若（一2工+〃）@一1）中不含x的一次项，则（）

A.a=1B.«=—1C.a=-2D.a=2

例2.已知（x3+mx+〃）（V-3x+4）展开式中不含V和F项.

（1）求〃1、n的值；

（2）当〃?、〃取第（I）小题的值时，求（〃?+〃）（加-〃加+，/）的值.

例3.已知A=(2x+l)(x-l)-x(l-3y),8=-丁,且3A+64的值与x无关，则,=

过关检测

1.若多项式乘法（x+2y）（2x-妙-1）的结果中不含邛项，则k的值为（）

A.4B.-4C.2D.-2

2.若多项式5f+2x-2与多项式以+1的乘积中，不含V项，则常数。=

3.已知（丁+〃氏+〃）（12-3x+l）展开后的结果中不含V、V项.求加+〃的值.

4.若（V+〃x—g）（工2—3x+夕）的积中不含x项与.，项,

（1）求〃、夕的值；

（2）求代数式（-2P24+（3/应尸+，刈2产的值

5.若关于x的多项式（2%-3）一+2加2一3%的值与力的取值无关,求/〃值;

6.已知4=2x（x-l）-Ml-3），），A=+盯一1,且4+24的值与x无关，求y的值.

四.解方程

内容讲解

解一元一次方程的一般步骤：

1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数.

注意：①不要漏乘不含分母的项；

②分子是一个整体，去分母后对分子整体还原括号.

2.去括号：先去小括号,再去中括号，最后去大括号.

注意：①不要漏乘括号里的项；

②不要弄错符号.

3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他顶都移到方程的另一边.

注意：①移项耍变号；

②不要丢项.

4.合并同类项：把方程化成or二人（。工0）的形式.

注意：字母及其指数不变.

5.系数化为1：在方程两边都建哒未知数的系数“，得到方程的解X=?

注意：不要把分子、分母搞颠倒.

例1.解方程:(x+1)(%-1)-2x=x—2+(x—2)2.

例2.解方程…鸿.

过关检测

1.解方程：(2X-5)2+(3X+1)2=13(X2-10)

2.解方程：4(X+1)2-(2,V-5)(2A-+5)=21.

五.恒等求值(含参)

内容讲解

方法解析：

(1)常规法：利用整式乘法把左边乘开并合并同类项，然后让左边等于右边。(即相同项前

面的系数相同)

(2)特殊值法：令让左右两边的未知数为同一数字，使左边等于右边建立参数的相关方程

并求解。

例1.已知。-2)・。+3)=/+〃3一6,则/〃的值是()

A.-1B.1C.5D.-5

例2.如果(x-4)(x+8)=x2+nix+n，那么m+〃的值为(

A.36B.-28C.28D.-36

例3.已知(3x-2)(x+l)=av2+法+c,那么。=,b=

过关检测

1.已知。一2)。+1)=/+/比一2,则〃的值为()

A.-3B.1C.-1D.3

2.若f+〃骁-]5=(x+3)(x+〃)，则“1=»n=

3.如果等式f+3x+2=a-l)2+B(x-l)+C恒成立，其中4,。为常数，B+C=

22

例4.把(x-x+1)，展开后得42y*+«||X"+6o产+…+a2x+平+%,求:

⑴旬的值

(2)&+4+4+4+a\o+《2的值

a

(3)ai2-ayi+《o_%+&_%+%~s+q-6+4+’的值

过关检测

554

1.已知(2.r-l)=a5x+G4X+a/'+生/+qx+《)对于任意的x都成立.

求⑴%的值

(2)《14+%—。3+的值

(3)a2+a4的值.

2.若(2x+l)‘=o¥'+—4+<:才3+公2+ex+/,求:

(1)a+Z?+c+d+e+/的值，

(2)〃-h+c-〃+©—/的值，

(3)/的值.

学习任务

1.下列计算正确的是()

A./+/=24B.(-2/>=4/

C.(a+2)(a-1)=a2+a-2D.(a^b)2=a2+b2

2.已知多项式x-〃与/"..I的乘积中不含小项，贝I,常数〃的值是()

A.-1B.1C.2D.-2

3.若(犬+2)(工-4)=/+所一8,则〃=.

4.®(x+2)(^-1)=x2+nix-2,贝U.

5.在(f+-+b)(2f-3x-l)的积中，已项的系数为一5,Y项的系数为-6,求a,b的值.

6.计算下列各题

(1)(x3)2.(-x4)3(2)

(3)2nin»[(2mn)2-3n(mn+m2n)](4)(2a4-1)2-(2d+1)(2〃-1)

(5)IO2+(—)-2x(^-3.14)0-1-3O21

7.解方程：(X+1)2-(X+2)(X-2)=15.

8.化简求值：3+1）2-2。（/+。）-1]+（一加）,其中求-a-6=0.

9.先化简再求值:（4他3-8/。2）+4曲+（2。-1）（。+3）,其中|。+1|+（2匕-4）2=0

10.计算:

(1)(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)：(2)解方程：(x-1)(x-2)=(x+3)(x-4)+20.

家长签字:

第5节整式运算的综合应用

目标层级图

课前检测

1.计算：

2，35

⑴-2。方•（-3。）⑵丁丁正xyz^-2x2y)

-9氏

(3)x(x2-4)-(x+3)(x2-3x+2)-2x{x-2)

=-2X2+7X-6

2.计算：

(1)a5*(-a)2-r«3(2)〃注。3-(-2a3)2-a*a2*a3

=/=-4a6

3.计算：

（1）（沁二春叶）.沁，3(2)(27凉-15/+3。)4-(-3a)；

=2x2y--x=-72Ml2/6

4.当x=2，），=］时,求代数式（J一2）3卜+2”一2町（工一）1）的值。

答案：原式二工3-4）,3=4

课中讲解

一.整式混合运算

内容讲解

混合运算顺序：从高级到低级，有括号先算括号。

例1.计算：4x)，2(2x-xy)+(-2x)，)2的结果是_2-y_.

【分析】原式利用单项式乘以多项式，哥的乘方与积的乘方运算法则计算即可得到结果.

【解答】解：原式=(8/)2—4/),3)♦(4/),2)=2-)，，

故答案为：2-y

例2.(1)(-3/)2/+(-44)2./―(5")3(2)(x-2)(2x+5)-(x-1)2-(2x-4)(J4-2)

i3i

(3)[-x)\x2+y)(x2-y)+-x2y7+3A/]+(一F/)，)

22o

24

(4)3/・2/+(a尸6+(2/)+(Ta?)

【解答】解：⑴原式=9/+16，-125/=一100/；

(2)原式—2x~+x—10—x2—1+2.v—2x2+8=—x~+3x—3；

(3)原式=(gVy-:冲a+:个3)=(：/)，)+(_：工4),)=-4x；

222o2o

(4)原式=64°+d。—4d°=34°；

过关检测

1.计算(〃，〃)•'・(-/〃)+的结果为—-nhr—.

【分析】原式第一项利用积的乘方及暴的乘方运算法则计算，第三项利用积的乘方运算法则

计算，再利用同底数号的乘、除法法则计算，即可得到结果.

【解答】解：(〃[2〃)3・(-〃7，)+(-〃"7)2

=(M'〃3)・(一〃?"〃)+(m2n2)

=（一加°〃4）+（〃「〃2）

=-n/n2.

故答案为：

2.(1)(X4)34-(-X2)2+(-X2)3.X2(2)(x+3)(x-5)+2x(3x-l)

(3)(2b-a)(2a+b)-2(3〃-2b)2(4)(-a%7--aV+-a2b6)+(—，ab-)2.

4242

(解答］解：⑴(A-4旷+(-X2)2+(-X2门.X2

=产++(-x6)»x2

=x8+(-x8)

=0；

(2)(X+3)(X-5)+2X(3A-1)

=x2-5x+3.r-15+6x2-lx

=7X2-4X-I5；

(3)(2b-a)(2a+b)~2(3«-2b)2

=4ab+2b1-2a1-ab-2(9,-\2ab+4b2)

=4ab+2/^-2a2-ab-\8c?+24ab-Sb2

=27必-6^-20/；

(4)((-g。纱+；/庐)+(一；加了

472626

=(-ah--〃射+i/7/?nh

4244

=3〃%-2加+1.

二.整式化简求值问题

内容讲解

注意：先化简，然后再求值。

例1.先化简，再求值：(a2b-lab1+b)(a-h),其中。=4，b=-\.

2

【分析】先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可；

【解答】解：(a2b—2a/-/)+b—(a+b)(a-b),

=cr-2ab-b1-a1+bi,

=-2cib，

当〃=，，b=-1时，原式=-2x,x(-l)=l；

22

例2.先化简再求值：(4°"-8452)+4他+(2。-1)(。+3),其中|4+1|+(2/?-4)2=0

【分析】首先去括号合并同类项，再根据非负数的性质可得。、〃的值，进而可得答案.

【解答】解：JMit=b2-2ab+2ah+6a-b-3

=b2+6a-b-3,

,・M+l|+(2〃―4)2=0,

+1=0»2/?—4=0>

解得：a—1,b=2,

则原式=4-6-2-3=-7.

例3.如果x—2y=2018,求[(3x+2y)(3x-2y)一(x+2>)(5.r-2y)]+2.x的值.

解：①L(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]+2x

=r(9x2-4/)-(5x2-4/+8.q))]+2x

=(4/-8盯)+21

=2x-4y

x-2)，=2018,

原式=2(x-2y)=2x2018=4036；

过关检测

1.化简求值：[(a+2b)2-(a+b)(3a-b)-5b2]^a,其中。=一4，b=-.

23

【分析】原式中括号中利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用

多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把4与人的值代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=(々2+4ab+4b2-3«2-2ab+Z?2-5b2］-i-a=(-2a2+2ab)^-a=-2a4-2b,

1i2

当〃=一已，力=上时，原式=14.

233

2.若(2x-y)2+|y+2|=0,求代数式［(2.r+y)(y—2x)-y(6x+y)］+(-2x)的值.

【分析】利用非负数的性质求出“与y的值，原式化简后代入计算即可求出值.

【解答】解：•••(2x-»+|)，+2|=0,

2x->'=0,y+2=0>

解得：x=-l>y=-2,

则原式二()?-4x2-6xy-y2)-s-(-2x)-2x+3y=-2-6=-8.

3.先化简，再求值：(2a-1)2+6a(a+1)-(3a+2)(3a-2),其中+2。-2020=0.

【分析】先按照完全平方公式、多项式乘以多项式和多项式乘以多项式的运算法则将原式化

简，再将已知条件/+勿-2020=0变形后代入求值即可.

［解答］解：原式=4/-4。+1+6a2+6a-(9a2-4)

=cT+2a+5

+2«-2020=0,

:,a2+2a=2020,

原式=2020+5=2025.

【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握整式乘法的相关运算法则是解题

的关键.

4.若实数x满足寸-21-1=。，求代数式(2x-l)2-x(x+4)+(x-2)(x+2)的值.

【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合

并后，将已知等式变形代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=4/—4工+1-_?一4%+%2-4=4/一次一3,

由丁一2工一1=0,得到f-2x=l,

则原式=452一2\)-3=4*1-3=1.

三.“不含”与“无关”问题

内容讲解

不含X项、与X无关的解题步骤：

(1)化简所给代数式(去括号、合并同类项)；

(2)令含x项系数为零：

(3)列方程求解.

例1.若(—2x+a)(x—l)中不含x的一次项，则()

A.。=1B.a=—\C.a=­2D.a=2

【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，再根据结果中不含x的一次项即可确定出。的

值.

【解答】解：(-2.v+a)[x-1)=-2x2+(a+2)x-a,

由结果中不含％的一次项，得到4+2=0,即a=-2.

故选：C.

例2.已知(x1+rnx+/i)(x2-3x+4)展开式中不含x3和x~项.

(1)求〃？、n的值;

(2)当切、〃取第(1)小题的值时»求(m+w)(m2-mn+.)的值.

【分析】(1)利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含/和丁项

列出关于m与〃的方程组，求出方程组的解即可得到加与〃的值；

(2)先利用多项式乘以多项式的法则将。〃+〃)(>-〃"?+〃2)展开，再合并同类项化为

最简形式，然后将(1)中所求〃?、〃的值代入计算即可.

【解答】解：(1)(?+/nr+n)(v2-3r+4)

=X5-3x4+(in+4)x3+(n-3m)x2+(4〃i-3n)x+4〃，

根据展开式中不含f和V项得：JW+^=0

n-3in=0

即〃?=-4,〃=—12

(2)(m+〃)(〃/-mn+n1)

=n/-/n2/?+nur2+itTn-〃m2+n

=n/+，>

当，〃=-4,〃=—12时，

原式=(-4>+(T2)3=-64-1728=-1792.

例3.已知A=(2x+l)(x-l)-x(l-3)，)，B=-x2-xy-\,且3A+63的值与x无关，则产

2

【分析】把A与A代入3A+64中，去括号合并后，根据结果与x无关求出)，的值即可.

【解答】解；A=(2x-t-l)(.r-1)—x(l-3y)-2x2—2.r十x—1—x+3x)!—2x2—2x+3人)，-1,

B=-x1-xy-1,

/.3A+68=6x2-6A+9xy-3-6x2-6xy-6=-6.r+3盯一9=(-6+3y)x-9,

由结果与x无关，得到-6+3y=0,

解得：y=2.

故答案为：2.

过关检测

1.若多项式乘法。+2)，)(2.・6-1)的结果中不含七项，则Z的值为()

A.4B.-4C.2D.-2

【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算出结果，根据不含个项，即个项攸系数

为0,求出女的值即可.

【解答】解：(x+2y)(2x-妙一1)

=2x2-kxy-x+4xy-2ky2-2y

=2x2+(4-k)xy-x-Iky2-2y,

.结果中不含孙，项，

:A-k=O,

解得，&=4,

故选：A.

2.若多项式5/+24-2与多项式分+1的乘积中，不含炉项，则常数〃=--.

-2-

【分析】根据题意列出算式，计算后根据结果不含二次项确定出。的值即可.

【解答】解：根据题意得:(5x2+2x-2)(ax+1)=5a/+(54-2a)x1+2A-2ax-2,

由结果不含一项,得到5+2a=0,

解得：«=

2

故答案为：-2

2

3.已知(丁+〃氏+〃)(%2-34+1)展开后的结果中不含x'、V项.求/麓+〃的值.

【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含V和炉项，求出，〃与〃的

值即可.

【解答】解：(1+rnr+mC?-3x+l)

=V—3x4+d+mx"-3twC+nix+nx2-3nx+n

=x5-3x4+(1+〃?)V+(-371+n)x2+(in-3〃)x+n

因为展开后的结果中不含r'W项

所以1+〃?=0—3m+w=0

所以m=-1n=-3m+〃=-1+(-3)=-4.

4.若(储+-3x+夕)的积中不含x项与V项，

(1)求〃、夕的值；

(2)求代数式(一232°)2+(3凶尸+p20M的值

【分析】(1)形开式子，找出X项与/令其系数等于0求解.

(2)把〃，乡的值入求解.

【解答】解：(1)(x2+px-^)(x2-3x+q)=x4+(/?-3)X3+(^-3/7-^)x2+(qp+\)x+q,

积中不含x项与丁项,

/.P-3=0,qp+\=0

(2)(_2p2疗+(3p〃+p2。%刘4

=[-2X32X(-1)]2+[3X3X(-1)]-'+[3X(-1)]20,2X(-1)2

7

=35

9-

5.若关于x的多项式(2x-3)〃?+2"-3x的值与x的取值无关，求加值；

(1)(2x-3)m+2rn2-3x

=2nix-3m+2nr-3x

=(2m-3)x+2m2-3m,

.其值与x的取值无关，

.•.2/〃-3=0，

解得，"7=3，

2

答：当机=3时，多项式(24-3)，〃+24-34的值与工的取值无关；

2

6.已知A=2x(x-1)-x(l-3y),B=-x2+-1,且4+2A的值与x无关，求y的值.

【分析】(1)将A与B代入4+25中，去括号合并得到最简结果，根据结果与x无关，

即可确定出)，的值；

2

【解答】解：(1),：A=2x(x-\)-x(\-3y)fB--x+xy-1,

/.A+2B=2x(x-l)-x(l-3y)+2(-x2+x)?-l)=2x2-2x-x+3xy-2x2+2xy-2=(5y-3)x-2

9

A+2B的值与x无关，

.'.5y-3=0,

3

•y=:；

四.解方程

内容讲解

解一元一次方程的一般步骤：

1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数.

注意：①不要漏乘不含分母的项；

②分子是一个整体，去分母后对分子整体还原括号.

2.去括号：先去小括号,再去中括号，最后去大括号.

注意：①不要漏乘括号里的项；

②不要弄错符号.

3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边.

注意：①移项要变号；

②不要丢项.

4.合并同类项：把方程化成or二人（。工0）的形式.

注意：字母及其指数不变.

5.系数化为1：在方程两边都建哒未知数的系数4,得到方程的解X=?

注意：不要把分子、分母搞颠倒.

例1.解方程：(X+1)(X-1)-2K=X-2+Q-2)2.

【分析】利用平方差公式和完全平方差公式将原方程化简，再解即可.

【解答】解：将原方程化简得，

x2-2,x=X—2%2—4-x+4

解得：x=3.

【点评】本题主要考查了解方程，将原方程利用平方差等公式化简是解答此题

的关键.

例2.解方程：(x-；)2-(x+g)(x-g)=g.

【分析】先根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，移项，即可得出答案.

【解答】解：(X--)2-(A+-)(%--)=--»

3333

21

—x=-

39

【点评】本题考查了平方差公式，解一元一次方程，完全平方公式的应用，主要考查学生运

用公式进行推理和计算的能力.

过关检测

1.解方程：(2x-5)2+(3x+1)2=13(x2-10)

【分析】方程左边利用完全平方公式展开，去括号，移项合并，将x系数化为1即可求出解.

【解答】解：方程整理得：4x2-20x+25+9x2+6,r+1=13x2-130,

移项合并得：-14x=-156,

解得：x=—.

7

【点评】此题考查了解•元•次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2.解方程:4(X+1)2-(2^-5)(2X+5)=21.

【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式把方程化简，再进一步求得未知数的数值即可.

【解答】解:4(x+l)2-(2.r-5)(2.r+5)=21

4(/+2x+1)-4/+25=21

4x2+8x+4-4x2+25=21

8x=-8

x=-l.

【点评】此题考查整式的混合运算与解方程，利用完全平方公式和平方差公式计算化简是解

决问题的前提.

五.恒等求值(含参)

内容讲解

方法解析：

(1)常规法：利用整式乘法把左边乘开并合并同类项，然后让左边等于右边。(即相同项前

面的系数相同)

(2)特殊值法：令让左右两边的未知数为同一数字，使左边等于右边建立参数的相关方程

并求解。

例1.已知(x-2)・(x+3)=f+〃比-6,则」的值是()

A.-1B.IC.5D.-5

【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后即可得出答案.

【解答】解：(x-2)*(%+3)=x2+3x-2%-6=x2+x-6,

'/(X-2)<x4-3)=x2+nix-6,

：.rn=\,

故选：B.

【点评】本题考查了多项式乘以多项式，能够灵活运用法则进行计算是解此题的关键.

例2.如果(％-4)(X+8)=/+板++,那么加+〃的值为()

A.36B.-28C.28D.-36

【分析】先将(x-4)(x+8)展开，然后与分+小+〃找准对应的系数,即可得到加、〃

的值.

【解答】解：,/(x-4)(x+8)=x2+4x-32,(x-4)(x+8)=x2+nix+n,

.•./〃=4,〃=-32，

/.m+〃的值为-28,

故选：B.

【点评】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确多项式乘以多项式的方法，找

准对应的系数.

例3.已知(3x—2)(x+1)=av2+bx+c,那么a=，b=,c=.

【分析】先把等式的左边化为aP+lK+c的形式，再令两边的二次项系数、一次项系数及

常数项分别相等，求出。、匕、c的值即可.

【解答】解:v(3x-2)(x+1)=3.r2+3x-2.r-2=3x2+x-2,

「.々=3,b=\fc=-2.

故答案为：3,1,-2.

【点评】本题考查的是多项式乘以多项式，根据多项式的乘法法则把等式左边化为

3/+X-2的形式是解答此题的关键.

过关检测

1.已知(％—2)。+1)=八+内一2,则〃的值为()

A.-3B.1C.-1D.3

【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算进血得出〃的值.

【解答】解：-2)(%+1)=/+城一2,

.,.x2-x-2=x2+tvc-2，

1.

故选：C.

2.若x2+-15=(x+3Xx+〃)，则w=,n=.

【分析】把己知等式中的右边，利用多项式乘多项式的法则展开，合并，再利用等式的性质

可得利=3+〃，3/7=—15＞解即可.

【解答】解：:(x+3)(x+〃)=/+(3+n)x+3〃,

/.x2+//LV-15=x2+(3+〃)工+3〃，

m=3+??,3H=—15,

解得〃?=—2,n=—5.

故答案是-2,-5.

【点评】本题考查J'多项式乘多项式.解题的关键是灵活掌握多项式乘多项式的法则.

3.如果等式V+3x+2=a-l)2+8(x-l)+C恒成立，其中5,C为常数，B+C=11.

【分析】因为X2+3X+2=(X-1)2+8(X-1)+C=X2+(8-2)X+1+C恒成立，根据对应相等

即可得出答案.

【解答】解:,•・f+31+2=。-1)2+8()-1)+。=/+(8一2)%+1+。恒成立,

8-2=3,1+0=2,

:.B=5,C=6,

故8+C=lI.

故答案为：11.

6i22

例3.把(V-x+1)展开后得cil2x+aHx"++...+a2x+a{x+%,

求：(1)%

(2)〃，+%+4+4+4。+4，

a4

(3).2%I卜，4o-%I/i4%+a4-a3I%%i%

102

[分析]由，一x+1)，=+4+«10x+…+a2x+-a}x+%,

取x=T可得所求代数式的值.

【解答】解(1)1=1,《)=1

36-3

(2)原式--

2

(3)当x=—1时得

a66

〃12-41+4。―%+仆―%―6+4-+a2-a}+a0=[(-1)~-(-1)+1]=3>

故答案为：3、

过关检测

5

1.已知(2x-1)5=a5X+包工4++4/+/对于任意的X都成立

求⑴询的值

(2)。0-。1+。2~a3+a4一。5的值

(3)]+々4的值・

【分析】(1)令x=0,求出g的值是多少即可.

(2)令X=-l,求出为_4+%-。3+%-。5的值是多少即可.

(3)令X=l,求出/+4+勺+〃3+〃4+〃5的值，即可求出〃2+&的值是多少.

【解答】解：(I)令x=0,

(2)令X=-1,

贝(J+a2一%+%一%

=[2x(-l)-l]5

=(-3)5

=-243

(3)令x=1,

贝lja0+%+a2+%++%

=(2x1-1)5

=1

由(1),可得

%=-1，

由(2),可得

a0_at+a2-a3+a4-a5=-243,

/.a2+a4

=[(《)+6+%+/+%+/)+(/_“+a2-%+%-%)]+2-%

=[l-243]^-2-(-l)

=-242+2+1

=-121+1

=-120

2.若(2x+l)'=ox'+Z?/+1+加+ex+f,求：

(1)〃+Z?+c+d+e+/的值，

(2)4-〃+c-d+e-/的值，

(3)/的值.

【分析】(1)令x=l求出所求式子的值即可；

(2)令x=-l求出所求式子的值即可；

(3)根据(1)与(2)求出〃与/的值即可.

【解答】解：(1)令x=l,得至lja+〃+c+d+e+、f=243；

(2)令x=-l,得至lja-〃+c-d+e-f=1；

(3)令x=0,得至llf=1.

【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

学习任务

1.下列计算正确的是()

A./+片=2/B.(-2/)2=-4/

C.(〃+2)(〃-1)=/+〃一2D.(a-i-b)2=a2+b2

【分析】各式计算得到结果，即可作出判断.

【解答】解：A、原式=2/,不符合题意；

B、原式=4/,不符合题意；

C＞原式=/_々+加一2=4?+〃_2,符合题意：

。、原式="+2ab+b2,不符合题意，

故选：C.

2.已知多项式x-a与丁+21-1的乘积中不含/项，则常数〃的值是()

A.-1B.1C.2D.-2

【分析】先计算。-4)(/+2工-1),然后将含/的项进行合并，最后令其系数为。母可求

出”的值.

【解答】解：(x-a)(x2+2x-l)

=V+2x2-x-ax2-2ax+a

=d+2x2-ax2-x-2ar+a

=x3+(2-a)x2-x-lax+a

令2-。=0,

a=2

故选：C.

3.若(x+2)(x-4)=9+几丫-8,则〃=_-2_.

【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出〃的值

即可.

【解答】解：已知等式整理得：jr-2x-8=jr2+m-8.

则〃=-2,

故答案为：-2

【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

4.若(x+2)(x—l)=X2+/wx—2,贝I」m=1.

【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可.

【解答】解：(x+2)(x-1)=X2+x-2=x2+nix-2,

：.m=\.

故答案为：1.

【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据对应项系数相等列式是求解的关铤，明

白乘法运算和分解因式是互逆运算.

5.在，+然+㈤(2f-3x-l)的积中，V项的系数为_5,V项的系数为-6,求a,b的值.

【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据1项的系数为—5,V项的系

数为-6即可求出。与〃的值.

[解答]解：(x2+ax+b\2x2-3x-l)

4232

=2.r-3x‘-x+2ax-3ad_av+?J)x-3bx-b

=2x4+(2a-3)Y+(2b-3a-l)x2-(a+3b)x-b,

根据题意得：2。-3=-5,2b-3a-l=-6,

解得：«=—1,b=-A.

6.计算下列各题

(1)(x3)2.(-x4)3(2)(9xV)+3V

51C)5

(3)2nuh[(2mn)2一3n(mn+m2n)](4)(2a+1)2-(2a+1)(2。-1)

(5)IO2+(j-)-2x(^-3.14)°-1-3O21

【解答】解：⑴(x3)2.(-x4)3

=收产)

=-x18;

⑵(2Y")子沁3

=2x2y——x：

-2

(3)2nin»[(2mn)2-3n(mn+nrn)]

=2mn*[4m2n2-3mn2-3nrn21

=2mn•(/!!'n2-3mn2)

=2inn3-；

(4)(2a+l)2-(2a+l)(2a-1)

=4a2+4a+1-4a2+1

=4a+2；

(5)IO?+(焉)1x(乃—3.14)°—1—30」

=100+9(X)x1—900

=1(X)+9(X)-9(X)

=1(X).

7.解方程：(X+1)2-(X+2)(X-2)=15.

【分析】方程左边利用完全平方公式及平方差公式化简，整理后移项合并，把x系数化为1，

即可求出解.

【解答】解：方程整理得：幺+21+1-/+4=15,

移项合并得：2x=10,

解得：x=5.

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

8.化简求值：[(2。+1)2—2。(/+。)_]]+(—2。)，其中储—4—6=0.

【分析】先化简，然后将。2一〃=6代入求值即可.

【解答】解：原式=(4/+44+1-24-2/_])+(_2〃)

=(2a2-2/+4。)+(-2。)

=-a+a2—2

;a?一。-6=(),

/.-a+a2=6,

原式=6—2=4.

【点评】本题考查了整式的化简求值，熟练运用整式混合运算法则是解题的关键.

9.先化简再求值:(4加-8。26)+4"+(2。-1)(6+3),其中|a+l|+(2b-4)2=0

【分析】首先去括号合并同类项，再根据非负数的性质可得〃、〃的值，进而可得答案.

【解答】解：原式=〃-2他+勿〃+6。-〃-3,

=b~+6a—b—3，

”a+l|+(2b-4)2=0,

:.a+\=O,勿一4=0,

解得：a=—\»b=2,

则原丁弋=4一6—2—3=—7.

【点评】此题主要考查了整式的化简求值，以及非负数的性质，关健是正确化简整式.

10.计算：

(1)(6+3)(。-2)-4(/-2。-2)；

(2)解方程：(x-l)(x-2)=(x+3)(x-4)+20.

【分析】(1)原式第•项利用多项式乘多项式法则计算，第二项利用单项式乘多项式法则计

算，去括号合并得到最简结果；

(2)方程两边去括号后，移项合并，将x系数化为1,即可求出解.

【解答】解：(1)原式=/-2c『+3a-+2〃+2a=5a-6；

(2)方程去括号得：X2-3X+2=X2-X-12+20,

移项合并得：-2.r=6,

解得：x=-3.

【点评】此题考查了整式的混合运算，以及解•元•次方程，熟练掌握运算法则是解本题的

关键.

家长签字：____________

第6讲两个乘法公式

目标层级图

公式的直

接运用

课前检测

1.若M(5x-)，2)=y4-25f,那么代数式M应为()

A.-5x-y2B.-y2+5xC.5x+y2D.5x2-y2

2.已知将(V+nix+一3工+4)乘开的结果不含x?项，并且/的系数为2.则/〃+n

3.比较大小：一2(工尸(填“〉”或“<”)•

2

4.已知V+x=3,则代数式(x+4)(x—3)的值为.

5.(2a+b)2\(a-b)2+2a(a-b)+a2].

一.平方差公式

内容讲解

（一）平方差公式

1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

：(a+b)(a-b)==-

2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项,另一

项：

（2）右边是的平方减去的平方；

（3）公式中的。和匕可以是具体数，也可以是或;

（4）对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且

会比用多项式乘以多项式法则简便.

（二）平方差公式的证明

证明方式一：如图，从边长为4的正方形内去掉一个边长为〃的小正方形（如

图甲），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图乙），上述操作所能验证的公式

是.

aab

b

图甲图乙

证明方式二：如图，从边长为。的正方形内去掉一个边长为〃的小正方形（如图1）,

然后将剩余部分剪拼成•个矩形（如图2）,请用上述操作所能验证的平方差公

式.

图1图2

1.利用平方差公式进行计算

例1.计算：

(1)(a+b)(a-〃)=;(2)(。+b)(b-a)=；

(3)(-a-b)(-a+b)=；(4)(-a-b)(a-b)-

例2.(I)若a+Z?=5,a-b=3>则/一；

(2)已知2x+)，=2,2x-y=-4,M4x2-y2=.

例3.下列各题中，不能用平方差公式进行计算的是()

A.(a+b)(ci-b)B.(2x+1)(2%-1)

C.(-a-b)(-a+b)D.(2a+3b)(3a-2b)

过关检测

1.计算：(1)(3-x)(3+x)=；(2)(3x+2y)(3x-2y)=

22

(3)(一针7+〃乂-5〃?_〃)=.

2.(1)已知a+〃=4,a—b=3>则/-〃二；

(2)已知〃?+2〃=2,m—2n=2,贝卜/一齿「二.

3.下列算式中能用平方差公式计算的是()

A.(2x+y)(2y-x)B.(x-+(y-x)

C.(3a-b)(-3a+b)D.(T〃+〃)(一〃?一〃)

2.平方差公式的逆用

例1.(1)若〃产一〃2=15,〃[-〃=3,〃?+〃=：

(2)若/-4+。=一1,则。-力=.

2

例2.(I)如果(3〃?+〃+3)(36+〃-3)=40,贝1」3/〃+〃的值为；

(2)如果(3。+3。+1)(3。+3)—1)=899,则a+A=.

例3.利用乘法公式计算：

(1)982-22；(2)199.5x200.5;

(3)5402—543x537.

过关检测

1.(1)若a+b=2,a2-h2=6,则白-〃=：

(2)若42一)，2=20,且x+)，=-2,则x-y的值是.

2.(1)如果(2a+2"l)(2a+2,.1)=63,那么。+力的值是

(2)如果(3/w+〃+3)(3〃?+〃-3)=4(),则3〃?+”的值为.

3.利用乘法公式进行计算：

(1)2003x1997；(2)201()2—2009x2()11；(3)20122-2013x2011-1.

3.平方差公式的连用

例I.计算：(1)*+y)(x-y)(x2+y2)(/+/)；

例2.小明在做一道计算题目(2+1)(22+1)04+1X28+1)⑵6+1)的时候是这样分析的:这个

算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两天公式作对比，发现跟平方差公式很

类似，但是需要添加两数的差，于是添了(2-1),并做了如下的计算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(2*+1)(216+1)

=232-1

请按照小明的方法,计算(3+1)(3?+1)(34+1)(38+1)(3帕+1)

过关检测

1.计算：(1)(l-«)(a+l)(a2+l)(«4+l)；

(2)(a-：)(4+：)(/-+《)(/+：〃+：)

2.（1）若工-），=1,化简：（X+），），+），2）（f+）,4），+）,8）（*+.6）；

(2)计算(2+1)(2?+1)(24+1)(28+1)(28+1).

4.平方差公式的证明

例1.在边长为a的正方形中挖去一个边长为。的小正方形（〃>〃）（如图甲），把余下的部

分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）

A.(a+b)2=a2+2ab4-b2B.(a-b)2=a2-lab+b2

C.a2-lr=(a+b)(a-b)D.(。+2b)(a-b)=a2+ab-2b

例2.从边长为。的正方形内去掉一个边长为。的小正方形（如图1）,然后将剩余部分剪拼

成一个矩形（如图2）,上述操作所能验证的等式是（）

图2

A.(a-b)2=a2-2ab^-b2B.a2-b2=(a+b)(a-b)

C.(a+b)2=a1+2ab-lrD.a2-ab=a(a+h)

过关检测

1.如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为〃的小正方形m＞。），将余下部分拼成

一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于〃、〃的恒等式为（）

A.(a-b)1=a2-2