《直线与平面垂直和直线与平面所成的角》教学设计一

高中数学精选资源3/3《直线与平面垂直和直线与平面所成的角》教学设计一教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入问题：直线与平面平行的判定方法有几种？教师出示问题，学生回答.生：可用定义判断，也可依据判定定理判断.复习旧知，为学习新知做好知识上的准备.探索新知一、直线与平面垂直的定义1.如果直线a与平面内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面垂直，记作.直线a叫作平面的垂线，平面叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足.2.画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的边垂直，如图.例1证明:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.已知:(如图).求证:.分析只要证明与平面内任意一条直线都垂直.证明设是内的任意一条直线.,则.二、直线与平面垂直的判定1.实验:如图,过的顶点翻折纸片,得到折痕,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上与桌面接触）.（1）折痕与桌面垂直吗?（2）如何翻折才能使折痕与桌面所在平面垂直?2.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.用符号表示为（如图）：若，,则.思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为“一条直线或两条平行直线”？三、直线与平面垂直的性质定理1.如图,在长方体中,棱所在直线都垂直于平面,它们之间具有什么位置关系?2.已知直线和平面,如果,那么直线一定平行吗?已知：.求证：.证明如图,假设不平行于,设是经过点与直线平行的直线.直线与确定平面,设.因为,所以.又因为,所以,这样在平面内,经过直线上同一点,就有两条直线与垂直,显然不可能.因此.3.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.简化为：线面垂直线线平行.4.（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.（2）从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离.（3）一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离.例2已知:.求证:直线上各点到平面的距离相等.证明过直线上任意两点分别作平面的垂线,垂足分别为(如图).因为,所以.设经过直线和的平面为,则与的交线为直线.因为.所以,从而四边形是平行四边形，所以.故直线上各点到平面的距离相等.四、直线与平面所成的角一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫作这个平面的斜线,斜线与平面的交点叫作斜足.斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段.如图,过平面外一点向平面引斜线和垂线,那么过斜足和垂足的直线就是斜线在平面内的射影,线段就是斜线段在平面内的射影.平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角.如果一条直线垂直于平面,那么称它们所成的角是直角;如果一条直线与平面平行或在平面内,那么称它们所成的角是角.所以直线与平面所成的角的取值范围是.例3如图,已知分别是平面的垂线和斜线,分别是垂足和斜足,,求证:.分析因为平面,所以只要证明平面.证明.例4如图,已知在平面内,.求证:点在平面内的射影在的平分线上.证明作,垂足分别为,连接,同理.在Rt和Rt中,,所以,从而.故点在平面内的射影在的平分线上.师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面、桥柱与水面等，你能举出更多的例子吗？师：在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？生：旗杆与地面内任意一条经过它与地面交点的直线垂直.师：那么旗杆所在直线与平面内不经过它与地面交点的直线位置关系如何，依据是什么？生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.师：你能尝试给线面垂直下定义吗？学生尝试给出线面垂直的定义.师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明.教师出示例1，学生思考，尝试回答，教师根据学生的回答进行板书.教师提问：例1利用定义证明了直线与平面垂直，使用不便，限制较多.除了定义之外，我们是否还有证明线面垂直的其他方法呢？请同学们想一想！师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片,我们一起来做一个实验（投影实验).学生动手实验,然后回答问题.生:当且仅当折痕是边上的高时,所在直线与桌面所在平面垂直.师:此时垂直于桌面上的一条直线还是两条直线?生:垂直于桌面上的两条直线,而且这两条直线相交.师:怎么证明?生:折㾗,翻折之后垂直关系不变,即.……师：直线与平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.教师给出线面垂直的符号表示和图形表示，学生体会、识记.教师提出思考题供学生思考，帮助学生理解判定定理的核心词——“两条相交直线”，学生思考，举反例.生:借助长方体模型发现,所在直线都垂直于平面,它们之间相互平行.师:怎么证明呢？由于无法把两条直线归入到一个平面内,故无法应用平行直线的判定知识,也无法应用基本事实4,有这种情况下,我们采用“反证法”.教师边分析边板书.师:在的条件下,如果平面外的直线与直线垂直,你能得到什么结论?生:直线与平面平行.师:在的条件下,如果平面与平面平行,你能得到什么结论?生:直线与平面垂直.教师给出线面垂直的性质定理，学生识记.师：在同一平面内，过一点有几条直线与已知直线垂直？生：有且只有一条.师：将这一结论推广到空间，过点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？师：点到直线的距离与直线和平面的距离有何区别与联系？教师出示例2，学生思考、回答.待学生思考、回答完后，教师进行板书.教师出示斜线、斜足和斜线段等概念，并让学生在图中指出上述三个元素.学生回答:斜线为,斜足为点,斜线段为线段.教师进一步给出射影和直线与平面所成的角的概念,让学生接着在图中找上述元素.学生回答:图中射影为,所成的角为.教师提问:左图中,与平面内经过点的直线所成的角中,哪个角最小?是吗?你如何证明呢?学生尝试回答并完成证明.教师出示例3,并提问:要证明,可以转化为证明什么?生:可以转化为证明平面.教师继续追问:要证明平面需要怎么做?生:在平面中找到两条相交直线都与垂直就可以了.学生根据上述思路写出证明过程,全班讲评.教师出示例4,并提问:审题,如何证明结论?生:作,垂足分别为,连接,.证明.教师请学生板演,并巡视课堂,发现、指出学生中存在的问题,对个别学生进行辅导.学生板演或者草稿纸上进行解答.教师对学生的答案进行点评,并提醒学生注意答题格式及规范性.完成例4后教师提问:你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗?试试看!多利用实际生活中的例子帮助学生理解线面垂直的定义，提升数学抽象核心素养并要注意“任意条”和“无数条”的区别，避免出错.利用定义给出线面垂直的证法，体会其证明的方法，为引出线面垂直的判定定理做铺垫.培养学生的几何直观能力和动手实践能力，使他们在动手活动、直观感知、操作确认的基础上，理解线面垂直的判定定理，从本质上理解定理，发展数学抽象和逻辑推理核心素养.通过对判定定理中条件的改变，明确定理中“两条相交直线”的重要性.借助长方体模型来学习线面垂直的性质定理.复习反证法的证明步骤，体会其在解决几何证明问题中的作用，提升逻辑推理核心素养.学习两个“距离”的相关知识，为后续距离的计算打好理论基础.通过例2巩固直线到平面距离的知识，提升直观想象和逻辑推理核心素养.本部分内容的学习采取教师给出概念，学生识记，并通过对应图形找相应元素的方式进行理论与实操相结合，辅之以具体的图形范例，能够起到较好的记忆效果.本例题通过教师一系列的提问，从最终要求证的结果出发，一步一步倒推，寻找证明的条件，最后在已知条件中找到，向学生渗透分析法解决证明题的思路，之后再将这个分析过程反过来，从已知一步一步推导出最后的结果，又体现了综合法的思想.这是一道典型的利用分析法分析证明思路，再用综合法写出具体证明过程的题目，值得学生仔细研究.本题综合性较强，涉及的知识点较多，综合应用了线垂直和全等三角形的知识，提升了学生的逻辑推理核心素养.归纳总结1.直线与平面垂直的判定定理及性质定理.2.直线与平面所成的角定义与求解.学生归纳总结，教师补充完善.巩固学习成果，使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力.布置作业1.教材第171页练习第5题.2.教材第173页练习第2题.学生独立完成，教师批阅.强化知识，提升能力.板书设计第2课时直线与平面垂直和直线与平面所成的角1.直线与平面垂直的定义如果直线a与平面内的任意一条直线都垂直，那