2024年上海数学高考一轮复习必刷大题 专题2 立体几何大题综合含详解

专题02立体几何大题综合

一、解答题

1.(2023•上海金山•统考二模)如图，在正三棱柱ABC-中，己知人8=人4=2,。是A3的中点.

⑴求直线CC.与DB.所成的角的大小;

(2)求证：平面COS_L平面A84A，并求点3到平面。。片的距离.

2.(2023•上海奉贤•统考二模)如图，在四棱锥〜-人8c。中，AB//CD,M^BAP=Z.CDP=90.

(1)证明：平面243_L平面?AO；

Q

⑵若加=PZ)=AB=OC,/4PD=9Q，且四棱锥P-A8CQ的体积为,，求与平面A8C。所成的线面角的大小.

3.(2023•上海•华师大二附中校考模拟预测)在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4,点。是底面直径A8

所对孤的中点，点。是母线力的中点.

(1)求该圆锥的侧面积与体积；

(2)求异面直线AB与CD所成角的大小.

4.(2023•上海普陀•曹杨二中校考三模)如图，在四棱锥C-ABE。中，正方形的边长为2,平面月3蛆_!_平

面A8C,且8C_LAC,AC=6,点G,厂分别是线段反"。的中点.

(1)求证：直线GF〃平面A8C：

(2)求直线GF与平面BDE所成角的大小.

5.(2023•上海徐汇•统考三模)如图，已知顶点为S的圆锥其底面圆。的半径为8,点。为圆锥底面半圆弧4C的中

点，点P为母线SA的中点.

⑴若母线长为10,求圆锥的体积；

(2)若异面直线PQ与SO所成角大小为：，求/＞、。两点间的距离.

4

6.(2023•上海闵行•上海市七宝中学校考二模)已知正方体ABCQ-AgCQ，点E为AA中点，直线8c交平面C£陀

于点F.

(1)证明：点尸为8c的中点；

⑵若点.为棱的上一点'且直线"与平面8"所成角的正弦值为缭'求箸的值.

7.(2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)如图，直三棱柱ABC-内接于圆柱，AB=AA.=BC=2f

平面4BC_L平面AA46

(1)证明：AC是圆柱下底面的直径；

⑵若M为AG中点，N为CG中点，求平面A8C与平面8MN所成二面角的正弦值.

8.(2023•上海奉贤•上海市奉贤中学校考三模)已知三棱锥P-ABC,/%_!_平面A8C,以=6,AC=4,ABd.BC,

M,N分别在线段PB,PC上.

(1)若PB与平面A8C所成角大小为g,求三棱锥P-ABC的体积V；

(2)若PC_L平面AMN,求证：平面P8C

9.(2023•上海闵行•上海市七宝中学校考三模)如图，线段AA是圆柱。。1的母线，BC是圆柱下底面。的直径.

(I)若。是弦A4的中点，且AE=；M，求证：OE〃平面A^C；

(2)若BC=2,NA8C=30。，直线4。与平面A8c所成的角为g,求异面直线A。与A3所成角的大小.

10.(2023•上海长宁•统考二模)如图，在四棱锥P-A8C。中，底面ABCQ为直角梯形，ADHBC,AB1BC,AB=AD,

BC=2AB,£尸分别为棱3C/P中点.

p

(1)求证：平面平面。CP；

⑵若平面p平面A8CQ,直线加,与平面P8C所成的角为45,且CP_LP8,求二面角P-AB-。的大小.

11.(2023•上海松江•统考二模)如图，在四楂锥尸一八。「八中，底面4〃。。为平行四边形，。是AC与/")的交点,

ZADC=45,AD=AC=2,PO_Z平面A4C。，P0=2,M是P。的中点.

(1)证明：心//平面ACM

(2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小.

12.(2023•上海青浦•统考二模)如图，在直三棱柱ABC-A4G中，底面.A8C是等腰直角三角，AC=BC=AAi=2t

。为侧棱AM的中点.

⑴求证：3cl平面ACGA：

(2)求二面角片-8-£的正弦值.

13.(2023•上海浦东新•统考二模)如图，三角形E4。与梯形A8CO所在的平面互相垂直，AE1AD,ABLAD,

BC//AD,AB=AE=BC=2,4>=4,F、H分别为ED、区的中点.

E

(1)求证：4,〃平面AFC：

(2)求平面ACF与平面所成锐二面角的余弦值.

14.(2023•上海闵行•统考二模)如图，在四棱锥P-4AC。中，底面八BO为矩形，PDI平面人*¥).PD=AD=2,

A3=4,点E在线段AB上，旦BE=1A8.

(1)求证：CE_L平面尸8。；

(2)求二面角P-CE-A的余弦值.

7

15.(2023・上海静安•统考二模)如图：在五面体A/3COE/中，/%_1_平面A8C。，AD//BC//FE,ABA.ADt若

⑴求五面体A8CDM的体积；

(2)若m为EC的中点，求证：平面。E_L平面AMD

16.(2023•上海长宁•上海市延安中学校考三模)已知cABC和V人。*所在的平面巨相垂育，AD±AE,AA=2,

AC=4,Z^4C=120°,。是线段BC的中点，AD=6

(1)求证：AD±BE；

(2)设AE=2,在线段AE上是否存在点尸(异于点A),使得二面隹A-Bb-C的大小为45。.

17.(2023•上海嘉定•统考二模)如图，正四棱柱ABC。-A8CA中，AB=2,点、E、尸分别是棱8c和C。的中点.

DxG

(1)判断直线AE与。尸的关系，并说明理由；

(2)若直线D.E与底面ABCD所成角为£,求四棱柱ABCD-ABCR的全面积.

4

18.(2023•上海黄浦•统考二模)如图，多面体AGA48C。是由棱长为3的正方体A8CQ-A4GA沿平面A8G截

去一角所得到，在棱AG上取一点E，过点。I，c，E的平面交棱BG于点F.

(1)求证：EF//A.B.

(2)若。避=29，求点E到平面ARCB的距离以及E/)|与平面ARCS所成角的大小.

19.(2023•上海宝山•统考二模)四棱维2-48co的底面是边长为2的菱形，ND48=60。，对角线AC与BD相交

于点。，PO工底面A8CD,P8与底面A8CQ所成的角为60。，E是08的中点.

⑴求异面直线OE与南所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；

(2)证明：OE〃平面以。，并求点七到平面以。的距离.

20.(2023•上海浦东新•统考三模)如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆。的半径为1,

圆锥的高PO=2,三棱锥夕-人AC的底面ABC是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底

面在同一个平面上.

p

(1)求直线PC和平面ABC所成角的大小；

(2)求该几何体的表面积.

21.(2023•上海黄浦•上海市敬业中学校考三模)已知，正三棱柱ABC-ABC中，A4,=2,4C=1,延长CB至

(1)求证：CA1DA,.

(2)求平面B.AD与平面AQC所成锐二面角的余弦值.

22.(2023•上海黄浦•格致中学校考三模)如图，三棱柱ABC-A/G中、四边形/W4A是菱形,且乙=60,

(2)求直线和平面A8C所成角的正弦值;

23.(2023•上海奉贤•校考模拟预测)如图，将边长为2的正方形A8C。沿对角线8D折叠，使得平面顺/)，平面

C8。，4E_L平面AB。，且

E

(1)求证：直线EC与平面AB。没有公共点；

(2)求点C到平面BED的距离.

24.(2023•上海徐汇•南洋中学校考三模)如图，在三棱锥尸-AAC中，P4,平面ARC,Z/?4C=90°,

|^|=|.AP|=|^C|=2,M、N分别为PA、PC的中点.

P

⑴求更线与平面A8C所成角的大小；

(2)求平面MN8与平面A8C所成二面角的大小.

25.(2023•上海宝山•上海交大附中校考三模)如图，平面A8CO,四边形A8CO为直角梯形,

A13//CD,ZADC=90,PD=CD=2AD=2AB=2.

⑴求异面直线AB与PC所成角的大小;

(2)求二面角8-PC-。的余弦值.

专题02立体几何大题综合

一、解答题

1.（2023•上海金山•统考二模）如图，在正三棱柱ABC-中，己知人8=人4=2,。是A3的中点.

⑴求直线CC.与DB.所成的角的大小；

（2）求证：平面COSJ平面A84A，并求点3到平面片的距离.

【答案】（l）arctan：

⑵拽

【分析】（1）根据可知所求角为N。q8,由长度关系可得结果；

（2）作用。，由面面垂直性质可知所求距离为的，利用面积桥可求得结果.

【详解】（1）由正三棱柱结构特征可知：CC#BB\,阴_1平面ABC,.."C为等边三角形;

直线CC.与DB｝所成角即为NDBB、,

QBDu平面ABC,..BB1上BD,

在Rt々8。中，tan/DBB=^=^~=L;•/。48=arclan；，

184A4,22

即直线CG与。片所成角的大小为arctang.

（2）作BE工BQ,垂足为E,

平面84_1_平面A844,平面。。8门平面4期4=4。，BEu平面A叫A,BE”D,

：.BEJL平面CDBi一•.点B到平面CDBi的距离即为BE的长，

由（1）知：BBX1BD,.•.B\D=J"22=逐,

,Q1»nIRRH||R厂BB「BD22\/5

••SBlBD=-«,D•«£=--13D,E|JBE==-==—,

2Z5D73、

•・•点B到平面CO4的距离为乎.

2.（2023•上海奉贤•统考二模）如图，在四棱锥〜-人8c。中，AB//CD,M^BAP=Z.CDP=90.

（1）证明：平面243_L平面?AO；

Q

⑵若加=PZ）=AB=OC,/4PD=9Q，且四棱锥P-A8CQ的体积为,，求与平面A8C。所成的线面角的大小.

【答案】（1）证明见解析

（2）30.

【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明；

（2）根据线面垂直的判定定理i止明得底面A8C'。，冉根据四棱锥的体枳公式求出B4=FD=A8=OC=2,

从而用线面角的定义求解.

【详解】（1）因为在四棱锥P—A8CZ）中，NBAP=NCDP=90,

所以AB_L44,CD1PD,

乂ABHCD,所以ABJ.PO,

因为241q力二儿PAPOu平面PA。，

所以平面PAO,

因为A3u平面小所以平面平面E4O.

(2)取AO中点0,连结PO,

因为94=尸。，所以尸O_LA£>,

由(1)知A8J.平面尸4。，AOu平面尸A。，所以A3_LPO,

因为ABcAD=A,4反4Ou底面ABCD,

所以P。」底面A3CO,

设抬=/V)=A8=£)C=a,求得A£>=J/+/=缶,PO=§a,

Q

因为四棱锥尸-ABC。的体积为

所以ARrn=~x加边形<皿1XPO

=4xABx人。xPO=-xaxy/2aa=-a3=-

33233

解得a=2,

Wy.PB=yjpo-+4O2+PB2=V2+2+4=2>/2，

因为PO_Z底面A8CO,

所以NPA。为依与平面/WC。所成的角，

在Rt"O8中，sin/P8O=曹=磊弓，

所以NP8O=30.

所以必与平面A8CO所成的线面角为30.

3.(2023•上海•华师大二附中校考模拟预测)在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4,点C是底面直径AB

所对弧的中点，点。是母线心的中点.

(1)求该圆锥的侧面枳与体枳；

(2)求异面直线AB与CD所成角的大小.

【答案】（i）W万；

(2)arctanx/7.

【分析】（1）由圆锥的侧面积与体积公式求解即可；

（2）找到异面直线A8与CD所成角R勺平面角，计算即可.

【详解】（1）由题意，得08=2,PB=4,

PO=yjPB2-OB2=273'

S=nrl=8TI,V=-itr2h=--n-22-2\/3=n；

333

（2）如图：

取PO的中点£,连接。E,CE,因为点。是母线%的中点，

所以OE/A8,

则NCQE或其补角即为异面直线A8与C。所成角，

因为P。/平面ABC,八Bu平面ABC,所以P0J,A8,所以PO_LOE,

因为点C是底面直径4B所对弧的中点，所以。_L46,所以CO_LDE,

乂COcOE=O,且两直线在平面内，所以OE1平面EOC,ECu平面EOC,；・DE1EC,DE=^OA=\,

CE=\IOC2+OE2=打+（6丫=币,

于是tanNCDE=与=币，即异面直线AB与CD所成角的大为arctan币.

4.（2023•上海普陀•曹杨二中校考三模）如图，在四棱锥C-ABED中，正方形人4百。的边长为2,平面4?四_!_平

面A8C,且8C_LAC,AC=G，点G,产分别是线段的中点.

ED

（1）求证：直线GF〃平面A8C：

（2）求直线GF与平面BDE所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析

%

【分析】（1）连接AE可得G尸为AC的中位线，再利用线面平行的判定定理即可得出证明：

（2）利用四棱锥的结构特征以及线面垂直的判定定理，建立以3为坐标原点的空间直角坐标系，利用空

间向量和线面角的位置关系，即可求得直线G”与平面伙儿:所成角的大小为j

【详解.】（I）根据题意可知，连接4凡则A石交友）与尸：如下图所示：

在ZMCE中，”为A石的中点，又点G是线段EC的中点，

所以G尸〃AC,

又G尸0平面ABC,ACu平面A8C,

所以直线GF7/平面A8C；

（2）由平面平面ABC,H平面人平面A8C=A8,

又四边形48ED是正方形，所以8E_LA8,又BEu平面A8ED,

所以8E_L平面ABC；

过点夕‘乍直线了平行于AC,又4C_LAC,

所以以4为坐标原点，分别以直线BC,直线直线BE为x，，z轴建立空间直角坐标系；如下图所示:

由正方形45££)的边K为2,BC±AC,AC=，5可得，BC=\；

所以8(0,0,0),C(l,0,0),E(0,0,2),0(l,x/J,2)；

BE=(0,0,2"/)=(I,60)；

又点G/分别是线段比80的中点，所以尸

即G尸Jo,4,o］；

\2>

设平面CDE的一个法向量为〃=(x,y,z)；

n-BE=2z=0

所以可得z=0,令x=G，解得y=-l；

n-ED=x+=0

即〃=依-1,0)

设直线B与平面CQE所成的角为“0doe，则

解得0=3；

6

所以直线G厂与平面8OE所成角的大小为

0

5.(2023•上海徐汇•统考三模)如图，已知顶点为S的圆锥其底面|员|。的半径为8,点Q为圆锥底面半圆弧AC的中

Q

(1)若母线长为10,求圆锥的体积;

（2）若异面直线PQ与SO所成角大小为；，求P、。两点间的距离.

4

【答案】⑴128兀;

（2）4710.

【分析】（1）根据给定条件，求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式计算作答.

（2）取AO的中点M,作出异面直线PQ与SO所成角，再利用线面垂直的性质结合勾股定理求解作答.

【详解】（1）圆锥SO的底面圆半径为X,母线长为10,而SOI贝”02+402=必2,解得$0=6,

所以圆锥的体积为丫=：乃片力=：7^82又6=128瓦.

（2）取A。的中点M,连接PM.0M,

由弧AC为圆锥底面的半圆弧知圆锥底面圆心。在AC上且为AC中点，

P为母线SA的中点，则PM"SO,PQ与SO所成角为NQPM或其补角，

由SO_L平面ACQ,得尸M_L平面人CQ,MQi平面4CQ,则

于是有tanNQPM=器=1,由。是半圆弧AC的中点可得OQ1AC,

PM

贝UPM-QM-JOQ2A-OM2-V82+42=475，

所以PQ=&|QM|=4折.

6.（2023•上海闵行•上海市七宝中学校考二模）已知正方体/WCQ-AMGQ,点E为中点，直线片G交平面CQE

于点F.

（1）证明：点尸为"C的中点;

（2）若点M为棱4与上一点，且直线M/与平面CDE所成角的正弦值为延，求筹的值.

25~4

【答案】（1）证明见解析.

⑵十

【详解】（1）在正方体4BCO—AqC〃中，CO//CQ,又。。仁平面44GA，且CRu平面A%G2,

则co〃平面ASGA，而8c交平面COE于点尸，即/w平面CORF€4G,

又4C|U平面A81GA，有尸w平面AAGA，因此平面CDEC平面A4GR=E/"

于是CD//EF,而七为AA中点,

所以/为4G的中点.

（2）以。为坐标原点，Q4OCQR方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

=2(04"),

则M(3.34,3),C(0,3,0)，呜,0,3),尸整3,3),

从而产”二(j,3/1-3,0),0。=(0,3,0),七0二(口,0,3

I，/Iz

设平面CZ）E的一个法向量为〃=（x,y,z）,则

ir°x=2

n-CD=0

，即，不妨取x=2,则，y=0，即〃=(2,0,—1),

n-ED—0-x+3z=0

[2z=-l

设育线MG与平面CDE所成角为0,

又直线例〃与平面CQE所成角的正弦值为逑，

25

sin-」MfL________________3I

因此।研⑶后+…遥25’解得"针

..AM1

所以衣"?•

7.（2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）如图，直三棱柱A3dA4G内接于圆柱，AB=AA]=BC=2f

平面4BC_L平面44,3出

⑴证明：AC是圆柱下底面的直径：

（2）若M为4G中点，N为CQ中点，求平面ABC与平面8MN所成二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵答

【分析】（1）连接AB.利川平面ABC1平面4ASB可得到人用1.平面ABC,继而得到8cd.4片，结合8CJ.A6

可得到5c工平面44罔B,所以A818C,即可求证；

（2）以｛BABCIA｝为正交基底建立空间直角坐标系B-入斗，计算出平面A8C和平面8MN的法向量，然后用夹

角公式进行求解即可

【详解】（1）连接在直三棱柱ABC-A4G中，AB=A\=2,

••・四边形人4蜴8为正方形，.•.人用，人神，

又平面4出。_1_平面44.8#,平面ASCc平面",48=4a平面4AM3,

.­.441平面A6C,又8。u平面ABC,;.BC±AB.

又A4J平面ABC,BCu平面ABC,:.BC1A4,,

又AB|cA4,=4.AB],A4）u平面AA^Bfi,

.•.BC1平面44B出，又45u平面明8#,

4418。,，人。为圆柱底面的直径.

（2）由已知B避1平面A8C,A8J.8C,

.•.以｛8A,8C,8月｝为正交基底建立空间直角坐标系B-Q，Z,

8(0,0,0),A(2,0,0),C(。,2,0),线(0,0,2),A(2,0,2),G(0,2,2),

•,•河,可为46，。。1中点，「・"（1』,2）,%（0,2,1）,

设平面ABC的一个法向量为J?=（N，y,zJ,

B\•〃?=0

则，又刚=(2,0,2),BC=(O,2,O),

BCm=0

2x.4-2z.=0,.

，取ZI=-l,得％=l,y=0,「.m二(1,0,—1),

设平面8MN的一个法向最为。=（七,//），

8M・〃=()

则1，又8M=(l,l,2),8N=(O,2,l),

/^V-/?=()

x2+y2+2z2=0

,取Zz=-2,得玉=3,必=1,

2%+z?=0

"=（3」,-2）,8s的加端=-^==誓,

所以平面A8C与平面BMN所成二面角的余弦值为&巨，对应的正弦值为1J9]:叵

14丫（14J14

8.（2023•上海奉贤•上海市奉贤中学校考三模）已知三棱锥尸-A8C,?人_1_平面ABC,M=6,AC=4,ABIBC,

M,N分别在线段尸B,PCh.

⑴若PB与平面45c所成角大小为求三棱锥夕-ABC的体积V：

J

(2)若PC_L平面AMN,求证：/W_Z平面P8C

【答案】(l)4g；

(2)证明见解析.

【分析】(1)利用线面角求出A8,进而求出ABC面积，再求出体积作答.

(2)由线面垂直的判定证得8cl平面曰8,再利用线面垂直的性质、判定推理作答.

【详解】(1)在三棱锥P-A8C中，R4J_平面A8C,则/“8A是P3与平面A8C所成角，即NP朋=g,

而尸A14反%=6,则"=26,在/8C中，AB1BC,AC=4,有BC=2,

因此J^C的面积S*=；ABBC=；X2出乂2=26,

所以三棱锥尸-ABC的体积V=：S八碇•PA=；x2>/ix6=4后.

(2)在三棱锥P—A8C中，/，4J_平面48C,3Cu平面A8C,则P4_L3C,而A8/8C,

R4cAB=APAABu平面B4B,于是8cs平面248,AMu平面有AM_L3C,

因为PC_L平面AMN,AMu平面AMN,则八MJ.PC,又BCPC=C,BC,PCu平面PBC,

所以平面P8C.

9.(2023•上海闵行•上海市七宝中学校考三模)如图，线段AA是圆柱0a的母线，8c是圆柱下底面。的直径.

(1)若。是弦的中点，且AE=g",求证：DE〃平面ABC；

(2)若8C=2,NA8C=30。，直线与平面ABC所成的角为々，求异面直线4。与44所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)arccos—

4

【分析】(1)证明。E〃AB,再根据线面平行的判定定理即可得证；

(2)取线段AC的中点尸，连接4凡。尸，证明OE//S,则尸即为异面直线A4与A。所成角，证明。产JL平

面"C,再解RtZXA0尸即可.

【详解】（1）因为。是弦人4的中点,

旦AE《AA，可知E是线段八A的口点，

故在，人从田中，OE为边4/的中位线，

则。石〃A6,又A8u面A］。，且直线DE不在面4瓦?，

则。E"平面ABC；

（2）取线段4c的中点尸，连接4尸，。尸，

在58C中，线段”是A8的中位线，

故OF八B,则AAflF即为异面直线AB与4。所成角，

由题意知，AC=\,AF=-,AB=43,OF=-AB=—,

222

因为•平面ABC,AAu平面A8C,

所以AA,_LA8,

因为8C是圆柱下底面：O的直径，所以A8/AC,

又A41cAe=A,44pAec:平面"C，所以A8工平面八人。，

所以。尸，平面AAC，

又因Afu平面AAC,所以。产_1_吊尸，

在RtZkA。”中，Z^C4=p故A4,=G，故JM+AO?=2,

故8$幺0尸二变二走，

044

则异面直线A。与48所成角的大小为arccos巫.

10.（2023•上海长宁•统考二模）如图，在四棱锥夕-/WC。中，底面A3CO为直角梯形，ADHBC,AB1BC,AI3=AD,

BC=2AB,Ej-分别为棱8C8P中点.

p

⑴求证：平面AM〃平面0c尸;

⑵若平面p平面A8CQ,直线相与平面尸8c所成的角为45,且CP_LP8,求二面角2AB-。的大小.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）根据平行四边形性质和三角形中位线性质，结合线面平行的判定可得AE〃平面DCP,EF〃平面DCP,

由面面平行的判定可证得结论；

（2）根据面面垂直的性质可证得A2/平面28C,由线面角定义可知/4PB=45，根据二面角平面角的定义可知

所求二面角的平面角为NPKC,由长度关系可得结果.

【详解】（1）•.E为BC中点，BC=2AB=2AD,ADIIBC,：.AD//CE,AD=CE,

••・四边形AECD为平行四边形，

,・・4£（7平面。。尸，CDu平面DCP,.ME//平面。CP；

W分别为AC,BP中点，.•.瓦7/CP,

・・・M<Z平面。CP,CPu平面0cP,.•.斯〃平面0cP；

QAEIEF=E,A£,EFu平面A样，.•.平面4"〃平面£）CR

（2）•,平面以Cc平面A8C£）=8C,平面P8C1平面ABC。，八8u平面A8CQ,ABJ.BC,

.•.48/平面/>8。，」.乙428即为直线心与平面。8（7所成角，即NAP8=45；

设AB=AO=1,贝lj8c=2,

QA3_L平面PBC,尸8u平面P8C,.•.A8_L/>8,.•.尸8=AB=1；

.BCtAB,PBA,AB,BCu平面4BC,P8u平面平面ABCc平面Q4B=AB,

.•.ZPBC即为二面角P-AB-C的平面角，

VCP1PB,.-.cosZPBC=—=-,/.ZPBC=-,

BC23

即二面角Q-AB-C的大小为

H.（2023•上海松江•统考二模）如图，在四棱锥P—AACO中，底面/WCD为平行四边形，。是4c与的交点,

Z4DC=45,AD=AC=2,PO_Z平面ABC。，P0=2,M是PO的中点.

A

(1)证明：PA//平面ACM

(2)求直线AM与平面4BC。所成角的大小.

【答案】(1)见解析

(2)arcun^

【分析】(1)连接MO,通过中位线性质得到从而根据线面平行的判定定理得到尸8〃平面ACM；

(2)取。。中点N,连接MMAN,利用线面垂直的性质得MN，平面ABCD,从而将题目转化为求/MAN的大小,

再利用勾股定理求出。0=石，则得到4N=正，最后利用反三角即可表示出角的大小.

2

【详解】(1)连接在平行四边形A8C。中，

因为。为AC与8。的交点，

所以。为5。的中点，

又M为。。的中点，所以PB//MO.

因为/>3N平面ACM,MOu平面ACM,

所以PB//平面ACM.

(2)取。。中点N,连接MN,AN,

因为例为7Y＞的中点，所以MN//PO,且

由P。/平面A8CO,得MV_L平面ABCZ）,

所以/MAN是直线AM与平面A8CZ）所成的角.

因为底面48co为平行四边形，且4OC=45"，AD=AC=2,

所以NACO=45，则ND4C=90,

在Rt^DAO中,AD=2,AO—1，所以DO=#＞，从而AN=—DO=»

22

因为AmJ_平面ABCD,ANu平面ABCD,;.MN工AN,

储MN\2也「1

所以在RjANM中，,ann肱*病在=亍，•./“川可0用，

所以直线AM与平面A8CO所成角大小为arctan也.

5

12.（2023•上海青浦•统考二模）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，底面"6C是等腰直角三角，AC=4C=M=2,

。为侧棱4A的中点.

J

Q

（1）求证；3C4平面八CGA；

（2）求二面角B.-CD-C,的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵手

【分析】（1）证明出ACJ_AC,BC工CQ,利用线面垂直的判定定理可证得结论成立;

（2）以点C为坐标原点，CA.CB、所在直线分别为x、N、二轴建立空间直角坐标徐，利用空间向量法结合

同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】(1)解：因为」3c是等腰直角三角形，且AC=6C=2,则6C_LAC,

因为在直三棱柱ABC-4罔G中，CG_L平面ABC,

因为8Cu平面A8C,所以，BC±CC),

因为AC|CC|=C,ACX。。］＜=平面4。。］4，故8c1平面ACGA.

(2)解：因为CC]_L平面ABC,AC1BC,

以点C为坐标原点，C4、CB、CCJ斤在直线分别为x、＞\z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则C(O,O,O)、£>(2,0,1),4(022)、q(0,0,2),

设平面第笫的法向量为m=(x,y,z),CD=(2,0,1),CB,=(0,2,2),

m-CD=2x+z=0

则〉取x=l,可得机=(1,2,-2),

m-CBx=2y+2z=0

易知平面CG。的一个法向量为〃=(0,1,0),

因此，二面角4-。。-G的正弦值为好.

3

13.(2023•上海浦东新•统考二模)如图，三角形£4。与梯形A8CO所在的平面互相垂直，AEA.AD,AB_L4),

BC//AD,AB=AE=BC=2,4)=4,F、H分别为ED、E4的中点.

(1)求证：〃平面

(2)求平面ACF与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵手

6

【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，利用平行四边的判定及性质，结合线面平行的判定定理即可求

解：

（2）根据已知条件、面面垂直的性质定理和线面垂宜的性质定理，建立.空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求

出平面ACr和平面E48的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角的平面角的定义及向量夹角的关系即可求解.

【详解】（1）连接切，

因为r、H分别为ED、石4的中点，

所以且H产二?A。，

又因为8C〃A。，且8c=（A。，

所以5〃8C且，尸=8C,

所以四边形8CF”为平行四边形，

所以BH〃CF,

又平面4/C,bu平面AFC,

所以8"〃平面AFC.

（2）因为三角形£4。与梯形A8C。所在的平面互相垂直，AE1AD,

又平面E4/）n平面ABCD=AD,AEu平面£4。，

所以4£_L平面48CD,

又八笈u平面A8c。，

所以A£_LAB,

所以以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-x），z,如图所示

则A（0,0,0）,C（2,2,0）,。（0,4,0）,尸（0,2,1）.

所以AC=（2,2,O）,Af二（0,2,1）,

由题意知，平面E48的法向量，4=（01,0）,

设平面AFC的法向量/=（.*y,z）,则

n,-AC=02x+2j=0

，即《

2y+z=0

n2AF=0

令y=-l,则x=l,z=2,所以％=(1,-1,2),

设平面ACF与平面£48所成锐二面角为。，则

，闻_|0xl+lx(-l)+0x2|_V6

cos"

同同1X712+(-1)?+226

所以平面Ab与平面£43所成锐二面角的余弦值为好.

6

14.（2023•上海闵行•统考二模）如图，在四棱锥尸-48CD中，底面ABCO为矩形，尸。_1平面人8。。.PD=AD=2,

"=4,点E在线段AB上，旦跖="乩

（1）求证：CE_L平面尸8。；

（2）求二面角P-CE-A的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵

21

【分析】（1）结合三角函数的定义证明8。_LC£,然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直;

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.

【详解】（1）设8。与CE相交于点儿

因为PD_L平面A8CQ,CEu平面A8CQ,

所以PQ_LCE,

由A4=4,BE=-AB得BE=1,

4f

因止匕tanZ.ECB=—,tan/.ABD--,

22

可得NECB=ZABD,

因为NDBC=ZAO8,

所以NB〃C=N8AO=90。，即8O_LCE,

又因为PQ_LCE,PDcBD=D,尸平面。W九

所以CE_L平面PBD；

(2)如图，建立空间直角坐标系Q-iyz,

则C(040),*0,0,2),£(2,3,0),

所以PC=(0,4,-2),CE=(2,-l,0),

设平面PCE的一个法向量〃=(x,y,z),

n-CE=02.r-y=0

则，即《

n-PC=04y-2z=0'

令x=l,则5=2,z=4,于是“=(1,2,4),

平面ACE的一个法向量为^=(0,0.1),

m-n44及T

|J1||COS<〃?，fl>=;~n-r=/=----

刻|砸|M+4+1621，

由图形可知二面角P-CE-A为锐角，

所以二面角P-CE-A的余弦值是处1.

21

15.(2023•上海静安•统考二模)如图，在五面体相。。£产中，"平面"CO,AD//BC//FE,ABA.AD,若

4)=2AF=AB=BC=FE=\.

(1)求五面体ABCDEF的体枳;

(2)若M为EC的中点，求证：平面CDE_L平面AMD

【答案】⑴:

⑵证明见解析

【分析】(1)取AO中点N,连接EMCN,易证得硒，平面43。》五面体A8COE/的体积=棱柱尸—NCE的

体积+凌锥E-CZ)N的体积，分别求出棱柱NCE的体积和棱维E-CDN的体积即可得出答案.

(2)证法1：以4为坐标原点，以加，4。，人/为x，),，z轴正半轴建立空间直角坐标系.由垂直向量的坐标运算可

证得CE_L4O,CE1MQ,即可得出CEJ_平面AMD,再由面面垂克的判定定理即可证明；证法2：由题意证得

AMLCE,MNJ_CE即可得出CEJ_平面AMO,再由面面垂直的判定定理即可证明；

【详解】(1)因为尺。=2,AF=AI3=I3C=FE=\,取A。中点N,连接EN,CN,

因为ADHBC//FE,所以EN//AF,EN=AF=T,CN=AB=1,

又加_L平面A8CQ,4Vu平面ABCD,FA1AN,

所以EM_L平面ABC。，又因为AB_L4>,BPABA.AN,ABr>FA=A,

AZUXu平面以5,所以4VJ.平面E43,

所以AB/-NCE为底面是等腰直角三角形的直棱柱，

高等于1,三棱锥E-CDV是高等于1底面是等腰直角三角形.

五面体ABCDEF的体积=棱柱ABF-NCE的体积+棱锥E-CDN的体积.

III?

即：V=—xlxlxl+—X—xlxl=—.

(2)正法1：以A为坐标原点，以AB，A。，A/为乂)‘二轴正半轴建立空间直角坐标系.

,、ZZ、11

点C（U,O）,D（0,2,0）,E（O,1J）,M

12乙

所以AD=（0,2,0）.MO=（_；J,_；）,CE=（_1,OJ）

得到：CEAD=0,CEMD=---=0

22

所以CELAD,CE工MD,ADIMD=D,平面AMO,

所以C.EI平面AMD.又CEu平面CDF,所以平面CDF.I平面AMD.

证法2：因为AC=AE=夜，所以ZkACE为等腰三角形，M为EC的中点，所以AMJ_CE；

同理在△NCE中，MN1.CE,（N为AD中点、）乂人M、MNu平面AM。，

AMcMN=M,所以CE_L平面AMD,又CEu平面

平面COEJ_平面AMD

16.（2023•上海长宁•上海市延安中学校考三模）已知上8C和V人OE所在的平面互相垂直，AD±AE,AB=2,

AC=4,N3AC=I2O。，。是线段的中点，AD=6

（I）求证：AD工BE；

（2）设4E=2,在线段AE上是否存在点尸（异于点A）,使得二面隹4-8。的大小为45。.

【答案】（1）证明见解析

（2）不存在，理由见解析

【分析】（1）根据余弦定理计算8。=24，根据勾股定理得到确定ADJL平面A8E,得到证明.

（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面A3尸的一个法向量为q=（OJO）,平面CB厂的一个法向量为

。，半，2）,根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】⑴BC2=AC2+AB2-2ACA13COS\200=4+\6+S=2S,故BC=2近,

BD=汨,则8O2=A82+A。，故

y.AD±AE,AE,AAu平面叱，AEryAB=A,故AO_L平面4花,

5£u平面ABE,故ADJ.BE,

E

(2)△ABC和△ADE所在的平面互相垂直，则平面48Cc平面4)E=A。,

A£>_L伍且AEu平面AO£,故4£_1_平面48。，

如图所示：以A氏AD,AE分别为x,)，,z轴建立空间直角坐标系，

则A（0,0,0）,8（200）,C（—2,26,0）,设尸（0,0,〃），we（0,2],

平面八3厂的一个法向量为q=（0J0）,

iun,-BC=2y/3y-4A=0

设平面CBF的一个法向量为%=(x,y.z)，则，

n2-BF=-2x+az=0

取x=Q得到n2=ja,',2],

解得〃=26,不满足题意.

综上所述：不存在点F，使二面角A-8产-。的大小为45。.

17.(2023•上海嘉定•统考二模)如图，正四棱柱ABC。-A4GA中，AB=2,点、E、尸分别是棱4C和CG的中点.

（1）判断直线与。尸的关系，并说明理由；

（2）若直线2七与底面ABC。所成角为求四楂柱ABC。-44GA的全面积.

4

【答案】（1）相交；理由见解析

（2）8—+8

【分析】（1）连结冼根据三角形的中位线得出Er〃8小且杯毛鸟。然后证明四边形ABCQ是平行

四边形，即可推出四边形EFR八是梯形，进而得出结论；

（2）由题意知推得。。=。邑在RtVOCE中，解得。E=后，即可求出四棱柱的面积.

4

【详解】（1