《直线与平面垂直》第2课时同步学案

高中数学精选资源3/3《直线与平面垂直》第2课时同步学案问题情境导入生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如竖立的旗杆和地面、路灯和地面等在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？本节我们就来研究这一问题.自学导引1.直线与平面垂直的判定定理：_____.符号语言：_____.2.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条_____.答案1.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直a2.也垂直于这个平面预习测评1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不确定2.下列说法中，正确的是（）A.若直线与平面内无数条直线垂直,则B.若直线垂直于平面,则与平面内的直线可能相交,可能异面,也可能平行C.若,则D.若,则3.在长方体的棱上任取一点,作于,则与平面的关系是（）A.平行B.平面CC.相交但不垂直D.相交且垂直答案1.答案：B解析：直线和三角形两边垂直，由直线与平面垂直的判定定理知,直线垂直于三角形所在的平面,则直线垂直于第三边.2.答案：C解析：当l与内的任何一条直线都垂直时，，故A错；当时，l与内的直线可能相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在内，所以D错误.3.答案：D解析:如图,在长方体中,有平面,又面,所以,由已知有,且,所以平面也可由“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”直接得出结论.新知合作探究探究点直线与平面垂直的判定定理知识详解直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.简化为：线线垂直线面垂直图形语言表示：符号语言表示：.[特别提示]（1）直线与平面垂直判定定理的本质是由线线垂直得到线面垂直判定定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.（2）判定直线与平面垂直还有下面结论可用：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.典例探究例1下列说法正确的有_____.（填序号）①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面不垂直，则平面内一定没有直线与l垂直.解析因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确；由直线与平面垂直的定义可得，故②正确；因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确；如图，与不垂直，但，，故④不正确.答案=2\*GB3②方法归纳判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语,此处强调“相交",若两条直线平行,则直线与平中不一定悉直.变式训练1(1)若三条直线两两垂直,则直线垂直于（）A.平面B.平面C.平面D.平面(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：=1\*GB3①三角形的两边;=2\*GB3②梯形的两边;=3\*GB3③圆的两条直径;=4\*GB3④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是_____(填序号).答案（1）C（2）=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③点拨（1）因为,平面,所以手面.（2）根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的,=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③中给定的两直线一定相交,能它们互相平行,不满足定理条件.例2如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面分别是的中点.证明:平面.解析结合题意求得,结合直线与平面垂直的判定定理可得证.答案如图,连接.在利中,，所以,即是等腰三角形.又是的中点,所以.又,是的中点,所以.变式训练2如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，为的中点.求证:平面.答案因为平面，所以.又,所以.而,所以平面.又平面,所以.由已知计算得.所以,所以.又因为C,所以平面.方法归纳证明“线面垂直”的方法：（1）“线线垂直”证明“线面垂直”：①定义法（由“线线直”可得出“线面垂直”）；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线（有时作辅助线）；结合平面图形的性质（如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等）及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证“线线垂直”，进而得出“线面垂直”.（2）平行转化法（利用推论）.=1\*GB3①;=2\*GB3②.易错易混解读例下列五个正方体图形中，是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是_____.（写出所有符合要求的图形序号）错解由于在所在的面内的投影分别为各面正方形的对角线,由正方形的性质可得,,所以中面中在下底面的投影与垂直,所以,所以面中取的中点,连接,因为在下底面的投影垂直于,所以,所以面,所以,可理,所以面中在面上的投影与垂直,所以,所以面;(5)中取中点,连接在面,面内的投影分别与垂直,所以,所以面,所以面,得面.综合知,本题的答案是.错因分析直线与手面垂直的判定有误,要证一条直线与一个平面垂直，应该证明这条直线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证了与一条直线垂直（如（2）只证明了),所以出错.正解(1)中在面内的投影分别为,而,所以,又,所以面中若,则取的中点,连接在面内的投影为,而,所以,结合,得面,所以,这显然不可能,所以与不可能垂直,所以与面不垂直;(3)类似(2)的证明,可得与面不垂直;(4)中易证,而,所以,所以面中取中点,连接,可证得面,所以,同理可证,所以面.综上知,本题的正答案是(1)(4)(5).纠错心得在判断“线面垂直”的过程中,一定要严格按照判定定理证明直线与平面内的两条相交直线都垂直,从而得到“线面重直”.课堂快速检测1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是（）A.垂直.B.相交但不垂直C.平行D.不确定2.PA垂直于以为直径的圆所在的平面,为圆上异于的任一点,则下列关系不正确的是（）A.PAB.平面C.D. 3.已知垂直于平行四边形所在平面,若,则平行四边形一定是_____.4.如图,在正方体中,分别是棱的中点,是底面的中心,则与平面的位置关系是_____.（填“平行”或“垂直”）答案1.答案：A解析:梯形的两腰所在直线相交