2024年高考一轮复习精细讲义第17讲 动能定理及其应用(原卷版+解析)

第17讲动能定理及其应用

划重点之精细讲义系列

。要也考点3喜

考点一动能定理的理解和应用

一,动能

1.公式：以=5加2,式中。为瞬时速度，动能是状态量.

2.矢标性：动能是标量，只有正值，动能与速度的方向型.

3.动能的变化量：△瓜=%就一热凉

4.动能的相对性

由于速度具有相对性,则动能也具有相对性,一般以地面为参考系.

二.动能定埋

I.内容：合外力对物体所做的功等于物体功能的变化.

2.表达式：W=Afk=^mvi—^uwi.

3.功与动能的关系

(l)W>0,物体的动能增加.

(2)VV<0,物体的动能减少.

(3)W=0,物体的动能不变.

4.适用条件

(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动.

(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功.

(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用.

1.定理中“外力”的两点理解

(1)重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其他刀，它们可以同时作用，也可以不

同时作用.

(2)既可以是恒力，也可以是变力.

2.公式中“=”体现的三个关系

--------合力做功与动能变化具

〔数量关系卜、有等量代换的关系

单，关系卜、国际单位制中都是焦耳

「】合力做功是引起物体动

［因果关系H能变化的原因

3.应用动能定理的注意事项

（1）动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面

静止的物体为参考系.

（2）应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负.

（3）应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并

画出物体运动过程的草药，借助草图理解物理过程和分量关系.

国典例分缶

【典例1】光滑斜面上有一个小球自高为力的A处由静止开始滚下，抵达光滑水平

面上的B点时速度大小为的.光滑水平面上每隔相等的距离设置了一个与小球运动方向

垂直的活动阻挡条，如图所示，小球越过〃条活动阻挡条后停下来.若让小球从力高处

以初速度内滚下，则小球能越过的活动阻挡条的条数是（设小球每次越过活动阻挡条时

损失的动能相等）（）

A.nB.2〃

C.3〃D.4〃

【典例2】（多选）质量不等，但有相同动能的两个物体，在动摩擦因数相同的水平

地面上滑行，直至停止.则（）

A.质量大的物体滑行的距离大

B.质量小的物体滑行的距离大

C.它们滑行的距离一样大

D.它们克服摩擦刀所做的功一样多

【典例3】如图所示，质量为机的小球用长为乙的轻质细线悬于0点，与。点处

于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知0P=呆在A点给小球一个水平向

左的初速度如，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点8.求:

(1)小球到达8点时的速率；

(2)若不计空气阻力，则初速度如为多少；

(3)若初速度%=3aZ,则小球在从4到B的过程中克服空气阻力做了多少功?

就黑浅小

巨

⑴优先应用动能定理的问题

①不涉及加速度、时间的问题.

②有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题.

③变力做功的问题.

④含有「、I、机、“W、反等物理量的力学问题.

(2)应用动能定理的解题步骤

(

解

方

程

、

讨

论

结

果

〕

考点二动能定理与图象的综合问题

i.力学中图象所围“面积”的意义

aw”图：由公式可知，。“图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移.

(2)44图：由公式加=々可知，图线与坐标粕围成的面积表示物体速度的变化

量.

(3)F-x图：由公式W=&可知，广x图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功.

(4)P-/图：由公式可知，P”图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功.

2.解决物理图象问题的基本步骤

(I)观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理

意义.

(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式.

(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的

斜率、截距、图线的交点，图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题.或者利用

函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量.

目典例分言

【典例1】如图甲所示，一半径〃=1m、圆心角等于143。的竖直圆弧形光滑轨道,

与斜面相切丁6处，圆弧轨道的最高点为M,斜面倾角夕一37。/—0时刻有一物块沿

斜面上滑，其在斜面上运动的速度变化规律如图乙所示，若物块恰能到达M点，取g

=10m/s2,sin370=0.6,cos37°=0.8,求:

(1)物块经过M点的速度大小；

(2)物块经过4点的速度大小；

⑶物块与斜面间的动摩擦因数.

【典例2】A、8两物体分别在水平恒力Q和B的作用下沿水平面运动，先后撤去

入、仍后，两物体最终停下，它们的。-/图象如图所示.己知两物体与水平面间的滑动

摩擦力大小相等.则下列说法正确的是()

”0

()2/o3lot

A.Fi、尸2大小之比为1：2

B.Fi、&对A、方做功之比为1:2

C.4、B质量之比为2：1

D.全过程中A、8克服摩擦力做功之比为2：1

【典例3】打桩机是利用冲击力将桩贯入地层的桩工机械.某同学对打桩机的工作

原理产生了兴趣.他构建了一个打桩机的简易模型，如图甲所示.他设想，用恒定大小

的拉力尸拉动绳端8,使物体从4点(与钉子接触处)由静止开始运动，上升一段高度后

撤去立物体运动到最高点后自由下落并撞击钉子，将钉子打入一定深度.按此模型分

析，若物体质量〃?=1kg,上升了Im高度时撤去拉力，撤去拉力前物体的动能均与上

升高度"的关系图象如图乙所示.(g取IOm/s2,不计空气阻力)

00.20.40.60.81.0h/m00.20.40.60.81.0x/mm

乙丙

(1)求物体上升到0.4in高度处F的瞬时功率；

(2)若物体撞击钉子后瞬间弹起，且使其不再落下，钉子获得20J的动能向下运动.钉

子总长为10cm.撞击前涌入部分可以忽略，不计钉子重力.已知钉子在插入过程中所受

阻力R与深度上的关系图象如图丙所示，求钉子能够插入的最大深度.

巨敲黑板!”

动能定理与图象结合问题的分析方法

(1)首先看清楚所给图象的种类(如。”图象、R/图象、&-x图象等).

(2)挖掘图象的隐含条件——求出所需要的物理量，如由图象所包围的“面积”

求位移，由广x图象所包围的“面积”求功等.

（3）分析有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应的物理量.

考点三用动能定理解决多过程问题

1.对于多个物理过程要仔细分析，将复杂的过程分割成一个个子过程，分别对每个

过程进行分析•，得出每个过程遵循的规律，当每个过程都可以运用动能定理时，可以选

择分段或全程应用动能定理，题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、方

便.

2.全程应用动能定理解题求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情

况分别对待，弄清楚物体所受的力在哪段位移上做功，哪些力做功，做正功还是负功，

然后再正确写出总功。

3.对于物体运动过程中有往复运动的情况，物体所受的滑动摩擦力、空气阻力等大

小不变，方向发生变化，但在每一段上这类力均做负功，而且这类力所做的功等于力和

路程的乘积，与位移无关。若题目中涉及求解物体运动的路程或位置的变化，可利庄动

能定理求出摩擦力做的功，然后进一步确定物体运动的路程或位置的变化。

4.解题步骤

（1）选取研究对象，明确它的运动过程.

（2）分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：

受哪些力|一卜各力是否做功|一|做正功还是负历］一|做多少功|一

各力做功的代数而

（3）明确物体在过程的始末状态的动能Eki和EQ

（4）列出动能定理的方程卬合=反2-EH及其他必要的解题方程，进行求解.

【典例1】如图所示，用一块长心=1.0m的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高

”=0.8m,长L2=L5m.斜面与水平桌面的倾角。可在0〜60。间调节后固定.将质量

m=0.2kg的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数川=0.05,物块

与桌面间的动摩擦因数为偿，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失.（重力加速度

取g=10m*：最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

(1)求。角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑：(用正切值表示)

(2)当〃角增大到37。时，物块恰能停在臬面边缘，求物块与臬面间的动摩擦因数〃

(已知sin370=0.6,cos37°=0.8)

(3)继续增大。角，发现。=53。时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离Xm.

【典例2】如图所示，相同材料制成的滑道ABC,其中AB段为曲面，8c段为水平

面.现有质量为根的木块，从距离水平面〃高处的A点由静止释放，滑到8点过程中

克服摩擦力做功为!“0?;木块通过8点后继续滑行2〃距离后，在C点停下来，则木块

与曲面间的动摩擦因数应为()

1B.|

A.

3

D12

【典例3】我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一.如

图所示，质量加=60kg的运动员从长直助滑道48的A处由静止开始以加速度。=3.6

m/9匀加速滑下，到达助滑道末端区时速度加=24nVsM与B的竖直高度差H=48nr为

了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C

处附近是一段以。为圆心的圆弧.助滑道末端8与滑道最低点。的高度差力=5m,运

动员在B、。间运动时阻力做功W=-l53OJ,^10m/s2.

⑴求运动员在A8段下滑时受到阻力R的大小;

(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R

至少应为多大？

自敲黑靠山

利用动能定理求解多过程问题的基本思路

(1)弄清物体的运动由哪些过程组成.

(2)分析每个过程中物体的受力情况.

(3)各个力做功菊何特点，对动能的变化有无影响.

(4)从总体上把握全过程，表达出总功，找出初、末状态的动能.

(5)对所研究的全过程运用动能定理列方程.

现国缚习

，基础篇

1.(多选)关于动能定理的表达式卬=反2一反1，下列说法正确的是()

A.公式中的W为不包含重力的其他力做的总功

B.公式中的W为包含重力在内的所有力做的功，也可通过以下两种方式计算：先

求每个力的功再求功的代数和或先求合外力再求合外力的功

C.公式中的Em—EH为动能的增量，当W>0时动能增加，当WVO时，动能减

少

D.动能定理适用7直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用

于变力做功

2.如图所示，A3易圆弧轨道，3c为水平直轨道，圆弧对应的圆的半径为兄BC

的长度也是R,一质量为机的物体与两个轨道间的动摩擦因数都为〃，当它由轨道顶端

A从静止开始下落，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为

()

刀〃力〃〃〃/小〃〃

BC

B.3mgR

R

C.mgRD.（［一

3.一个质量为〃？的物体静止放在光滑水平面上，在互成60。角的大小相等的两个

水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为小在力的方向上获得的速度分别

为功、虫，如图所示，那么在这段时间内，其中一个力做的功为（）

「1，

C^mv-

4.如图所示，一块长木板8放在光滑的水平面上，在B上放一物体A,现以恒定

的外力拉比由于A、6间摩擦力的作用，A将在3上滑动，以地面为参考系，A、3都

向前移动一段距离.在此过程中（）

A.外力/做的功等于人和8动能的增量

B.8对A的摩擦力所做的功，等于A的动能增量

C.A对8的摩擦力所做的功，等于8对A的摩擦力所做的功

D.外力F对B做的功等于B的动能的增量

5.（多选）如图甲所示，一个小环沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动.小环从

最高点A滑到最低点B的过程中，小环线速度大小的平方浮随下落高度h的变化图象

可能是图乙中的（）

6.如图所示，半径R=2.5m的光滑半圆轨道48C与倾角。=37。的粗糙斜面轨道

。。相切于C点，半圆凯道的直径AC与斜面垂直.质量加=1kg的小球从A点左上方

距A点高力=0.45m的尸点以某一速度如水平抛出，刚好与半圆轨道的A点相切进入

半圆轨道内侧，之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与抛出点等高的。点.已知当地的重

力加速度g=I0m/s2,sin370=0.6,cos370=0.8,不计空气阻力,求：

（I）小球从P点抛出时速度比的大小；

（2）小球从C点运动到D点过程中摩擦力做的功V/；

⑶小球从D点返回经过轨道最低点B,对轨道的压力大小.

7.一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔/内位移为s,动能变为

原来的9倍.该质点的加速度为（）

8.如图所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与

相切的圆弧，/3C是水平的，其距离d=0.50m.盆边缘的高度为"=0.30m.在A

处放一个质量为小的小物块并让其从静止开始下滑.已知盆内侧壁是光滑的，而盆底

8c面与小物块间的动摩擦因数为“=0.10.小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停

的地点到4的距离为（）

A.0.50mB.0.25m

C.0.10mD.0

9.小球尸和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，?球的质量大于Q球的质量,

悬挂尸球的绳比悬挂Q球的绳短.将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示.将

两球由静止释放，在各自轨迹的最低点（）

----OpIOQ

A.P球的速度一定大于Q球的速度

B.。球的动能一定小于Q球的动能

C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力

D.P球的向心加速度一定小于。球的向心加速度

10.用水平力尸拉一物体，使物体在水平地面上由静止开始做匀加速直线运动，力

时刻撤去拉力3物体做匀减速直线运动，到12时刻停上，具速度一时间图象如图所示,

且〃＞夕，若拉力尸做的功为1%,平均功率为物体克服摩擦阻力R做的功为1%,

平均功率为2,则下列选项正确的是（）

A.W>W2，F=2FfB.I%=W2，F>2F(

=

C.P1VP2，F>2Ft-D.Pi=P：,F2Ff

11.（多选）如图所示，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径

的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦

力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为小容

器对它的支持力大小为N,则（

2(nigR-\V)

7°=―赢—

3ingR~2W2(/叫R—W)

C.N=RD.N=R

12.（多选）如图所示，以O为原点在竖直面内建立平面直角坐标系：第团象限挡板

形状满足方程（单位：m）,小球从第团象限内半径为0.5m的四分之一光滑圆

弧轨道某处由静止释放,通过。点后开始做平抛运动，击中挡板上的P点时速度最小，

取重力加速度大小lOm/s?,下列说法正确的是（）

B.小球经过。点时的速度大小为3m/s

C.小球击中0点时的速度大小为5m/s

D.小球经过。点时对轨道的压力等于自身所受重力的3倍

13.（多选）如图所示，在竖直平面内有一粗糙程度处处相同的轨道，由水平A8和

四分之一圆弧8c两部分相切构成。一质量为〃%的物块从轨道4B上的P点以水平速度

%向左运动，恰好到达C点，而后又刚好滑回到P点。若换成质量为加、材料相同的物

块，仍从P点以水平速度%向左运动，物块均可视为质点，则（）

C

B.若/,则物块能越过。点向上运动

C.无论机多大，物块均能滑回到2点

D.质量为人的物块沿轨道向左、向右滑行过程中因摩擦产生的热量相等

14.（多选）如图为某商家为吸引顾客设计的趣味游戏。4块相同木板4、〃、服d

紧挨着放在水平地面上。某顾客使小滑块（可视为质点）以某一水平初速度从。的左端

滑上木板，若滑块分别停在。、b、C、/上，则分别获得四、三、二、一等奖，若滑离

木板则不得奖。已知每块木板的长度为L、质量为〃?，木板下表面与地面间的动摩擦因

数均为〃，滑块质量为"=2加，滑块与木板。、力、ad上表面间的动摩擦因数分别为

〃、2〃、2〃、4〃，重力加速度大小为g,最大静摩擦力与滑动摩擦力视为相等，下

列说法正确的是（）

%

---------►

77777777777777777777777777777^

A.若木板全部固定于地面，要想获奖，滑块初速度%W3同正

B.若木板不固定，顾客获四等奖，滑块初速度的最大值%=必

C.若木板不固定，滑块初速度为9=3向Z,顾客获三等奖

D.若木板不固定，顾客获得一等奖，因摩擦产生的总热量田

15.为登月探测月球，上海航天局研制了"月球车"。某探究性学习小组对“月球车”

的性能进行研究。他们让“月球车”在水平地面上由静止开始运动，并将“月球车”运动的

全过程记录下来，通过数据处理得到如图所示的-T图像，已知。~乙段为过原点的项

斜直线；4~10s内“月球车”牵引力的功率保持与4时刻相同不变,且P=1.2kW：7ros

段为平行于横轴的直线：在10s末停止遥控，让〃月球车〃自由滑行，整个过程中“月球车〃

受到的阻力大小不变。下列说法错误的是()

A.月球车受到的阻力为200N

B.月球车的质量为100kg

C.月球车在乙~7s内运动的路程为24.75m

D.全过程牵引力对月球车做的总功为1.11xIO'j

16.在竖直平面内固定一轨道ABCO,AB段水平放置，长为4m,BC。段弯肝且

光滑；一质量为1.0kg、可视作质点的圆环套在轨道上，圆环与轨道AB段之间的动摩

擦因数为05建立如图所示的直角坐标系，圆环在沿工轴正方向的恒力〃作用下，从小一

7,2)点由静止开始运动，到达原点O时撤去恒力尸，圆环从0(0,0)点水平飞出后经过0(6,3)

点.重力加速度g取lUmH,不计空气阻力.求：

(1)圆环到达。点时的速度大小;

⑵恒力尸的大小；

(3)圆环在AB段运动的时间.

17.如图所示，点P在水面上方力高处，水缸的缸口离水面距离为“，缸口的圆心

为0、半径为几点P到缸口的水平距离为so。在过。点的竖直平面内，质量为阳的

小球从尸点以不同初速度水平抛出，在下落到缸口高度前均能达到稳定状态。已知小球

在水中运动过程中受到的浮力恒为F,受到水的粘滞阻力/与速度I，的关系为六公（比

例系数上已知），方向与速度方向相反。不计空气阻力和缸口厚度，重力加速度为S

（1）求小球从被抛出后运动到水面过程中，重力做次的平均功率P;

（2）小球平抛的初速度为盯时，从0点进入缸内，求小球运动到。点的过程中克服粘

滞阻力做的功W：

（3）要使小球能落到缸中，求平抛初速度用的范围。

18.某传送装置的示意图如图1所示，整个装置由三部分组成，左侧为•倾斜直轨

道，其顶端距离传送带平面的高度。-2.5m,其水平长度3.5m。中间是传送带其

两轴心间距a=8m（传送带向右匀速传动，其速度I，大小可调），其右端为水平放置的

圆盘。各连接处均在同一高度平滑对接。一质量为机=1kg的物块从倾斜直轨道的顶端

由静止释放，物块经过传送带运动到圆盘上而后水平抛出，其中物块在圆盘上的运动轨

迹为如图2中所示圆盘旃视图中的实线CQ,水平圆盘的半径为5m,圆盘距离地面高

度用二1.25m物块与倾斜直轨道和传送带间的动摩擦因数均为丛=0.2,与圆盘间的动摩

擦因数外=0.5,取重力加速度大小g=10m/s2。

（1）若v=4m/s,求物块通过水平传送带所需的时间f；

（2）改变传送带的速度-大小和方向，求物块从传送带右侧滑出时的速度％大小的范

国；

（3）若u=8m/s向右，物块沿弦CD滑离圆盘，C。与过C点的直径夹角为凡求物块

滑离圆盘落地时，落地点到C的水平距离最大时对应的cos。值（保留2位有效数字）

图1图2

19.某种弹射装置如图所示，左端固定的轻弹簧处于压缩状态且锁定，弹簧具有的

弹性势能E>9J,质量〃厂2kg的滑块静止于弹簧右端，光滑水平轨道的右端与倾侑

仇:30。的传送带平滑连接，传送带长度L=12m,传送带以恒定速率vo=8m/s顺时针转动。

某时刻解除锁定，滑块被弹簧弹射后滑上传送带，并从传送带顶端滑离落至地面。已知

滑块与传送带之间的动摩擦因数〃=与，轻弹簧的自然长度小于水平轨道AB的长度且

滑块可视为质点，重力如速度g取10m/s<

（1）求解除锁定后，滑块被弹簧弹出后的速度大小；

（2）求滑块在传送带上运动的过程中，摩擦力对滑块做的功W;

（3）求由于传送滑块电动机多消耗的电能氏

（4）若每次开始时弹簧装置具有不同的弹性势能耳，要使滑块滑离传送带后总能落至

地面上的同一位置，求耳的取值范围。

20.如图所示，光滑半圆形轨道/W竖直固定放置，轨道半径为A（可调节），轨道

最高点A处有一弹射装置，最低点8处与放在光滑水平面上足够长的木板。上表面处

于同一高度，木板左侧x处有一固定挡板C（x未知）。可视为质点的物块。压缩弹射装

置中的弹簧，使弹簧具有弹性势能号，户从A处被弹出后沿轨道运动到8处时的速度

大小始终为匕=6m/s；己知产的质量〃?=lkg,。的质量M=2kg,P、Q间的动摩擦

因数〃=0.3,。与C之间的碰撞为弹性碰撞，忽略空气阻力，重力加速度g=10m/s\

（1）若P恰好不脱离轨道，求轨道半径R的值；

（2）若尸始终不脱离轨道，写出弹性势能J与R的关系式，并指出R的取值范围；

（3）若Q与。恰好发生〃次碰撞后静止，求x的值。

第17讲动能定理及其应用

划重点之精细讲义系列

。要争考点制吊

考点一动能定理的理解和应用

一•动能

1.公式：反=/"，2,式中〃为瞬时速度，动能是状态量.

2.矢标性：动能是标量,只有正值，动能与速度的方向无关.

3.动能的变化量：AEk=%加一＞忧

4.动能的相对性

由于速度具有相对性,则动能也具有相对性,一般以地面为参考系.

二.动能定理

1.内容：合外力对物体所做的功等于物体动熊的变化.

表达式：W=AEk=5〃加一/〃间.

3.功与动能的关系

(l)VV＞0,物体的动能增加.

(2)卬＜0,物体的动能减少.

(3)W=0,物体的动能不变.

4.适用条件

(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动.

(2)既适用于•恒力做功，也适用「变力做功.

(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用.

划重点

1.定理中“外力”的两点理解

(1)重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同

时作用.

(2)既可以是恒力，也可以是变力.

2.公式中“=”体现的三个关系

--------合力做功与动能变化具

〔数量关系卜、有等量代换的关系

单，关系卜、国际单位制中都是焦耳

।,合力做功是引起物体动

［因果关系H能变化的原因

3.应用动能定理的注意事项

(I)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静

止的物体为参考系.

(2)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负.

(3)应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画

出物体运动过程的草图，借助草图理解物理过程和各量关系.

目典例分市

【典例I］光滑斜面上有个小球自高为h的A处由静止开始滚下，抵达光滑水平面上

的B点时速度大小为m先滑水平面上每隔相等的距离设置了一个与小球运动方向垂直的活

动阻挡条，如图所示，小球越过〃条活动阻挡条后停下来.若让小球从力高处以初速度加

滚下，则小球能越过的活动阻挡条的条数是(设小球每次越过活动阻挡条时损失的动能相

A.nB.2〃

C.3〃D.4/7

解析：选B.设每条阻挡条对小球做的功为W,当小球在水平面上滚动时，由动能定理

得〃W=0-,对第二次有NW=0—*加=0—+，〃")，又因为=mgh,联立

解得N=2n,选项B正确.

【典例2】(多选)质量不等，但有相同动能的两个物体，在动摩擦因数相同的水平地面

上滑行，直至停止，贝1」()

A.质量大的物体滑行的距离大

B.质量小的物体滑行的距离大

C.它们滑行的距离一样大

D.它们克服摩擦力所做的功一样多

解析：选BD.由功能定理可知，摩擦力对物体所做的功等于物体动能的增量，因两物体

具有相同的动能，故两物沐滑行过程中克服摩擦力所做的功也相同，又Wf="〃?g"可知，质

量越大的物体，滑行的距离x越小，故B、D选项正确.

【典例3】如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与。点处于同

一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知OP=/在A点给小球一个水平向左的初速

度如，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点8.求：

/,I

t.

：卞40

\L

(1)小球到达4点时的速率；

(2)若不计空气阻力，则初速度加为多少；

(3)若初速度加=3位，则小球在从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？

解析：(1)小球恰能到达最高点5,由牛顿笫二定律得

vi

"吆="7

2

(2)若不计空气阻力，从A-B由动能定理得

—m

解得v0=

(3)当即=3*7时，由动能定理得

-m.WFi=^nvl-^fnvi

⑶孕3

售)敲黑根山

⑴优先应用动能定理的问题

①不涉及加速度、时间的问题.

②有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题.

③变力做功的问题.

④含有R/、〃I、“W、反等物理量的力学问题.

(2)应用动能定理的解题步骤

(

解

方

分阶段或程

、

全过程列讨

方程论

结

果

〕

考点二动能定理与图象的综合问题

1.力学中图象所围“面积”的意义

(1)。“图：由公式“="可知，。“图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移.

(2)〃-/图：由公式A0=a/可知，图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量.

(3)F-x图：由公式W=&可知，/-x图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功.

(4)P“图：由公式W=A可知，P”图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功.

2.解决物理图象问题的基本步骤

(I)观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意

义.

(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式.

(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜

率、截距、图线的交点，图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题.或者利用函数图

线上的特定值代入函数关系式求物理量.

【典例1】如图甲所示，一半径R=1m、圆心角等于143。的竖直圆弧形光滑轨道，与

斜面相切于8处，圆弧轨道的最高点为"，斜面倾角。=37。，/=0时刻有一物块沿斜面上

滑，其在斜面上运动的速度变化规律如图乙所示，若物块恰能到达M点，取g=10m/Csin

37°=0.6,cos37°=0.8,求：

0.8

甲乙

(1)物块经过M点的速度大小；

(2)物块经过B点的速度大小；

(3)物块与斜面间的动摩擦因数.

2

解析⑴物块恰能到达M点则有mg=

解得VM=y[gR=y[\()m/s

(2)物块从8点运动到M点的过程中，由动能定理律

一+cos

解得YB=A/46m/s

(3)由题图乙可知，物块在斜面上运动时，加速度大小为〃=*=10m/s\方向沿斜面

向下，有

/〃gsin37°+〃〃?gcos31°=ma

解得〃=05

答案(1)710m/s(2)746m/s(3)0.5

【典例2】A、B两物体分别在水平恒力Fi和F2的作用下沿水平面运动，先后撤去H、

B后，两物体最终停下，它们的。“图象如图所示.已知两物体与水平面间的滑动摩擦力大

小相等.则下列说法正确的是()

A.一I、尸2大小之比为1：2

B.Q、@对A、8做功之比为1:2

C.4、8质量之比为2：1

D.全过程中A、8克服摩擦力做功之比为2：1

解析：选C.由速度与时间图象可知，两个匀减速运动的加速度之比为1：2,由牛顿第

二定律可知：A、8受摩擦力大小相等，所以A、8的质量关系是2：1,由速度与时间图象

可知，4、B两物体加速与减速的位移相等，且匀加速运动位移之比I：2,匀减速运动的位

移之比2：1,由动能定理可得：A物体的拉力与摩擦力的关系，Fr.r-/i-3x=0-0：8物体

3

的拉力与摩擦力的关系，F2-2X-^-3X=0-0,因此可得：凡="，&=弘，力=及，所以为

=2&.全过程中摩擦力对A、B做功相等，尸|、出对人、8做功大小相等.故A、B、D错误，

C正确.

【典例3】打桩机是利用冲击力将桩贯入地层的桩工机械.某同学对打桩机的工作原理

产生了兴趣.他构建了一个打桩机的简易模型，如图甲所示.他设想，用恒定大小的拉力产

拉动绳端从使物体从A点(与钉子接触处)由静止开始运动，上升•段高度后撤去用物体

运动到最高点后自由下落并撞击钉子，将钉子打入一定深度.按此模型分析，若物体质量〃?

=1kg,上升了1m高度时撤去拉力，撤去拉力前物体的动能反与上升高度力的关系图象

如图乙所示.(g取lOm/s2,不计空气阻力)

00.20.40.60.81.0him00.20.40.60.81.0x/mm

乙丙

(1)求物体上升到0.4m高度处F的瞬时功率；

(2)若物体撞击钉子后瞬间弹起，且使其不再落下，钉子获得20J的动能向下运动.钉

子总长为10cm.撞击前插入部分可以忽略，不计钉子重力.已知钉子在插入过程中所受阻力

Ff与深度x的关系图象如图丙所示，求钉子能够插入的最大深度.

解析：(1)撤去小前，根据动能定理，有

(F-mg)h=Ek-()

由题图乙得，斜率为4=/一〃次=20N得

F=30N

又由题图乙得，"=0.4m时，£k=8J,则9=4m/s

P=Fr=120W

/

(2)碰撞后，对钉子有一垃J=0-Ek

已知以'=20J

又由题图丙得/=105N/m

解得』=0.02m

答案：⑴120W(2)0.02m

巨鼓黑浅”

动能定理与图象结合问题的分析方法

（1）首先看清楚所给图象的种类（如IM图象、足/图象、Ek-x图象等）.

（2）挖掘图象的隐含条件——求出所需要的物理量，如由。“图象所包围的“面积”求位

移，由广工图象所包围的“面积”求功等.

（3）分析有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应的物理量.

考点二用动能定埋解决多过程问题

1.对于多个物理过程要仔细分析，将复杂的过程分割成一个个子过程，分别对每个过程

进行分析•，得出每个过程遵循的规律，当每个过程都可以运用动能定理时，可以选择分段

或全程应用动能定理，题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、方便.

2.全程应用动能定理解题求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分

别对待，弄清楚物体所受的力在哪段位移上做功，哪些力做功，做正功还是负功，然后再正

确写出总功。

3.对于物体运动过程中有往复运动的情况，物体所受的滑动摩擦力、空气阻力等大小

不变，方向发生变化，但在每一段上这类力均做负功，而且这类力所做的功等于力和路程

的乘积，与位移无关。若题目中涉及求解物体运动的路程或位置的变化，可利用动能定理求

出摩擦力做的功，然后进一步确定物体运动的路程或位置•的变化。

4.解题步骤

（1）选取研究对象，明确它的运动过程.

（2）分析研究对象的受力情况和各方的做功情况：

受哪些力一各力是否做功一做正功还是负功一做多少功一

各力做功的代数和

（3）明确物体在过程的始末状态的动能Er和民2.

（4）列出动能定理的方程1〃合=反2一七眉及其他必要的解题方程，进行求解.

【典例1】如图所示，用一块长心=1.0m的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H=

0.8m,长7,2=1.5m.斜面与水平桌面的倾角。可在。〜60。间调节后固定.将质量加=Q2kg

的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数川=0.05,物块与桌面间的动摩

擦因数为〃2,忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失.（重力加速度取g=10m/s2；最大

静摩擦力等于滑动摩擦力）

(I)求。角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；【用正切值表示)

(2)当。角增大到37。时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数〃2；(已

知sin370=0.6,cos37°=0.8)

(3)继续增大，角，发现。=53。时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离皿.

解析(I)为使小物块下滑，应有

mgsin夕》〃i，〃gcos6KL1

0满足的条件tan920.05②

即当6>=arctan0.05时物块恰好从斜面开始下滑.

(2)克服摩擦力做功

Wt—fi\mgL\cos0I叫(乙2Ljcos0)③

由动能定理得mgLisn〃-1%=0④

代入数据得"2=0.8⑤

⑶由动能定理得mgL\sin0—⑥

结合③式并代入数据得v=\m/s⑦

由平抛运动规律得〃=]g/2,X\=Vl

解得/=0.4s⑧

Xi=0.4in©

=

xm=Ai+L21.9m

答案(l)arctan0.05(2)0.8(3)1.9m

【典例2】如图所示，相同材料制成的滑道ABC,其中48段为曲面，AC段为水平面.现

有质量为机的木块，从距离水平面/?高处的A点由静止释放，滑到8点过程中克服摩擦力

做功为!，田人：木块通过4点后继续滑行2人距离后，在。点停卜.来，则木块与曲面间的动摩

B.|

A-3

DA

解析：选A.物体从4点到C点根据动能定理，mgh-^mgh—/img-2h=0,解得〃=；,

因为曲面和水平轨道是同种材料，所以木块与曲面间的动摩擦因数也为看选项A正确.

【典例3］我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一.如

图所示，质量加=60kg的运动员从长直助滑道48的A处由静止开始以加速度。=3.6m/s2

匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度助=24m/s,A与3的竖直高度差H=48m.为了改

变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近

是一段以。为圆心的圆弧.助滑道末端8与滑道最低点C的高度差力=5m,运动员在B、

。间运动时阻力做功卬=-1530J,JR10m/s2.

起跳台

(I)求运动员在A4段下滑时受到阻力R的大小；

(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则。点所在圆弧的半径R至少

应为多大？

解析：(1)运动员在AB段做初速度为零的匀加速运动，设A6的长度为x,

则有vi=2ax®

由牛顿第二定律有"与一F(=ma®

联立①②式，代入数据解得R=144N③

(2)设运动员到达。点时的速度为。c,在由4到达C的过程中，由动能定理有

mgh+欣一

设运动员在。点所受的支持力为Fk,由牛顿第二定律有

F^—ing=nr^®

由运动员能够承受的最大出力为其所受重力的6倍，联工④⑤式，代人数据解得R=)2.5

答案：(1)144N(2)12.5m

敲黑板!”

利用动能定理求解多过程问题的基本思路

(1)弄清物体的运动由哪些过程组成.

(2)分析每个过程中物体的受力情况.

(3)各个力做功有何特点，对动能的变化有无影响.

(4)从总体上把握全过程，表达出总功，找出初、末状态的动能.

(5)对所研究的全过程运用动能定理列方程.

e

w基础篇

1.(多选)关于动能定理的表达式卬=反2一4”下列说法正确的是()

A.公式中的W为不包含重力的其他力做的总功

B.公式中的W为包含重力在内的所有力做的功，也可通过以下两种方式计算：先求每

个力的功再求功的代数和或先求合外力再求合外力的功

C.公式中的反2—以为动能的增量，当w>()时动能增加，当卬<0时，动能减少

D.动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变

力做功

解析：选BC.公式卬=以2一国中的“四为所有力所做的总功，A错误，B正确；若W

>0,则反2>反|,若WV0,则Ek2〈Eki,C正确；动能定理对直线运动、曲线运动、恒力

做功、变力做功均适用，D错误.

2.如图所示，A4为;圆弧轨道，4c为水平直轨道.圆弧对应的圆的半径为R,5c的

长度也是R,一质量为〃?的物体与两个轨道间的动摩擦因数都为〃，当它由轨道顶端人从静

止开始下落，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为()

BC

C.mgRD.(1

解析：选D.由题意可知mgR=WIBC,W(Bc=^ngR,所以VVMB=(1—gi)mgR,D正

确.

3.一个质量为〃7的物体静止放在光滑水