概率论与数理统计教案

概率论与数理统计教案1

概率论与数理统计教案

讲稿

第一章概率论的基本概念

一、基本概念

1.随机试验

2.样本空间

试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母表示（本书用S表示）每个结果叫一个样本点.

3．随机事件

中的元素称为样本点，常用表示。

(1)样本空间的子集称为随机事件(用A,B表示)。

(2)样本空间的单点子集称为基本事件。

(3)实验结果在随机事件A中，则称事件A发生。

(4)必然事件。

(5)不可能事件。

(6)完备事件组（样本空间的划分）

4．概率的定义（公理化定义）

5．古典概型

随机试验具有下述特征：

1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个；

2）每个基本事件出现的可能性是相等的；

称这种数学模型为古典概型。

P(A)=k

nA包含的基本事件数

基本事件总数。

6．几何概型p(A)

7．条件概率

设事件B的概率p(B)0.对任意事件A，称P(A|B)=

件下事件Ａ发生的条件概率。

8．条件概率的独立性P(AB)P(B)A的长度（面积、体积）的长度（面积、体积）为在已知事件Ｂ发生的条

A、BF,若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A、B是相互独立的，简称为独立的。设三个事件A,B,C满足

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)称A,B,C相互独立。

二、事件的关系的关系与运算

１.事件的包含关系

若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A，记作AB。

２.事件的相等

设A,B,若AB，同时有BA，称A与B相等，记为A=B，

３.并(和)事件与积(交)事件

“A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作AB.

“A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。记作AB或AB４.差事件

“A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作AB

５.对立事件

称“A”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作A。

AAAAA

６.互不相容事件（互斥事件）

若两个事件A与B不能同时发生，即AB，称A与B为互不相容事件（或互斥事件）。７.事件的运算法则

1)交换律ABBA,ABBA

2)结合律ABCABC,ABCABC

3)分配律ABCACBC

(AB)C(AC)(BC)

4)对偶原则ABAB，ABAB

三、常用公式

1.加法公式

（1）对任意两个事件A、B，有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

（2）对任意三个事件A、B，C

p(ABC)P(A)P(B)P(C)p(AB)p(AC)p(BC)p(ABC)

2.减法公式

若AB则P(B-A)=P(B)-P(A);P(B)P(A)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

3.对立事件概率公式

对任一随机事件A，有P（A）=1-P（A）；

4.乘法公式

当p(A)0时:p(AB)p(A)P(B|A

p(ABC)p(A)P(B|A)p(C|AB)

5全概率公式

n

定理1：设B1,B2,,Bn是一列互不相容的事件，且有Bi,对任何事件A，

i1

n

有P(A)=P(Bi)P(ABi)

i1

6、贝叶斯公式

n

定理2：若B1,B2,,Bn是一列互不相容的事件，且Bi

i1

则对任一事件A有p(Bi|A)p(Bi)p(A|Bi)n

j1p(Bj)p(A|Bj)

两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段；

两个公式的不同点：

全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果”

贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因”

7.贝努里概型

贝努里试验:若试验E只有两个可能的结果A及A，称这个试验为贝努里试验。贝努里概型

设随机试验E具有如下特征：

1）每次试验是相互独立的；

2）每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件A；

3）每次试验的结果发生的概率相同p(A)p0p(A)1pq

称试验E表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为n重贝努里试验。记为E。

kknk设事件A在n次试验中发生了X次，则P{Xk}Cnp(1p),k1,2,,nn

四、举例

例1.已知p(AB)p(AB)，p(A)p，求p(B)

【解】p(AB)p(AB)p(AB)1[p(A)p(B)p(AB)]

p(B)1p

例2.已知p(A)p(B)p(C)

个发生的概率。

【解】p(ABC)P(A)P(B)P(C)p(AB)p(AC)p(BC)p(ABC)1

41414185814,p(AB)p(BC)0,p(AC)18,求A,B,C至少有一=000

例3.（摸球模型不放回用组合问题求解）在盒子中有6个球，4个白球、2个红球，从中任取两个（不放回）。求取出的两个球都是白球的概率，两球颜色相同的概率，至少有一个白球的概率。

【解】设A：两个球都是白球，B：两个球都是红球，C：至少有一个白球

基本事件总数为C6=15

A的有利样本点数为C426,P(A)=6/15=2/5

B的有利样本点数为C2122,P(B)=1/15

P(A+B)=P(A)+P(B)=7/15

P(C)=1-P(B)=14/15

例4.（摸球模型有放回用二项分布求解）在上题中，取球方法改成有放回，结果如何？

【解】用X表示取到白球数

4222P(A)=p{X2}=C21=93320

P(B)=022102p{X0}=C21

339

P(A+B)=P(A)+P(B)=5/9

P(C)=1-P(B)=8/9

例5（抽签原理）有a个上签，b个下签，2个人依次抽签，采用有放回与无放回抽签，证明每个人抽到上签的概率都是a

ab

【证】放回抽样结论是显然的；

不放回可用全概率公式证明pa

ab

1

2例6：（几何概型）在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于

______．

【解】以x和y分别表示甲乙约会的时间，

则{(x,y)|0x1,0y1}

两人到会面出时间差不超过15分钟

A{(x,y)0x1,0y1,xy0.25的概率为

p(A)SA

S34

例7：某工厂有三条生产线生产同一中产品，该3条流水线的产量分别占总产量的20%，30%，50%，又这三条流水线的不合格品率为5%，4%，3%，现在从出厂的产品中任取一件，

（1）问恰好抽到不合格品的概率为多少？

(2)已知抽到不合格品，求该产品来自一车间的概率

【解】(1)设Bi：表示产品来自第i条生产线

A：表示抽到不合格品

由题意p(B1)0.2,p(B2)0.3,p(B3)0.5

p(A|B3)0.03p(A|B1)0.05,p(A|B2)0.04,

3

P(A)

i1p(Bi)p(A|Bi)0.20.050.30.040.50.03

=0.037(2)p(B1|A)p(B1)p(A|B)30.20.050.20.050.30.040.50.0310

37

i1p(Bi)p(A|Bi)

【点评】通过该题细心体会贝叶斯公式和贝叶斯公式的用法。

例8甲乙两人同时射击同一目标，甲命中的概率为0.6，乙命中的概率为0.5。已知已命中目标，求是甲命中目标的概率。

【分析】咋看这个题目觉得应用贝叶斯公式求解，但仔细分析个目中只有一个过程，应用条件概率求解。

【解】A:甲命中，B:乙命中，C：命中，C=A+B

pA|Cp(AC)

P(AC)p(A)

P(AB)

3

4P(A)p(A)p(B)p(A)p(B)=0.6

0.60.50.60.5

例9：一个盒子中有4件产品，3件一等品，1件二等品，从中任取两件，设事件A表示“第一次取到一等品”，B表示“第二次取到一等品”，求pB|A。

【解】pB|Ap(AB)

P(A)C3/C4

3/4221/2

3/42/3

这一结果的意义是明显的

例10：假定某人做10个选择题，每个题做对的概率均为

（1）该同学做对3道题的概率；

(2)该同学至少做对3道题的概率；

【解】3p{X3}=C1014；求13

4437

1-p{X0}p{X1}p{X2}013=1-C1044010113213-C10-C10

44441929

【点评】“至少„„”,通过对立事件求解。

例11：某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<p<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

(A)3p(1p)．(B)6p(1p).

(C)3p(1p)．(D)6p(1p)．[C]例12：设A,B为随机事件，且P(B)0,P(A|B)1，则必有

(A)P(AB))(B)P(AB)P(B)P(A222222

(C)P(AB)P(A)(D)P(AB)P(B)[C]

22例13：设随机变量X服从正态分布N(1,1)，Y服从正态分布N(2,2)，且

PX11PY21

则必有

(A)12(B)12

(C)12(D)12[A]

教学后记

教案

第二章一维随机变量及其分布

一、分布函数的定义与性质

1.随机变量

定义1：设随机试验的每一个可能的结果（样本点）ω唯一地对应一个实数X()，则称实变量X为随机变量，通常用大写字母X,Y,Z等表示随机变量，

例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数X为随机变量，X的可能取值为0，1，2„„

例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量X,的可能取值为X=[0,5]。

例3：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标（X,Y）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。

2.分布函数

定义2定义在样本空间上，取值于实数域的函数()，称为是样本空间上的（实值）随机变量，并称

F(x)P{Xx}

是随机变量()的概率分布函数.简称为分布函数.

分布函数的性质：

（1）单调性若x1x2,则F(x1)F(x2)；

（2）F()limF(x)0x

Fx()F()limx

（3）右连续性F(x0)F(x)

（4）P{aXb}F(b)F(a)

二、离散型随机变量

1.概念

定义3：只取有限个或可列个值的变量X为一维离散型随机变量简称离散型随机变量。

2.分布律及其表示

如果离散型随机变X可能取值为(a1,a2,a3...........)，相应的概率

变量X的分布列，也称为分布律，简称分布。为随机

（1）分布律表示方法——公式法

（2）分布律表示方法——列表法也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律：

分布列的性质:

非负性：1）pi0

规范性：2）pi1

i1

分布函数F(x)

0

例1:已知X~141axixpi2(1)求a，(2)分布函数2ax0

0x1

1x2

x20114【解】aF(x)3241

例2：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，X表示取到的黑球数。（1）求X的分布律；（2）为随机变量X的分布函数

【解】X可能取值为0，1，2。

P{X0}3

10,P{X1}

1

3

561035,P{X2}1100X的分布律X~310

0

110F(x)910

12110x00x11x2x2

三、连续型随机变量

1.一维连续型随机变量的概念

定义1若X是随机变量，F(x)是它的分布函数，如果存在函数f(x)，使对任意的x，有F(x)

x

f(t)dt，则称X为连续型随机变量，相应的F(x)为连续型分布函数.同时称

f(x)p(x)是F(x)的概率密度函数或简称为密度.

2.密度函数f(x)具有下述性质：

（1）非负性f(x)0（1）规范性

f(x)dx1

（3）x(X)P(px{xx22})F(x2)F(x1)11

（4）p{Xx0}0（5）由F(x)

dF(x)dx

xx2

x1x1

pf((yx)dy)dx

x

p(y)dy式可知，对p(x)的连续点必有

F’(x)p(x)

例3：设随机变量X的分布函数为F(x)ABarctanx。

（1）求A，B，f(x)(2)求p{X1|X1}

【解】F()limF(x)0

x

Fx()F()lim

x

得A

12

，B

1

，f(x)

1

(1x)

2

1F(1)1F(1)

13

p{X1|X1}=

p{X1,X1}

p{X1}

p{X1}p{X1}

kx

x

例4：设随机变量X的概率密度函数为f(x)2

20

0x33x4。other

（1）k(2)分布函数（3）求p{1X

4148

72

【解】（1/6）（四、常见分布

）

(1)两点（0-1）分布设离散型随机变量的的分布列为

01

P1P

其中0P1，则称服从两点分布，亦称服从（0—1）分布，简记为~(0—1）分布.

(2)二项分布若离散型随机变量的分布列为

kp(k)Cnpq,knkk0,1,2,n

其中0p1,q1p，则称服从参数为n,p的二项分布，简称服从二项分布，记为~b(k;n,p).

n

k易验证P(k)0,Cn

k0pqknk(pq)1n

显然，当n=1时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例.

(3)普哇松（Poisson）分布设离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，，且取各个值的概率为

P(k)ek

k!,k0,1,2,,

其中0为常数，则称服从参数为的普哇松分布，记为~P(k;).易验证

(1P)(k)0k,0,1,2,;

(2)P(k)

k0kk!e1

定理（普哇松定理）在n重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为pn（与试验总数n有关）如果当n时，npn(0常数），则有

(n;n,plimbkx0k!kek,0,1,2,

(4)几何分布设是一个无穷次贝努里试验序列中事件A首次发生时所需的试验次数，且可能的值为1,2,.而取各个值的概率为P(k)(1p)k1pqk1p,k1,2..

其中0p1,q1p，则称服从几何分布.记为~g(k,p).易验证

(1P)(k)pqk10k,1,2,

(2)pq

k1k11

(5)均匀分布

若随机变量()的概率密度函数为

1p(x)ba

0axb其他

时，则称随机变量()服从[a,b]上的均匀分布.显然p(x)的两条性质满足.其分布函数为

0

xaF(x)

ba

1xaaxbxb

记为~U[a,b].

(6)指数分布

若随机变量X的分布函数为

1ex

F(x)p{XX}

0x0x0

概率中称X服从参数为的指数分布.而随机变量X的概率密度为

ex,p(x)0,x0x0

(7)正态分布

设随机变量X的概率密度为

pf((xx

))(x)222,x（*）

2X~N(,),(0)是两个常数，则称设随机变量X服从,的正态分布，记为(

相应的分布函数为

F(x)x

(y)222edy,x

并且称F(x)为正态分布，记作N(,2).如果一个随机变量X的分布函数是正态分布，也称X是一个正态变量.

N(0,1)分布常常称为是标准正态分布，其密度函数通常以(x)表示，相应的分布函数则记作

(x)，所以(x)x

(y)dyx

ey22dy

(1)(x)是偶函数，图像关于y轴对称，f(x)关于x对称；

（2）(x)在x0，f(x)在x取得最大值；

（3）x1是(x)的拐点，x是f(x)的拐点；

（4）若X~N(,2)，则p{X}p{X}0.5

（5）(x)1(x)

例5：设随机变量服从正态N(108,9)分布，

（1）求P(101.1117.6).

（2）求常数a,使P(a)0.90

【解】

108(1)P(101.1117.6)P2.33.23

(3.2)(2.3)(3.2)(1(2.3))0.99931310.9892760.988589;

（2）P(a)P1083a1080.90，所以3a108

31.28,a111.84；

五、一维随机变量函数的分布

1.一维离散型随机变量函数的分布例6，已知X~0.2100.210.4222X1,2X，求的分布列。0.2

【解】2X1~10.210.2

2

0.630.440.250.2

2X20~0.2

2.一维连续型随机变量函数的分布设yf(x)为一通常的连续函数，令Yg(X)，其中X为随机变量，那么Y也是随机变量，并称它为随机变量X的函数.

（1）FY(y)p{Yy}p{g(X)y}

fy(y)FY/(y)

例7：已知X~N(2,4)，求Y2X1的概率密度。

1

22(x2)82f(x)dxg(X)y【解】fX(x)e

y1

2FY(y)p{Yy}p{2X1y}p{X

1

22y1(x2)822

_edx

2

/fy(y)FY(y)=142e(y3)

24y

例8：已知随机变量X的概率密度为

2xfX(x)00x8other

求YsinX的概率密度。

解题步骤：

（1）求出x的有效作用范围（fX(x)0的范围），并根据yg(x)求出Y的有效作用范围[a,b];

(2)当ya时，FY(y)p{Yy}0

当yb时，FY(y)p{Yy}1

当ayb时，

FY(y)p{Yy}p{g(X)y}f(x)dx

g(X)y

（3）fy(y)FY/(y)求出概率密度。

【解】（1）0x8时，ysinx，0y1;

(2)当y0时，FY(y)p{Yy}0

当y1时，FY(y)p{Yy}1

当0y1时，

FY(y)p{Yy}p{sinXy}

p{0Xarcsiny}p{arcsinyX}=arcsiny

02xdxarcsiny2x

1（3）fy(y)FY/(y)y2

00y1other

例9：设随机变量X的概率密度为

1,若x[1,8],f(x)33x2其他;0,

F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.

【解】易见，当x<1时，F(x)=0;当x>8时，F(x)=1.对于x[1,8]，有

x

3F(x)13t21x1.

设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当y0时，G(y)=0；当y1时，G(y)=1.对于y[0,1)，G(y)P{Yy}P{F(X)y}

3=P{X1y}P{X(y1)}=F[(y1)]y.3

于是，Y=F(X)的分布函数为

0,若y0,

G(y)y,若0y1,

1,若y1.

例10：设随机变量X的概率密度为

1

2,1x01

fXx,0x2，

4

0,其他

令YX2求Y的概率密度fYy

【解】设Y的分布函数为FY(y)，即FY(y)P(Yy)P(X1)当y0时，FY(y)0；2)当0y1时，

FY(y)P(X

2

2

y)，则

y)P

X

02

x

4

1x

3)当1y

4时，FY(y)P(X

4)当y4，FY(y)1.所以

y)P1X

12

01

12

dx

14

x

.

0y,y1

fY(y)FYy()0,其他

1

.4

定理设是一个连续型随机变量，其密度函数为p(x)，又yf(x)严格单调，其反函数

h(y)有连续导数，则f()也是一个连续型随机变量，且其密度函数为

p[h(y)hy’(),y(y)0,其他

其中

minf{(

maxf{(f),(f),()

)}

证明不妨设f(x)是严格单调上升函数，这时它的反函数h(y)也是严格单调上升函数，于是

(F(y)Py)P(f()y

P(h(y))由此得的密度为h(y)p(x)dx,f()yf()

]y’(f),(y)f(p[h(y)h’y)(y)F(0,其他)

同理可证当f(x)严格单调下降时，有

]y’(f),(y)f(P[h(y)h

0,其他(y)

由此定理得证.

2例11：设~N(,)，又yf(x)x

，易验证这时定理3.1的条件满足，又因

为yf(x)的反函数为h(y)y，所以有

y2

(y)p[h(y)]h’(y

~N(0,1).2e(y)由此可见

教学后记

教案

第三讲：多维随机变量及其分布

一、基本概念

1联合分布函数

设（X,Y）是二维离散型随机变量，x,y是任意实数，

F(x,y)P(Xx,YY)

二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。2.联合分布函数的性质

（1）单调性F(x,y)关于x(y)单调不减；

（2）0F(x,y)1,F(x,)F(,y)0,F(,)1；(3)F(x,y)关于x(y)右连续；

(4)P{x1Xx2,y1Yy2}F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x2,y2)3．边缘分布函数

设（X,Y）是二维离散型随机变量的联合分布函数为F(x,y)，则FX(x)P{Xx}P{Xx,Y}F(x,)FY(y)P{Yy}P{X,Yy}F(,y)

，

二维随机变量（X,Y）的边缘分布函数。

二、离散型二维随机变量

1.离散型二维随机变量的分布律

设(X,Y)是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(ai,bj),i,j1,2,,令

pipPab),i,jpijj{Xai,Yibj}j

1,2,

称(pij;i,j1,2,)是二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布.二维联合分布的三个性质：

(1)pij0,i,j1,2,;

(2)

i1

j1

pij1

2.离散型二维随机变量的分布函数(3)P(ai)pijpi

j1

F(x,y)

pij

XxiYyj

3.离散型二维随机变量的边缘分布

设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布p{Xxi,Yyj}=pij(i,j1,2,)中对固定的i关于j求和而得到

p{Xxi}p{Xxi,Y}

j1

pijpi.

p{Yyj}p{X,Yyj}

i1

pijp

.j

4.离散型二维随机变量的条件

对于固定的j若，p{Yyj}p.j0，称

p{Xxi|Yyj}

p{Xxi,Yyj}

p{Yyj}

pijp.

j

为在Yyj的条件下，随机变量Xxi的条件概率.

p{Xxi,Yyj}

p{Xxi}

pijpi.

同样定义p{Yyj|Xxi}变量Yyj的条件概率.条件概率符合概率的性质

p{Xxi|Yyj}0

为在Xxi的条件下，随机

i1

p{Xxi|Yyj}1

5.离散型二维随机变量的独立性

设离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布列与边缘分布为：

P{Xxi,Yyj}pij，p{Xxi}pi.p{Yyj}p.j

定理1：离散型随机变量X,Y独立的充分必要条件是对于任意的i,j都有pijpi.p.j

例1从1，2，3，4种任取一个记为X，在从1X种任取一个记为Y，

(1)求二维随机变量（X,Y）的联合分布律

(2)求二维随机变量（X,Y）的边缘分布律。

1X~1/4

21/4

31/4

41Y~25/481/4

213/48

37/48

3/484

(3)求Y1的条件下，X的概率分布

p{X1|Y1}p11/p.1p{X2|Y1}p12/p.1p{X3|Y1}p13/p.1p{X4|Y1}p13/p.1

1/425/48

1/825/481/1225/481/1625/48

12256

25425325

(4)随机变量X,Y独立吗？

p11(1/4)(1/4)(25/48)p1.p.1

X,Y不独立。

0

10

Y~，0.40.5

1

，且p{XY0}0.4，求随机变量

（X,Y）0.6

例2X~0.5

的联合分布律及p{XY}。

例3已知X,Y独立，完成下表：

例4已知（X,Y）的分布律为：

已知{X0}与{XY1}独立，求a,b

三、连续型二维随机变量

1．定义与性质

如果联F(x,y)是一个合分布函数，若存在函数p(x,y)，使对任意的(x,y)，有F(x,y)xypu(v,dudv)

成立，则称F(x,y)是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的p(x,y)是F(x,y)的联合概率密度函数或简称为密度.

如果二维随机变量(,)的联合分布函数F(x,y)是连续型分布函数，就称(,)是二维的连续型随机变量.

密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数p(x,y)必具有下述性质：

(1)p(x,y)0;

(2)p(x,y)dxdyF(,)1

反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数p(x,y)，必定可以作为某个二维随机变量的密度函数.此外，密度函数还具有性质：

（3）若p(x,y)在点(x,y)连续，F(x,y)是相应的分布函数，则有

F(x,y)p(x,y)xy2

（4）若G是平面上的某一区域，则

)GP(,

Gp(x,y)dxdy

2．连续型随机变量的边缘分布

若（X,Y）联合分布函数已知，那么，它的两个分量X与Y的分布函数称为边际分布函数可由联合分布函数F(x,y)求得，

概率密度

fX(x)f(x,y)dy,fY(y)f(x,y)dx

3.连续型随机变量条件分布

若（X,Y）概率密度为f(x,y)，边缘概率密度fY(y)0，称fX|Y(x|y)f(x,y)fY(y)

为在Yy的条件下，随机变量X的条件概率密度.类似地，称fY|X(y|x)f(x,y)

fX(x)fX(x)0

为在Xx的条件下，随机变量Y的条件概率密度.设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x,y)，如果对任意的x,y都F(x,y)P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}FX(x)FY(y)则称X,Y是独立的

4.随机变量的独立性

设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x,y)，如果对任意的x,y都F(x,y)P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}FX(x)FY(y)则称X,Y是独立的

定理2：如果(X,Y)是二维连续型随机变量，则X与也都是连续型随机变量，它们的

Y密度函数分别为fX(x),fY(y)，这时容易验证X与Y独立的充要条件为：

f(x,y)fX(x)fY(y)几乎处处成立。

说明：(1)F(x,y)FX(x)FY(y)或f(x,y)fX(x)fY(y)点点成立，则X与Y独立。

(2)X与Y独立,则F(x,y)FX(x)FY(y)点点成立f(x,y)fX(x)fY(y)不一定点点成立。

(3)在个别点f(x,y)fX(x)fY(y)，则X与Y可能还独立；F(x,y)FX(x)FY(y)，则X与Y一定不独立。

例1：已知随机变两（X,Y）的概率密度为

(x,y)

Ae2xy

fx0,y0

0其他

(1)求A

f(x,y)dxdy1

00Ae2xydxdy1

2A1,A2

(2)求分布函数

当x0,y0时，

F(x,y)xy2xy

y

f(u,v)dudv2x

00edudv

[1e2x][1ey]

其他，F(x,y)0

F(x,y)(1e2x)(1ey)x0,y00其他

（3）求p{XY}

p{XY}

0x

02e2xydxdy1

3

(4)求边缘概率密度fX(x),fY(y)在一点

2xy2edyx0fX(x)f(x,y)dy0other0

2x2ex00othery2xyey02edxy0fY(y)f(x,y)dx0other0other0

(5)求条件概率密度fX|Y(x|y)

当y0时，fX|Y(x|y)不存在；

当y0时，

2x2efX|Y(x|y)fY(y)0f(x,y)x0other

(6)求p{X2|X2}

p{X2|Y2}p{X2,Y2}

P{Y2}F(2,2)

FY(2)1e4

(7)X,Y独立吗？f(x,y)fX(x)fY(y)点点成立，则X与Y独立。

例2：已知随机变量（X,Y）时区域D上的分布，D由x.y0,xy1围成，问X,Y是否独立？

2f(x,y)解：0（x，y)D其他

1

212F(1,1)2200

2dxdy120x11x22x2dy0x1fX(x)f(x,y)dy0other00other

FX(1)2

212fX(x)dx[22x]dx01234同理：FY(1)

22342F(1,1)FX(1)FY(1)2

所以X,Y不否独立。

例3：甲乙两人到达同一地点的时间X,Y服从[7,8]上的均匀分布，X,Y独立，求X，Y的差不超过1

4小时的概率。

fX(x)X,Y独立

10

7x8

other

fY(y)

10

7x8

other

1

f(x,y)fX(x)fY(y)

0

7x8,7x8

other

p{XY

14

1dxdy

D

34

例4．若二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)

21

1

2

12(1

2

[)

(x1)

2

2

e

1

2

2

(x1)(y2)

1

(y2)

2

2

22

]

（x,y）

2

则称(X,Y)服从二维正态分布，记作(X,Y)~N(1,2,12,2,)。

说明：（1）二维正态分布的边缘分布是一维正态分布X~N(1,12)，Y~N(2,22)；（2）二维随机变量(X,Y)的边缘分布都是是一维正态分布，则(X,Y)不一定服从二维正态分布；

（3）

cov(X,Y)

12

2

是相关系数，X,Y独立的充分必要条件是0；

（4）X~N(1,1)，Y~N(2,2)，且X,Y独立，则

aXbY~N(a1b2,a1b2)

2

2

2

2

2

四、二维随机变量函数的分布

1.离散型随机变量函数的分布

例1．已知二维随机变量(X,Y)的分布为

求：(1)ZXY(2)Zmax{X，Y}(3)Zmin{X，Y}解：(1)ZXY

p{Z2}P{X1,Y1}1/4

p{Z3}P{X1,Y2}P{X2,Y1}1/2p{Z4}P{X2,Y2}1/4

2Z~1/431/241/4

123/4

21/4(2)Zmax{X，Y}Z~1/41(3)Zmin{X，Y}Z~3/4

2.连续型随机变量函数的分布

已知（X,Y）联合概率密度f(x,y)，求Zg(X,Y)的概率密度。这类问题主要通过分布函数法求解。具体过程如下：

(1)划出f(x,y)0的区域D；

(2)作等值线g(x,y)z

(3)平行移动等值线，寻找等值线与D相交的关键点a,b。

(4)当za时，FZ(z)=0,当zb时，FZ(z)=1,当azb时FZ(z)

(5)f(z)FD1’Zf(x,y)dxdy(z)

例2．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

1,0x1,0y2x,f(x,y)其他.0,

f(z).求：Z2XY的概率密度Z

解：令FZ(z)P{Zz}P{2XYz}，

当z0时，FZ(z)P{2XYz}0；当0z2时，FZ(z)P{2XYz}

=z1

4z2;

3)当z2时，FZ(z)P{2XYz}1.

0,z0,1即分布函数为：FZ(z)zz2,0z2,4z2.1,

故所求的概率密度为：11z,0z2,fZ(z)2其他.0,

例3．X,Y独立且都服从[0,1]上的均匀分布，，求ZXY的概率密度。

1解：fX(x)00x11fY(y)other00x1other

X,Y独立，所以

1f(x,y)fX(x)fY(y)00x1,0x1other

当z0时，FZ(z)P{XYz}0；

当0z1时，FZ(z)P{XYz}

当1z2时，FZ(z)P{XYz}

=11

2(2z)212z2；;

当z2时，FZ(z)P{Yyz}1.

z0z1,

fZ(z)2z1z2,

0othe.r

例4．练习册P3210题

例5．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)3x,0x1,0yx,

0,其他.

f(z).求：ZXY的概率密度Z

例6．设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为X~0.3密度为f(y)，求随机变量Z=X+Y的概率密度.12，而Y的概率0.7

解：FZ(z)P{XYz}

p{X1}p{XYz|X1}p{X2}p{XYz|X2}0.3p{Yz1|X10.7p{Yz2|X2}

0.3p{Yz1}0.7p{Yz2}(因为X与Y独立)0.3z1

f(y)dy0.7z2f(y)dy

fZ(z)0.3f(z1)0.7f(z2)

例7Zmax{X,Y},Zmin{X,Y}的分布

FZ(z)P{max{X,Y}z}P{Xz,Yz}；

FZ(z)P{min{X,Y}z}1P{min{X,Y}z}1P{Xz,Yz}；

设随机变量X与Y独立，FX(x),FY(y)分别是他们的分布函数，Zmin{X,Y}，求FZ(z)

解：FZ(z)P{min{X,Y}z}1P{min{X,Y}z}1P{Xz,Yz}

=1[1FX(z)][1FY(z)]=FX(z)FY(z)FX(z)FY(z)

教学后记

教案

第四章随机变量的数字特征

一、随机变量的数学期望

1．数学期望的定义

定义:(1)若离散型随机变量X可能取值为ai(i1,2,)其分布列为pi(i1,2,)，

则当aipi时，称X存在数学期望，并且数学期望为EXE

i1

a

i1

i

pi.

(2)设X是一个连续型随机变量，密度函数为p(x)，当时,称X的数学期望存在，记作EXE2．随机变量函数的数学期望

xp(x)dx

xp(x)dx。

(1)若X是一个离散型随机变量，Yg(X)，如果g(ai)pi，则有，

i1

Eg))EYEg((X

g

i1

(ai)pi

(2)若X是连续性随机变量，密度函数为p(x)，Yg(X)，且

Ef(X)f(x)p(x)dx，则有EYEg

f(x)p(x)dx

(3)若(X,Y)是一个二维离散型随机变量，其联合分布列为

Xaxi,Ybjyjp}ij,i,j1,2,，Zg(X,Y)PP{i

i

j

Eg(,,Y))EZEg(X

g(a,b

i1

j1

)pij

(4)设(X,Y)是二维连续型随机变量，密度函数为p(x,y)，Zg(X,Y)Ef,EZEgE(X,Y))

f(x,y)p(x,y)dxdy

3.随机变量的数学期望的性质

(1)若C是一个常数，则ECC.

(2)若EX,EY存在，

E(cX)cE(X)

E(XY)E(X)E(Y)

则对任意的实数k1、k2，E(k1Xk2Y)存在且E(k1Xk2Y)k1EXk2EY

E(Xc)EXc

(3)若X,Y是相互独立的且EX,EY存在，则E(XY)存在且

E(XY)EXEY

4．常见几种分布的数学期望（1）两点分布的期望E(XE)p（2）二项分布的期望

n

n

k

n

k

n

所以E(E)X

kp

k0

kC

k0

pq

knk

npCn1p

k1

k1k1

q

(n1)(k1)

np(pq)

n1

np

（3）普哇松分布的数学期望E(X)E(4)均匀分布的数学期望E(X)(5)指数分布的数学期望

设的密度函数是参数为的指数分布，求解E(XE)

E(EXe

x

ab2

.

1

1

.

xe

x

dxxde

x

0

dx

(6)正态分布的数学期望E(X)

1

20.2

3

,求E(X0.7

例1:已知X~0.1

2

1)

例2．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

3x,0x1,0yx,

f(x,y)

0,其他.

(1)求E(X)

x23xdy,0x1,3x0x1,f(x,y)dy0

其他.其他.0,0,

解法1,fX(x)

E(X)

xfX(x)dx3xdx0

13341x2解法2,E(X)

(2)求E(XY)

E(XY)xf(x,y)dxdy[3xdy]dx0034

1

042xyf(x,y)dxdy[3xydy]dx001x=32xdx3

10

二、方差

1.方差的定义

定义：设X是一个离散型随机变量，数学期望E(X)存在，如果E(XEX)2存在，则称E(XEX)2为随机变量X的方差，并记作DX.方差的平方根DX称为标准差或根方差，在实际问题中标准差用得很广泛。常用的计算方差的公式

DXE(X2)(EX)2

2．方差的性质

（1）若C是常数，则Dc0；

（2）若C是常数，则D(cX)cD(X)；

(3)D(Xc)D(X)

（4）若X,Y相互独立且DX,DY存在，则D(XY)存在且2D(XY)DXDY

性质（4）可以推广到n维随机变量的情形,并且D(XY)DXDY2covX(,Y)D(aXbY)aDXbDY2abcov(X,Y)

3.常见分布的方差

(1)两点分布的方差

0X~q12222EXp,E(X)p，DXE(X)(EX)pppqp22

(2)普哇松分布的方差DXE(X2)(EX)2(2)2

(3)均匀分布的方差

DXD1

12(ab)2

(4)指数分布的方差

EXE

0xexdxxde0x0exdx1

222E(EX)0xe2xdx2

2DXD1

(5)二项分布的方差

n

DXD

i1Dinpq

(6)正态分布的方差

设X服从N(a,2)分布，求DX2

10

0.2

2例1:已知X~0.1221,求D(X2)0.72E(X)(1)0.100.210.70.8

E(X)(1)0.100.210.70.8D(X)E(X)(EX2424444)0.80.80.1622例2．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

3x,0x1,0yx,f(x,y)0,其他.

求D(X)

E(X)

E(X)2

2xfX(x)dx3xdx014133435xfX(x)dx3xdx022DXE(X)(EX)3

59

163

80

三、协方差与相关系数

1.随机变量的协方差

定义若(X,Y)是一个二维随机变量，称E(XEX)(YEY)为X与Y的协方差，并记作Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)E(XEX)(YEY)公式：Cov(X,Y)E(XY)EXEY由协方差的定义即知它具有下述性质：

(1)Cov(X,c)0

(2)对称性：Cov(X,Y)Cov(Y,X)

(3)线性性：

Cov(aX,bY)abCov(X,Y)；

Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)；

mn

ijCov(a1X1amXm,b1Y1bnYn)ab

i1j1Cov(Xi,Yj)

(4)D(XY)DXDY2Cov(X,Y)D(aXbY)a2DXb2DY2abCo(vX,Y)

(5)若X,Y独立，则Cov(X,Y)0

2.二维随机变量的相关系数

定义，若(X,Y)是一个二维随机变量，则称

Cov(X,Y)

DXDYXY

为随机变量X与Y的相关系数

相关系数的性质

（1）|XY|1；

（2）|XY|1，当且仅当存在常数a,b，使得p{YaXb}1；说明：(1)0时，称X与Y不相关，1时，称X与Y正相关，1时，称X与Y负相关

(2)若X,Y独立，则相关系数0。反过来，关系数0，X,Y不一定独立。(3)二维正态分布中的为X,Y的相关系数，0当且仅当X,Y独立。例1:二维随机变量(X,Y)的概率分布为：

求：X与Y的相关系数ρXY;解：因为EX

14

，EY

2

16

2

，E(XY)

316

112

，EX

2

2

14

2

，EY

516

2

16

，

DXEX(EX)，DYEY

124

(EY)，

Cov(X,Y)E(XY)EXEY，

115

所以X与Y的相关系数ρXY

Cov(X,Y)DXDY

．

2

例2已知随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)

0

0x1,0yx

other

,

求解：EXEY

2

x2xdy00x2ydy00

1

1

1

dx

dx

1010

2xdxxdx

2

2

23

13

3

1216

E(X)E(Y)E(XY)

2

x2x2dydx

00x2y2dydx00x2xydy00

11

101

2xdx23xdx

33

010

dx

xdx1429

14

136

Cov(X,Y)E(XY)EXEY=

141

DXE(X2)(EX)2=

2

9

18

DYE(Y)(EY)=

22

16

19

118

1

XY

Cov(X,Y)DXDY

3611818.1

12

例3设X~N(,2)，Y~N(,2)，X,Y相互独立，令Z1aXbY,Z2aXbY，a0,b0，求XY。

解：DZ1D(aXbY)a2DXb2DY(a2b2)（X与Y独立）DZ

2

D(aXbY)aDXbDY(ab)

2222

Cov(Z1,Z2)Cov(aXbY,aXbY)

2

a2Cov(X,X)abCo(vX,Y)abCo(vY,X)bCov(Y,Y)

(a2b2)2XY

Cov(Z1,Z2)DZ1DZ

2

abab

2

222

例4设A,B为随机事件，且P(A)

14

,P(BA)

13

,P(AB)

12

，令

X

1,A发生,

0,A不发生;

Y

1,B发生,0,B不发生.

求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II）X和Y的相关系数XY.

解:（I）由于P(AB)P(A)P(BA)

112

，

P(B)

P(AB)P(AB)

1

16

,

所以，P{X1,Y1}P(AB)

12

，

16112

P{X1,Y0}P(AB)P(A)P(AB)P{X0,Y1}P(AB)P(B)P(AB)P{X0,Y0}P(AB)1P(AB)

=1P(A)P(B)P(AB)

23

，

,

（或P{X0,Y0}1故(X,Y)的概率分布为

112

16

112

23

），

Y

0101

2316

112112

(II)X,Y的概率分布分别为

X01Y01P则EX

14,EY

3416

14

561

16

P

316

,

，DX，DY=

1

536

,E(XY)=

12

故Cov(X,Y)E(XY)EXEY

XY

Cov(X,Y)DX

DY

24

，从而

.

X3

Y2

15

例5:已知(X,Y)~N(1,0,9,16,0.5)，Z解:X~N(1,9)，Y~N(0,16)EZE

X3X3

，求EZ,DZ，XZ。

Y11111EXEY10232323Y1111

DXDY2Cov(X,Y)29432

DX

DY0.5346

DZD

DX9,DY16,Cov(X,Y)XYDZ3

Cov(X,Z)Cov(X,

13

12

X3Y2)

13

Cov(X,X)Cov(X,Y)9

12

(6)0

XZ=0

例6:设随机变量U~B(2,)，令

21

X

11

U0U0

Y

11

U2U2

<1>求D(XY),D(XY)

<2>Cov(X,Y)0

解:U~1

4

112

214

14

p{X1}p{U0}P{U0}(p

12

)

114

1

p{X1}1,X~1

44

4

1

3113,同理，Y~3

44

2

EX

12

,EY

12

,E(X)1,E(Y)1,DX1,DY1

2

XY的取值为-1，1

p{XY1}p{X1,Y1}p{X1,Y1}=p{U0,U2}p{U0,U2}

=p{U0}p{U2}p{U0}p{U2}

p{XY1}1

12

12

12

1

XY~1

2

E(XY)0

112

Cov(X,Y)E(XY)EXEY

14

D(XY)DXDY2Cov(X,Y)2D(XY)DXDY2Cov(X,Y)1

教学后记

概率论与数理统计期末复习题

1.如果随机事件A﹑B满足AB,ABS,则称A﹑B为对立事件.

2.如果随机事件A﹑B满足AB,则称A﹑B为互不相容.

3.设件A﹑B﹑C为3个随机事件,试用A﹑B﹑C事件”A发生,B与C不发生”可表示为ABC.

4.设事件AB,且P(A)0.8,P(B)0.4,则概率P(AB)0.4.

5.设事件A与B互不相容,且P(A)a,则概率P(AB)1a.

6.设事件A与B互不相容,且P(A)0.5,P(B)0.3,则概率P(AB).1

7.设A﹑B为2个随机事件,则ABAB.

A.B.AC.SDAB[B]

8.设A﹑B为2个随机事件,则下列不正确的是.[D]

A.(AB)(AB)B.AB(AB)BC.若AB,则ABAD.ABAB

9.设事件A﹑B满足BAB,则下列中正确的是.

A.AB.ABC.ABDBA[B]

10.设A﹑B为2个随机事件,满足BA,则下列中正确的是.

A.A与B必同时发生B.A发生B必发生

C.A不发生B必不发生D.B不发生A必发生[C]

11.设在15只同类型的零件中有2只是次品,现从中任取3只,则所取的零件中有2只次品的概率为1

35.

12.从52张扑克牌(无王牌)中任取13张,则其中有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张草花的概率为C13C13C13C13

C52135332.

13.一袋中装有3个红球,2个白球,现从中任取2个球,则在这2个球中,恰好有1个红球1个白球的概率是C3C2

C2

511.

314.抛掷3枚均匀的硬币,恰好有2枚正面向上的概率为.8

15.袋中有10只红球,7只白球,从中陆续取3只,取后不放回,则这3只球依次为红白红的

概率为

A10A7A

317

21

.

16.设袋中有编号分别为1,2,…,10的球,从中任取一个,观察编号.

①求编号不超过5的概率.②求编号是奇数的概率.③求①②两事件和的概率.

解:S{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

①A{1,2,3,4,5}p(A)②B{1,3,5,7,9}p(B)

1212

710

③AB{1,2,3,4,5,7,9}p(AB)

17.从数1,2,…,n中任取两个,求它们的和是偶数的概率.

CnCn

2

2

解:n为偶数时,p

22

C

2

2n

2

n22(n1)n12n

Cn1Cn1

n为奇数时,p

22

C315

2n

18.在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取三个不同的数,则取到的三个数不含0和5的概率为A.

715

B.

710

C.D

310

[A]

19.设随机事件A﹑B满足:p(AB)0,则[D]

A.A﹑B互为对立事件B.A﹑B互不相容C.AB一定为不可能事件D.AB不一定为不可能事件

20.设随机事件A﹑B互不相容,且p(A)0,p(B)0,则[C]

A.p(AB)p(A)p(B)B.p(AB)p(A)C.p(BA)0D.p(BA)p(B)21.设A﹑B是两个随机事件,且0p(A)1,p(BA)1,则[B]A.A﹑B互不相容B.p(AB)0C.BAD.p(B)122.设A﹑B是两个随机事件,且p(A)

1612

,p(AB)

13

,求概率p(BA)

13

解:p(AB)p(A)p(AB),p(BA)

14

12

p(AB)p(A)

.

14

23.设A﹑B是两个随机事件,且p(A),p(BA),p(AB),求概率p(B)

p(AB)1

.解:p(AB)p(BA)p(A)1,p(AB)

p(B)28

24.有两箱同种类的零件,第一箱装50只,其中10只一等品;第二箱装30只,其中10只一等品.今从两箱中任取一箱,然后从该箱中取零件两次,每次任取一只,作不放回抽样.求(1)第一次取到一等品的概率;(2)在第一次取到一等品的条件下,第二次取到一等品的概率.

解:设用Ai表示”第i次取到一等品”(i1,2),用Bi表示”第i箱被取到”(i1,2),则p(B1)

12

,p(B2)

12

,p(A1B1)

15

,p(A1B2)

5

13

.

(1)p(A1)p(A1B1)p(B1)p(A1B2)p(B2)11114.

2

3

2

15

p(A1A2)p(A1)

p(A1A2B1)p(B1)p(A1A2B2)p(B2)

p(A1)

2

(2).p(A2A1)

A10A50

2

2

A111022A302415

747

.2842

25.有两箱同种类的零件,第一箱装50只,其中10只一等品;第二箱装30只,其中18只一等品.今从两箱中任取一箱,然后从该箱中取一个零件.(1)求该零件是一等品概率.(2)若该零件是一等品,求该零件是从第二箱中取出的概率.

解:设用A表示”取到的零件是一等品”,用Bi表示”第i箱被取到”(i1,2),则

p(B1)

12

,p(B2)

12

,p(AB1)

15

,p(AB2)

15

35

.

12351225

(1)p(A)p(AB1)p(B1)p(AB2)p(B2)

3

p(AB2)P(B2)

p(A)

21234

.

(2)p(B2A)

5

.

5

26.设一箱产品60件,其中次品6件,现有一顾客从中随机买走10件,则下一顾客买走一件

产品买到次品的概率为

1

.10

27.设随机事件A﹑B相互独立,且p(A)0.3,p(B)0.4,则p(AB)0.728.设A﹑B是两个随机事件,则下列中不正确的是[C]

A.A﹑B相互独立时,p(AB)p(A)p(B)B.p(A)0时,p(AB)p(A)p(BA)C.A﹑B互不相容时,p(AB)p(A)p(B)D.p(B)0时,p(AB)p(B)p(AB)29.甲﹑乙两人对飞机进行射击,两人击中飞机的概率分别为0.5,0.8,飞机被一人击中而被击落的概率为0.4,飞机被两人击中而被击落的概率为0.6.假设甲﹑乙两人射击是相互独立的,求飞机被击落的概率.

解:设用A表示“飞机被击落”,用B1表示“甲击中飞机”,用B2表示“乙击中飞机”.p(B1)0.5,p(B2)0.8,p(AB1B2)0.4,p(AB1B2)0.4,

p(AB1B2)0.6,p(AB1B2)0.

p(A)p(AB1B2)p(B1B2)p(AB1B2)p(B1B2)p(AB1B2)p(B1B2)p(AB1B2)p(B1B2)

0.4p(B1)[1p(B2)]0.4[1p(B1)]p(B2)0.6p(B1)p(B2)0p(B1B2)

0.40.50.20.40.50.80.60.50.80.44.

30.设随机变量X的分布律为

X012p

2212

C3535

1

,则常数C.

35

31.设随机变量X服从参数为的泊松分布,且p{X4}2p{X5},则5/232.设随机变量X的分布律为p{XK}k(k1,2,3,4,5),则

15

1

p{0.5X2.5}.

5

33.将3个球随机地放入4个杯子,求杯子中球的个数最大值的分布律.解:设用X表示“杯子中球的个数最大值”.

C3434323419p{X3}p{X1},,.p{X2}333

81616444

2

34.设随机变量X服从参数为2的泊松分布,则必有[B]A.X取整数值B.p{X0}e

2

C.p{X0}p{X1}D.p{X1}2e

2

k1,0x2

35.设随机变量X的概率密度为f(x)则常数k0,其它,0,x1

36.设随机变量X的分布函数为F(x)lnx,1xe则p(X2)ln2.

1,xe,

k,x112

37.设随机变量X的概率密度为f(x)x则常数k.

0,其它,

abx2,1x1

38.设随机变量X的概率密度为f(x)其中b0,且概率

0,其它,

p(X127,求常数a,b的值.)232

解:一方面

2a2,另一方面f(x)dx1,所以f(x)dx(abx)dx2ab13122b1.3

一方面p(X1)2

22412f(x)dx121(abx)dx239,另一方面127,abp(X)224232所以3a9b27.32

2a2b13得方程组解得ab3.43a9b27,24322

40.设随机变量X~N(,2),且p{Xc}p{Xc},则c的值为[A]

A..B.0.C..D..

41.设随机变量X~N(,2),则概率p{X}的值[D]

A.与有关,但与无关.B.与无关,但与有关.

C.与和均有关.D.与和均无关.

42.设随机变量X~N(0,1),对于给定的(0,1),数满足p{X}.若p{Xx},则x等于[B]A..B.1.C.

221

2.D.1.

43.设随机变量X~U(2,),且p{2X4}0.3.求p{X0}.

2解:由于X~U(2,),所以X2~N(0,1).设其分布函数为(x).2

p{2X4}p{22

X2

42

}(42

)(0)(42

)0.5,

由于p{2X4}0.3,所以(42)0.50.3,解得(42)0.8.p{X0}p{X22(2)1(2)0.2.

44.设随机变量X服从指数分布,且p{X1000}0.01.求概率p{X500}.

xx0解:由于X服从指数分布.所以其分布函数为F(x)1e，

其它.0，

p{X1000}1F(1000)e

1000

.

由于p{X1000}0.01,所以e

1000

0.01.

500

p{X500}F(500)1e

1e

1000

0.9.

45.设随机变量X~U(0,2),现对X进行5次独立观测,设Y表示:在5次观测中,X的值大于1的次数.试求Y的分布律.

0,x0

解:由于X~U(0,2),所以其分布函数为F(x)x，0x2

2x2.1，

pp{X1}1F(1)0.5.

随机变量Y是服从n5,p0.5的二项分布:

k5

p{Yk}C5(0.5)(k1,2,3,4,5)

46.设随机变量X~U(0,2),求①X的分布函数;②函数Y13X的概率密度;③概率p{5X1}与p{0Y4}.

1,0x2

解:由于X~U(0,2),所以X的概率密度函数为fX(x)2

0,其它.

①FX(x)

x

0,x00,x0

x1x

fX(x)dxdt,0x2,0x2

0221,x1.1,x1

1y3

1FX(

②FY(y)p{Yy}p{13Xy}p{X

fY(y)[Fy(y)]y[1FX(

1y3

1y3

)

()]yFX

1y3

)(

1y3

)y

1,5y1

1y1

)6fX(

33

0,其它.

11

③p{5X1}fX(x)dx1dx1.

5

22

41p{0Y4}fY(y)dy1dy1.0066

1,x1247.设随机变量X的概率密度为f(x)x求函数YlnX的概率密度.

0,x1,

解:FY(y)p{Yy}p{lnXy}p{Xey}FX(ey)

(e)(e)yeyfX(ey)fY(y)[Fy(y)]y[FX(e)]yFX

y1,e1,y01yyee

y0,e10,y0.yyy

A,1x1,0y148.二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)0,其它,

1则常数A.2

49.二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为

Aarctanxarctany,x0,y0F(x,y)则A4

2.0,其它,50.称p{Xxi,Yyj}pij(i,j1,2,)为二维离散型随机变量(X,Y)的[A]

A.联合分布律B.联合分布函数C.概率密度D联合概率密度

51.在一箱子中装有12只开关,其中2只是次品,在箱中任取两只开关,每次任取一只,取后不放回.定义随机变量X,Y如下:

若第一次取出的是正品0，X若第一次取出的是次品1，若第二次取出的是正品0，Y，若第二次取出的是次品1，，

求X,Y的联合分布律.

解:由题所述得知(X,Y)的所有可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).

p{X0,Y0}10915,p{X0,Y1}1025,121122121133

p{X1,Y0}2105,211,p{X0,Y0}121133121166

所以X,Y的联合分布律为

52.二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

Axy2,0x1,0y1求常数A.f(x,y)

0,其它,

解:

f(x,y)dxdyAxdxydy00112A.6由于f(x,y)dxdy1,所以A1,得A6.6

53.二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

2xy,0x1,0y2xf(x,y)3求概率p{XY1}.0,其它,

解:记D{(x,y)xy1,0x1,0y2},D的图形如右图(略)

12p{XY1}f(x,y)ddxD01x(x2xy3)dy[xy012xy62]1xdx2

(015342165.xxx)dx63272

54.二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

12e(3x4y),x0,y0f(x,y)

0,其它,

求两个边缘概率密度.

解:fX(x)12e(3x4y)dy,x0[3e(3x4y)],x00f(x,y)dy00,其它0,其它

3e3x,x00,其它.

fY(y)12e(3x4y)dx,y0f(x,y)dx00,其它

[4e(3x4y)]4e3y,y0,y00

0,其它0,其它.

cx2y,x2y155.二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)

0,其它,

①试确定常数c.②求两个边缘概率密度.

解:①

由于xx4c.f(x,y)dxdycdx2xydyc()dx1x12221211126

f(x,y)dxdy1,所以4c1,得c21.214

②fX(x)121x2ydy,1x1212212xy]x,1x1[f(x,y)dyx480,其它0,其它2

21x2(1x4),1x18

0,其它.

fY(y)y212[7x3y]y,0y1xydx,0y1-yy44f(x,y)dx0,其它0,其它

75

y2,0y12

0,其它.

56.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),则关于X的边缘分布函数FX(x)是[B]

A.limF(x,y)B.limF(x,y)C.F(x,0)D.F(0,x)yy

57.甲、乙两人独立地投篮,投中的概率分别为0.6、0.8,每个人分别投2次,求两人投中次数相等的概率.

解:设用X表示”甲投中的次数”,用Y表示”乙投中的次数”.

p{XY}p{X0,Y0}p{X1,Y1}p{X2,Y2}

p{X0}{Y0}p{X1}{Y1}p{X2}{Y2}(X与Y相互独立)

2222(10.6)(10.8)2(10.6)0.62(10.8)0.8(0.6)(0.8)0.3904.

58.设随机变量X与Y相