《直线与平面垂直》第1课时教学设计二

高中数学精选资源3/3《直线与平面垂直》第1课教学设计二教学设计一、新课导入日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，广场上竖立的国旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，你能发现旗杆AB所在直线与它的影子BC所在直线的位置关系吗？（如图）随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在直线AB始终与影子所在直线BC垂直也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直.事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的.问题；你认为直线与平面垂直该怎样定义才恰当？设计意图：用熟悉的生活情境导入新课，激发学生的学习兴趣.二、探究新知1.直线与平面垂直的定义.一般地，如图，如果直线l与平面内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面垂直，记作直线l称为平面的垂线，平面称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足.问题：过一点有多少条直线和一个平面垂直？答：有且只有一条.结论：过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过点有且只有一个平面和一条直线垂直.设计意图：结合前面的例子抽象出直线与平面垂直的几何模型，直观形象地展示，通过提出问题，让学生更好地理解直线与平面垂直的基本特征.2.直线与平面垂直的直观图的画法.画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示.设计意图：给出直线与平面垂直的画图方法，直观感知直线与平面垂直的特征，3.直线与平面垂直的性质.（1）回忆空间两直线平行的定义；（2）判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系；（3）找出恰当的空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系.讨论结果：（1）如果两条直线在同一平面内，且没有公共点，我们说这两条直线平行它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.（2）如图，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.（3）如图，长方体中，棱所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？棱所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间互相平行.思考：直线a，b和平面有以下三种关系：①，②，③，如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？并判断其真假如果是真命题，请予以证明；如果是假命题，请举一个反例.命题1：如图，已知，求证：.证明：在平面内作两条相交直线m，n，因为直线,根据直线与平面垂直的定义知.又因为,所以.又因为是两条相交直线,所以.命题2:若已知,求证:.此命题可同命题1证明.归纳：两条互相平行的直线，如果其中一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.命题3：如图，已知直线，那么.证明（反证法）：假设a，b不平行，且是经过点B与直线a平行的直线直线b与确定平面，设，则.因为，所以，又因为，所以这样在平面内，经过直线l上同一点B就有两条直线b，与l垂直，显然不可能，因此.由此我们可以得到直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.定理的不同表示：直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为:垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直，线线平行.直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：.直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图提示：直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了“平行”与“垂直”之间的一种内在联系利用这个定理可以判定两条直线平行.思考交流：两条异面直线能垂直于同一平面吗？说明理由.设计意图：构建假设命题，启发学生探究，通过思考得到准确答案，从而得出并理解直线与平面垂直的性质定理.4.直线与平面所成的角.斜线：一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线.斜足：斜线与平面的交点.斜线在平面内的投影：过斜线上斜足以外的一点向平面作垂线，过垂足和斜足的直线称为斜线在这个平面上的投影.直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作无数条直线与平面相交的直线l与平面内的直线a，b所成的角多是不相等的为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，故可以由斜线与其在平面内的投影所成的锐角作为直线和平面所成的角.定义：平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行，或在平面内，就说它们所成的角是的角.如图，l是平面的一条斜线，点O是斜足，A是l上不同于点O的任意一点，AB是的垂线，点B是垂足，所以直线OB（记作）是l在内的投影，（记作）是l与所成的角.注意：直线与平面所成的角的范围：.点评：直线与平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际中有着广泛的应用如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？又如铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷，投出的距离最远？设计意图：展示直线与平面所成角的相关概念，全面理解“线面角”及其特征三、例题讲解例1本章12节已提到从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离请证明：如果一条直线平行一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离都相等.证明如图，直线与平面分别用l与表示，且.要证明直线l上各点到平面的距离相等，只要证明直线l上任意两点到平面的距离相等而点到平面的距离也就是点到平面垂线段的长.过直线l上任意两点A，B分别作平面的垂线，垂足分别为E，F.因为，，所以.设过直线AE和BF的平面为，则.由，得.所以四边形AEFB是平行四边形所以，即直线l上各点到平面的距离相等.小结：如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离.活动：教师展示例题，点拨分析题目的关键信息，学生画出直观图，用语言表述证明过程.点评：直线和平面平行，直线上的点到平面的距离相等可用于一般结论应用，是后续证明解题的常用结论.例2如图，已知正方体.(1)求与底面所成的角;(2)设正方体的棱长为,求与底面所成的角的余弦值.解（1）因为底面,所以是与底面所成的角.因为侧面是正方形,所以.即与底面所成的角为.(2)如图,连接,则.因为底面,所以是与底面所成的角,同时.在中,,所以.即与底面所成的角的余弦值为.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.点评：求直线与平面所成的角，是本节的又一重点，作线面角”的关键是找出平面的垂线设计意图：通过对“线面角”的求作和运算，让学生动手作，动脑思，完善“线面角”的求作步骤，理解寻找方法，加深应用.四、课堂小结1.知识：直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的性质定理及其应用，直线与平面的距离的定义、直线与平面所成的角的定义.2思想方法：转化思想，把空间问题转化为平面问题.设计意图：巩固直线与平面垂直的定义、性质及“线面角”的求解等主干知识，形成知识网络，为更好地学习空间垂直关系做好铺垫.五、布置作业教材第229页练习第1，2，3题.板书设计第1课时直线与平面垂直的性质一、新课导入二、探究新知1.直线与平面垂直的定义一般地，如果直线l与平面内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面垂直，记作，直线l称为平面的垂线，平面称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足2.直线与平面垂直的直观图的画法3.直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面