2024年高考数学第一轮题型归纳与解题 考点33 空间几何体的结构特征、直观图、表面积和体积9种常见考法归类（原卷版+解析）

考点33空间几何体的结构特征、直观图、表面积和体积

9种常见考法归类

考点一空间几何体的结构特征（三）等体积法求体积

考点二空间图形的展开图问题（四）已知体积求其他量

考点三最短路径问题考点七空间几何体的截面问题

考点四立体图形的直观图考点八与球有关的切、接问题

考点五空间几何体的表面积（-）几何体的外接球

考点六空间几何体的体积（二）几何体的内切球

（-）直接利用公式求体积考点九立体几何中的轨迹问题

考点十立体几何中的最值问题

（二）别补法求体积

।.拔柱、棱惟、枝台

棱柱枝卷枝台

g~D'火“顶点

C，会上底面

图例棱小而

MBB-海面:婢》C

形

F座

有两个面互相平行，其余各面都是

有一个面是多边彩，其余各面用一个平行于极锥底面的平面去截

定四边形，并且相邻两个四边形的公

都是有一个公共顶点的三角棱镇，底面和盛面之间那部分多面

义共边都互相平行，由这些面所围成

彩，由这些面所围成的多面体体

的多面体

结

构底面互相平行且全等：恻面都是平底面是一个多边形：侧面都是上、下底而互相平行且相似：各蝴

特行四边形：侧棱都相等且互相平行三角形；侧面有一个公共顶点棱延长线交于一点：各恻面为悌彩

征

①按底面多边形的边数：三棱柱、①按底面多边形的边数：三棱①按底面多边形的边数：三枝台、

分

四棱柱、五棱柱…锥、四棱雄、五棱锥…四棱台、五棱台…

类

②按侧棱与底面的关系：侧棱垂直②三棱银：底面是正多边形，②正棱台：由正棱雄极得的校台

于底面的枝柱叫做宜棱柱，并且顶点与底面中心的

否则叫做斜棱柱.底面是正多边形连线垂直于底面的枝般.

的立板柱叫做正枝柱.底面是平行③三四面体：所有校长都相等

四边形的四棱柱也叫做平行六面的三枝锥.

体.侧棱垂直于底面的平行六面体

叫直平行六面体.

2.常见四极柱及其关系

底面底

直

行四边后平行于总而平

建

鬟暨

长

正

长

行

正

四六面体支

&四

六

方

梭

曲

四氐百是平体

柱R于底叫岚b;忏E边形柱

体

3.简单凸多而体的分类及其之间的关系

正

田

梭柱桂

柱

四）

凸

多平行六面体

面

体

正四面体

正

方

很

4.圆柱、圆锥、圆台、球

圆柱圆馆圆台球

田

图*嚏£

母线•/T

底为胧M

形OW

以整形的一边所在宜线以直角三角形的一条直向以半圆的直径所在直线

用平行于圆锥底面的

定为旋转轴，其余三边旋边所在的直线为旋转轴.为旋转轴，旋转一周所

平面去极圆锥，底面

义转一周形成的面所围成其余两边旋转一周形成的形成的曲面叫做球面.

与板面之间的部分

的流转体面所围成的旋转体俅面所围成的旋转体

然①母线互相平行且相①母姣和交于一点①母线延长线交于一

构等，并垂宜于底面②轴极面是全蒂的等腰三点粒面是圆面

特②批截面是全等的矩形角形②轴截面是全等的等

征③测面展开图是矩彩③侧面展开图为扁形腰梯形

③侧面展开图是扇环

5.简单组合体

由冏单几何体组合而成的几何体叫简单组合体,其构成彩式主要有：由他单几何体拼接，或由价华几何

休故去改挖去一部分.

6.立体图形的宜观图

(I)概念：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，立体几何中通常是在平行投彩

下得到的平面图形.

(2)斜二测西法西水平放黑的平面图脑立现图的步蕤：

①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴.两轴相交于点0.色直观图时，把它们曲成对应的“轴与y

轴，两轴相交于点。'，且使/fO：y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.

②已知困形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别西成平行于下轴或J轴的线段.

③已知图形中平行于x轴的线段，在直现困中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直现图中长度为

原来的一半.

画.1何体的直观图时，与画平面图形的直现图相比，只是多画一个与X轴、)'轴部垂直的z轴，并且便

平行于Z轴的找段的平行性和长度都不变.

注：按照斜二测西法得到的平面图形的直观图，其面积是原图形的半倍，即S皿=坐55口丽=

SN&M

7.简单几何体的表面积与体犯

(I)圆柱、圆般、圆台的侧面积

圆柱圄锥圆台

一

力，......

潮而展

开困L“r7?L-次1•…翁

郃面积S甩8训=

SKuw=2ftr/S

公式Jt(r+/)/

其中「，/为底面半径，/为母线长.

(2)柱、锥、台、球的表面积和体积

、名称

儿/、表面积体积(5是底面积，力是高)

S“枚”-4+2S&

Sic"+2S,l(c'为宜截面周长

柱体（棱柱*SMU=2i4+i2/xrl-2nr（r+/）

S«+25人V=Sh

和圆柱）

2

2xr

S〃t»="+兀rl=^r(r+/)

锥体（棱傩

S仄向力=S钊+SAV=/h

和圆锥）

5」,=%("+")/I+St：+S>

S*/i=水r"+/+r'l+rl)

台体（棱台S麦的力=S旬+S上

V=*S上+ST+^/SXST)/J

和回台）+ST

球（/?是半

S=4nR?V=^nR-

径）

8.解决空间几何体的结构特征问题的叁本方法:

（1）定义法：紧扣结构特征是判断的关健,熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条

件不变的怙况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据即意判定：（2）反例法：学

会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个令邈是错误的，设法举出一个反例即可.（3乂削柱、圆锥、陶台的

有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.（4）既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定

义的，所以在解决棱（圆）台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.

9.最短距离问题

研克几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距

离问题.

10.用斜二测画法画百观图的技巧

在原图形中与X轴或.y轴平行的线段在直观图中与V轴或V轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可

以先画出线段的端点再连线，原图”，的曲线段可以通过取一些关键点，作出在克观图的相应点后，用平

滑的曲发连接而画出.

11.解决有关''斜二测画法”问题注意点

一股在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形

的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段K度的关系.

12.求解多面体的表面积

关键是找到其中的特征图形，如枝柱中的矩形，枝维中的直角三角彩，枝台中的直角相形等，通过这

些图形，找到几何元素间的关系，通过建立未知量与已知量间的关系进行求解.

13.求空间几何体体积的常用方法

求空间几何体体积的常用方法为公式法、割补法和等枳变换法（等体积法）：

公式法对「规则儿何体的体积问题，可以宜接利用公式进行求解

把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体枳计算；或者把不规则的几

割补法

何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便f计养工体积

•个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果•个几何体的底面面积和卷

较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变

等体积形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一•种方法，多用来解决有关键体

法的体积，特别是三棱锥的体积，对于三核维，由于其任意一个面均可作为枝维的

底面，从而可选驿更容易计算的方式来求体积：利用“等积性”还可求'，点到面的距

离”.

14.求旋转体的表面积问题

注但其侧面展开图的应用.直角梯形绕直角腰旋转一周彩成的是圆台，四分之一同境半径所在的直线流

转一周，形成的是半球，所以阴影部分绕A8旋转一周形成的是组合体，圆台挖去半球，S.MS憎.+STAB

+S**&.

15.求旋转体体积的一般思路

求注转体体积的一般思路是理解旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.求旋转体的体

积常用公式法、分割法等，注意相关公式要牢记.

16.与球有关的切、接问题

解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的

思维流程是:

___J如果是内切球，球心到切点的距离相等且

定球心1为半径；如果是外接球，球心到接点的距

一」：离相等且为半径

0:选准最佳角度作出截面（要位这个横面尽

I-----1:可能多的包含球、几何体的各种元素以

I作铁面H及体现这些元素间的关系），达到空间问

:题平面化的目的

示匐J根据市就裁面市而兄行装黑；亚ii

下诘论：半径的方程,并求解

”.几个与球有关的切、接常用结论

（I）正方体的极长为球的半径为R

①若球为正方体的外接球，则2代=小你

②若球为正方体的内切球，则2R=a：

③若球与正方体的各棱相切，则2Rfa

（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R则2A=后砺宠.

（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1.

18.空间几何体的截面问题

作出截面的关键是找到被线，作出截线的主要根据有：（1）确定平面的条件：（2）三线共点的条件：（3）面

面平行的性质定理.

19.立•体几何中的最值问题

解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手：

（I）从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决：

（2）利用空间几何体的侧面展开图：

（3）找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数

建成后，可用•次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法（如三角函数等）

考点精析

考点一空间几何体的结构特征

1.【多选】（2023秋・浙江杭州•高三浙江省桐庐中学期末）下列命题正确的是（

A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体走极台

B.棱柱的侧极都相等，侧面都是平行四边形

C.用平面截圆柱得到的截而只能是圆和矩形

D.棱柱的面中，至少有两个面互相平行

2.（2023・全国•高三专题练习）下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（）

A.棱柱的侧棱互相平行

B.以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥

C.正三棱锥的各个面都是正三角形

D.棱台各侧棱所在直线会交于一点

3.【多选】（2023春,甘肃•高三校联考期中）下列命题正确的是（）

A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所用成的旋转体是圆台

D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

4.（2023・上海•高三统考学业考试）如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾

斜后水睛中的水形成的几何体是（）

A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定

5.【多选】（2023•全国•高三专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是

《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条核互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除贝1］（）

A.“羡除”有H仅有两个面为三角形：B.“羡除”一定不是台体；

C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除”：D.“羡除”至多有两个面为梯形.

6.（2023春•河南商丘•高三商丘市实验中学校联考阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，

每个石荒都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则卜.列结论不正确的是（）

A.该几何体的面是等边三角形或正方形

B.该几何体恰有12个面

C.该几何体恰有24条棱

D.该儿何体恰有12个顶点

7.（2023・全国•高三专题练习）1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一

条是：如果用匕E和尸分别表示简单凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：.己知一个正多面

体每个面都是全等的等边三角形，每个顶点均连接5条棱，则（）

A.50B.52C.60D.62

考点二空间图形的展开图问题

8.（2023秋•黑龙江绥化•高三校考期末）如图是一个正方体的平面展开图，将其更原为正方体后，互相重

合的点是_______.

①与②与③与④与

9.（2023・全国•高三专题练习）如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段八8与线段

C。所在的白线（）

A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是片面直线

10.（2023,海南省直辖县级单位•统考模拟预冽）如图①，这是一个小正方体的侧面展开图，将小正方体从

如图②所示的位置依次翻到第I格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格.这时小正方体正面朝上

的图案是（）

考点三最短路径问题

11.（2023・高三课时练习）如图，圆柱的高为2,底面周氏为16.四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点8

为半圆弧CO的中点,则在此圆柱的侧面上，从A到4的路径中，最短路径的长度为（）.

12.（2023,全国•高三专题练习）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一

老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是

13.（2023•全国•高三专题练习）如图，已知圈锥（f勺底而半径为I,母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆椎的

侧面爬厅一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（）

S

A

A.C.6D.

14.（2023•全国•高三对□高考）如图，在直三棱柱A8C-A4C：中，ZABC=90°.AB=BC=&，取

产分别是、的中点，沿棱柱的表面从E到尸的最短路径长度为.

考点四立体图形的直观图

15C03.江西上饶.校联考模拟预测）如图.一个水平放置的三角形的斜一测直观图是等腰直角三角形.

若&*=8。=1,那么原三角形的周长是（■

A.B.

C.D.

16.（2023•广西南宁•南宁三中校考模拟预测》如图所示，一个水平放置的四边形O48C的斜二测画法的直

观图是边长为2的正方形07r9C,则原四边形的面积是（）

A.B.C.16D.8

17.（2023,全国•高三对口高考）如图，一个月斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形，则

原三角形的面积是（）

A.标B.a2

C.a2D.标

18.（2023秋,上海浦东新♦高三上海市川沙中学校号期末）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形

的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.4BC=45.从8=AO=I,OC_L8C,则这块菜地的面积为

19.（2023•全国•高三专题练习）如图，VA'OB'是水平放置的AAO8的直观图,但部分图象被茶渍覆盖,

已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且AAO8的面积为12,则的长度为（）

A.1B.2C.3D.4

20.（2023•高三课时练习）如图所示，△ABC是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线

AD中，最长的线段是（）

A.ABB.ADC.BCD.AC

21.（2023•全国•高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2,如图，其底面/3C水平放置的直观图（斜二

测画法）为，其中OX=0Q=OU=1,则此三棱柱的表面积为（）

A.B.C.D.

22.【当选】（2023・湖北黄冈・黄冈中学校考三模）如图所示，四边形A9C77是由斜二测画法得到的平面

四边形水平放置的直观图，其中，，C7y=CB'=2,点在线段上，对应原图中的点，则在原图中下列说法

正确的是（）

A.四边形的面积为14

B.与同向的单位向量的坐标为

C.在向量上的投影向量的坐标为

D.I3E4+P例的最小值为17

考点五空间几何体的表面积

23.（2023秋•辽宁锦州•高三统考期末）如图，扇形中，OA1OB,,将扇形绕所在直线旋转一周所得几何

体的表面积为.

24.（2023•宁夏石嘴山•平罗中学校考模拟预测）已知阅锥的底面半径为1,侧面展开图的阅心角为，则该

圆锥的恻面积为（）

A.B.C.D.

25.（2023・全国•高三专题练习）如图，斜三棱柱48C-A4G中，底面是边长为I的正三角形，侧棱长为

2,/AA3=/AAC=45。，则该斜三棱柱的侧面积是.

26.（2023乔,上海浦东新♦高三上海市建平中学校考阶段练习）如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为,

高为，则这个茶叶盒的表面积为.

27.（2023存山西•高三校联考阶段练习）已知是圆锥的一个轴截面，分别为母线的中点，SO=2币,CD=2,

则圆锥的侧面积为（）

A.B.C.D.

28.（2D23•全国•高三专题练习）在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑

堵''的底面是斜边长为的等腰直角三角形，高为，则该“堑堵”的表面积为（）

A.B.C.D.

29.（2023,全国•高三专题练习）已知点是球的小圆上的三点，若48=8C=C4=3#.C9=4,则球的表

面枳为（）

A.B.C.D.

30.（2023・广东佛山・华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）攒尖是古代中国建筑中屋顶的•种结构形

式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为

四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60。，

则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（）

A.B.C.D.

31.（2023・全国•高三专题练习）由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥

（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），其侧面三角形底边上的岛与底面正方形边长的比值为，则以

该四楼推的高为边长的正方形面积与该四极锥的侧面积之比为（）

C.D.4

32.（2023・安徽安庆・安庆•中校考三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石

器时代遗址,如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径/W=12cm,圆柱体部分的高，圆锥体

部分的高CO=4cm,则这个陀螺的表面积（单位：）是（）

B.(144+24呵”

C.(108+12拒)兀D.(108+24㈣兀

考点六空间几何体的体积

（-）直接利用公式求体积

33.（2023•上海杨浦•旦旦附中校考模拟预测）若某圆锥高为3,其侧面积与底面积之比为，则该恻锥的

体积为.

34.（2023・全国•高三专题练习）一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半网，则该【员I椎的体积为（）

A.B.C.D.

35.（2）23・河北・统考模拟预测）已知正四楼台48。。-4圈如。中，A8=3入4=3,,则其体积为.

36.（2023.仝国.模拟预测）如图1,位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早、规模最大的唐代四方楼

阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四校锥，如图2,已知正四棱锥P-A8C。的高为4.87n】，

其侧棱与高的夹角为45。，则该正四棱锥的体枳约为（）（4.87^115.5）

A.B.C.D.

37.（2023•全国•高三专题练习）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始」.•明朝正德年间.紫砂

壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台,如图给

出了一个石瓢壶的相关数据（单位＜m〉.现在向这个空右瓢壶中加入（约）的矿泉水后，问石颤壶内水深约

（）cm

A.2.8B.2.9C.3.0D.3.1

《二》制补法求体积

38.C023•辽宁鞍山•统考模拟预测）如图，在三棱柱A3C-44G中，底面ABC,48=3C=G4=M，

点。是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（）

A.1:2B.4:5C.4:9D.5:7

39.（2023•辽宁•朝阳打第一高级中学校联考三模）如图是两个直三棱柱48M-AAN和AM隅-AA/度看

后的图形,公共恻面为正方形，两个直三棱柱底面是腰为2的等腰直角三角形,则该几何体的体积为

40.（2023・河北唐山・唐山市第十中学校考模拟预测）如图，正方体人BC。-人洲GR的楼长为4,点P,。,

R分别在核，，上，且Of=A0=CR=l,则以平面截正方体所得截面为底面，为顶点的棱锥的体枳为

41.（2023•四川•校联考模拟预测）如图，直角梯形中，AD//BC,ZBA£>=90°.A8=AO=&，，将沿

翻折至的位置，使得A8±A'C.

（2）若，分别为，的中点，求三棱锥A'-OFH的体积.

（三）等体积法求体积

42.（2023•甘肃定西•统考模拟预测）如图，在四枝锥P-4SC。中，底面A3CO是边长为2的菱形，/朋。=60.

AC与BD交于点、O,底面A8CD,,点E,尸分别是极附,PB的中点，连接OE,OF,EF.

（I）求证：平面平面PCD：

（2）求二校钳的体积.

43.（2023・四川成都•川大附中校考模拟预测）如图所示多面体八式。叱中，平面平面，平面，是正三角形,

四边形是菱形，，，

（I）求证：平面：

（2）求三棱锥的体积.

（四）已知体积求其他量

44.（2023•全国•高三专题练习）已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，，该圆台的体积为，则该园

台的高为.

45.（2023•江西•统考模拟预测）已知某圆锥的底面半径为2,其体积与半径为1的球的体积相等，则该圆

锥的母爱长为（）

A.1B.2C.D.5

46.（2023,湖南长沙•长沙一中校考模拟预测）已知A,B,C,。是体积为的球体表面上四点，若，，，且

三棱锥A-BC。的体积为，则线段C£＞长度的最大值为（）

A.B.C.D.

47.（2023・天津和平・耀华中学校考二模）粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午

节的节庆食物.现将两个止四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线段C。（含

端点）上运动，若此六面体的体积为，则下列说法正确的是（）

A.B.

C.卬+尸G的最小值为D.EG+AU的最小值为

考点七空间几何体的截面问题

48.（2023・全国•高三专题练习）已知在正方体八BCD-ABC。中，，，分别是，，的中点，则过这三点

的截面图的形状是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

49.C023•江西•统考模拟预测）已知在长方体A8CQ-A4G。中，AB=BBt=2BC,点，，分别在核，

和上，且，CQ=3GQ,irr=3AT,则平面过长方体所得的截面形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

50.（2023•江西鹰潭立溪市实验中学校考模拟预测〉已加正方体八BCD-ARCE的校长为2,点为线段的

中点，若点平面，且平面，则平面截止方体ABC7）-4禺QA所得截面的周长为（）

A.B.C.D.

51.（2023,全国•高三对口高考）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，，，，，为线段上的一动点，则过三

点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为.

52.（2023・仝国•高三对口高考）如图，正方体的校长为，动点。在对角线上，过点。作

垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为A设，则当时，函数的值域为（）

A.B.C,D.

53.（2023•四川凉山•三模）在棱长为2的正方体A8CO-A5CQ中，若E为棱的中点，则平面截止方体

ABCD-A.B^D,的截面面积为.

54.（2023秋,安徽阜阳,高三安徽省临泉笫一中学校考期末）已知正方体人灰?。-入86。的梭长为2,M、

N分别为、的中点，过、的平面所得截面为四边形，则该截面地大面积为（）

A.B.C.D.

55.（2023•重庆•统考模拟预测）已知三棱椎中，。为3c中点，PI3=PC=AB=BC=AC=4,恻面底面，

则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为.

考点八与球有关的切、接问题

（一）几何体的外接球

56.。023,全国•高三专题练习）在直三棱柱样C-A8G中，AC=4.A4=3./U,=I2.N8AC=9O°,口三

棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）

A.B.C.D.

57.（2023・四川南充・闽中中学校考二模）如图，圆台中，，其外接球的球心。在线段上，上下底面的半径

分别为，，则圆台外接球的表面枳为_______.

58.（2023・全国•高三专题练习）如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆

台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，㈱锥与阅台的高分别为和3.则此组合体的外接球

的表面枳是（）

A.B.D.

59.（2023・河南•校联考模拟预测）己知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为2,球的表面积为，则

此正四凌柱的底面边长为（）

A.1B.C.2D.

60.（2023•全国•校联考二模）在正四棱台人BCD-4BG。中，上、下底面边长分别为，该正四棱台的外接

球的表面积为，则该正四楼台的高为.

61.（2023•青海西宁•统考二模）已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底而距离

为，则（）

A.B.C.D.

62.（2023秋辽宁沈阳•高三沈阳二中校考期末）在正三棱柱A%?-A4G中，所有一凌长之和为定值，当正

三棱柱外接球的表面积取得最小值时，正三棱柱的侧面积为（）

A.12B.16C.24D.18

63.（2023•四川成都•石室中学校考模拟侦测）已知正三棱柱八EC-A与G所有顶点都在球。匕若球。的

体积为，则该正三棱柱体积的最大值为.

（二）几何体的内切球

64.【名诜】（2023•河北沧州•统考梯救预演I）下列关干三椅柱A8C-的命顾.正确的臬（）

A.任意直三棱柱ABC-AHG均有外接球

B.任意直三棱柱A8C-AMG均有内切球

c.若正三棱柱八8C-A4G有一个半径为的内切球，则该三棱柱的体积为

D.若五三棱柱ABC-A与G的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是克角三角形

65.【多选】（2023春・河北•高三校联考阶段练习）正三棱锥的底面边氏为3,高为，则下列结论正确的是

（）

A.

B.三枝锥的表面积为

C.三校锥的外接球的表面积为

D.三棱锥的内切球的表面积为

66.（2023•全国•高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2,高为，则该圆锥内切球的体积为（）

A.B.C.D.

67.（2023・全国•高三专题练习）已知圆锥的侧面展开图为半网，其内切球的体积为，则该圆锥的高为

68.（2023・全国•高三专题练习》如图，正四楂台ABCP-AqCa的上、下底面边长分别为2,2近,E.F.G,H

分别为A3,8C,CDZM的中点，8个顶点E.EG.H.构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面

积为.

考点九立体几何中的轨迹问题

69.（2023•河南・许昌实验中学校联考二模）在正三棱柱AAC-A8£中，，以的中点M为球心,4为半径

的球面与侧面的交线长为（）

A.2aB.3nC.4nD.8n

70.【名选】（2023•重庆・统考模拟预测）如图，正方体人BCO-4&C。'的棱长为4,W是侧面ADOH上

的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（）

A.沿E方体的表面从点4到点尸的最短距离为

B.保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为

C.若保持，则点的运动轨迹长度为

D.平面被正方体148co-A7TC7）‘截得截面为等腰梯形

71.【多选】（2023春•河南商丘•高三商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，正方体ABC。-A4GR的

棱长为3,动点在侧面内运动（含边界），且，则（）

A•点的轨迹长度为B.点的轨迹长度为

C.4W+8W的最小值为D.AW+8W的最小值为

72.（2023・湖北省直辖县级单位•统考模拟预测）已知正方体ABC。-A4GA的棱长为2,为棱的中点，

N为底面正方形八8C7）上一动点，且直线MN与底面4BCD所成的角为,则动点N的轨迹的长度为.

73.【多选】（浙江省北斗星盟2023届高三下学期5月联考数学试题）直三棱桂ABC-A4G中，

A8=8C=34=LA8_L8C,E为梭上的动点，为中点，则（）

A.

B.三棱锥的体积为定值

C.四面体的外接球表面积为

D.点的轨迹长度为

考点十立体几何中的最值问题

74.（2023・全国•高三专题练习）如图，正方体ABC。-A4GA的棱长为2,M是面内•动点，且，则OM+MC

的最小值为（）

75.（2023・全国•高三专题练习）如图，圆锥。的轴被而是一个面积为I的等腰直角三角形，C'为弧上的一

点，NCPB=450,七为线段上的动点，则CE+OE的最小值为（）

C

A.B.C.2D.

76.（2023•海南・海南华侨中学校考模拟预测）三楂锥中，平面，BDA.CD,若，，则该三棱推体积的最大

值为:

77.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）将一个底面半径为I,高为2的圆锥形工件

切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）

A.B.C.D.

78.（2023・河南•校联考模拟预测）已知四棱锥P-A4CD的底面是矩形，

人人8=2/,月4=尸/）,/人/>/）=120。.若四棱锥/>-A8。。的外接球的体积为，设是该球上的一动点，

则三棱维体积的最大值为（）

A.B.C.D.

考点33空间几何体的结构特征、宜.观图、表面积和体

积

9种常见考法归类

考点一空间几何体的结构特征（三）等体积法求体积

考点二空间图形的展开图问题（四）已知体积求其他量

考点三最短路径问题考点七空间几何体的截面问题

考点四立体图形的直观图考点八与球有关的切、接问题

考点五空间几何体的表面积<-）几何体的外接球

考点六空间几何体的体积<->几何体的内切球

（-）直接利用公式求体积考点九立体几何中的轨迹问题

考点十立体几何中的最值问题

（二）到补法求体积

I.棱柱、楂惟、棱台

棱柱楂银