2024年高考一轮复习精细讲义第15讲 万有引力与航天(原卷版+解析)

第15讲万有引力与航天

划重点之精细讲义系列

。要也考点3喜

考点一天体质量和密度的估算

开普勒行星运动定律

定律内容图示

所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳

开普勒第一定律

处在椭圆的一个焦点上

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相

开普勒第二定律

笔的时间内扫过相等的面积e

所有行星的轨道的半长轴的二次方跟它的

开普勒第三定律

公转周期的二次方的比值都相等.泉火桂阳

二.万有引力定律

1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，弓力的方向在它们的连线上，引力

的大小与物体的质量皿和〃?2的乘积成正比,与它们之间距离的平方成反比.

2.公式：尸=染詈,其中G=6.67X10”N-m2/kg2.

3.适用条件

公式适用于质点、间的相互作用.当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体

可视为质点；均匀的球体可视为质点，「是球心间的距离;对一个均匀球体与球外一个

质点的万有引力的求解也适用，其中，•为球心到质点间的距离.

划重点

1.解决天体(卫星)运动问题的基本思路

(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即

V2,4712r

man~"7=〃?orr=in.

(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即嫖=〃运依表示天

体表面的重力加速度).

2.天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

由于。鬻=/咫，故天体质量M=哈，

天体密度尸&=费=磊.

（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期7和轨道半径r.

①由万有引力等于向心力，即堂="芳〃得出中心天体质量”=瘵；

②若已知天体半径R,则天体的平均密度

MM3jr?

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径一等于天体半径

R,则天体密度〃=券.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期7,就可估算出中

心天体的密度.

【典例1】（多选）通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量.假设卫星绕

冥王星做匀速圆周运动.除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的

质量.这两个物理量可以是（）

A.卫星的速度和角速度

B.卫星的质量和轨道半径

C.卫星的质量和角速度

D.卫星的运行周期和轨道半径

【典例2】假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极

的大小为go,在赤道的大小为g;地球自转的周期为7,引力常量为G.地球的密度为（）

3兀go-g3兀虫）

GT-goGT-go—g

J2Ln—

1r,GFg

【典例3】过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg

b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51pegb"绕其中心恒星做匀速圆周运动，

周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的虫.该中心恒星与太阳的质量比约

为（）

A.=B.1

C.5D.10

巨敲黑根匹

解决天体质量和密度的估算问题的两点注意

(1)卫星的轨道半径与中心天体的半径不要混淆，只有近地卫星的轨道半径才近似等

于天体半径.

(2)搞清“以谁为研究对象，谁是中心天体”、“受力特点”、“谁做圆周运动”等，

明确一般只能求解中心天体的质量和密度，不能求解环绕天体的质量和密度.

。要也考点M善

考点二卫星的运行规律

1.卫星的运行规律

(I)卫星做匀速圆周运动.

(2)万有引力提供向心力：即由0^=/*7=〃?/32="普厂=小用可推导出:

2.同步卫星的六个,'一定”

轨道平面与赤道平面共面

与地球自转周期相同，即7=24h

与地球自转的角速度相同

「由G赢5等(RM)得

还三)问:卫星离地面的商度

微恒量)

返还心号)与地球自转的方向一致

3.三种宇宙速度

宇宙速度数值(km/s)意义

是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫

第一宇宙速度

7.9星绕地球做圆周运动的最大运行速度.

（环绕速度）

第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.

11.2

（脱离速度）

第三宇宙速度

16.7使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.

（逃逸速度）

【典例1】（多选）如图所示，P、Q是质量均为犷的两个质点，分别置于地球表面

的不同纬度上，如果把池球看成一个均匀球体，P、。两质点随地球自转做匀速圆启运

动，则下列说法正确的是（）

A.P、Q受地球引力大小相等

B.P、Q做圆周运动的向心力大小相等

C.P、。做圆周运动的角速度大小相等

D.尸受地球引力大于Q所受地球引力

【典例2】如图，若两颗人造卫星。和〃均绕地球做匀速圆周运动，八人到地心0

的距离分别为r、冷,线速度大小分别为功、3,则（）

【典例3】国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4

月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨

道近地点高度约为440km,远地点高度约为2060km；1984年4月8日成功发射的东

方红二号卫星运行在赤道上空35786km的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的

加速度为3,东方红二号的加速度为俏，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度

为“3，则"I、。2、。3的大小关系为（）

A.。2>41>々3B.

C.D.

【典例4】假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，己知地球到太阳的距离小于

火星到太阳的距离，那么（）

A.地球公转的周期大于火星公转的周期

B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度

C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度

D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度

【典例5】（多选）在圆轨道上运动的质量为机的人造地球卫星，它到地面的距贸等

于地球半径R,地面上的重力加速度为g,忽略地球自转影响，则（）

A.卫星运动的速度大小为，荻

B.卫星运动的周期为47r栏

C.卫星运动的向心加速度大小为上

D.卫星轨道处的直力加速度为为

人造卫星问题的解题技巧

（1）卫星向心加速度的不同表述形式.

①^

②4=n?=，心=爷V.

（2）解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿

第二定律.

①卫星的出、”①、7是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生

变化.

②/、“co、丁均与卫星的质量无关，只由轨道半径「和中心天体质量共同决定.

，■出当点剖析

考点三航天器的变轨问题

1.卫星轨道的渐变：当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向

心力，卫星将做变轨运行.

⑴当卫星的速度逐渐增加时，尊＜〃,，即万有引力不足以提供向心力，卫星将

做离心运动，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由。=、恃可知其运

行速度比原轨道时减小.

2

⑵当卫星的速度逐渐减小时，C誓〉〃;，即万用引力大于所需要的向心力，卫星

将做近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v=、怦可知其

运行速度比原轨道时增大.

2.卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行

器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道.如图所示，发射同步卫

星时，可以分多过程完成：

(1)先将卫星发送到近地轨道I.

(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为％,变轨时在P点点火加速，短时间内将

速率由S增加到S,使卫星进入椭圆形的转移轨道II.

(3)卫星运行到远地点Q时的速率为。3,此时进行第二次点火加速，在短时间内将

速率由。3增加到内，使卫星进入同步轨道川，绕地球做匀速圆周运动.

国典例分局

【典例1】(多选)我国已先后成功发射了“天宫一号”飞行器和“神舟八号”飞船,

并成功地进行了对接试脸，若“天宫一号”能在离地面约300km高的圆轨道上正常运

行，则下列说法中正确的是()

A.“天宫一号”的发射速度应大于第二宇宙速度

B.对接前，“神舟八号”欲追上“天宫一号”，必须在同一轨道上点火加速

C,对接时，“神舟八号”与“天宫一号”的加速度大小相等

D.对接后，“天宫一号”的速度小于第一宇宙速度

【典例2］我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船

与“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,

为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（）

A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对

接

B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对

接

C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室，

两者速度接近时实现对接

D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室,

两者速度接近时实现对接

【典例2】（多选）如图为嫦娥三号登月轨迹示意图.图中M点为环地球运行的近地

点，N点为环月球运行的近月点.a为环月球运行的圆轨道，人为环月球运行的椭偃轨

道，下列说法中正确的是（）

A.嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2km/s

B.嫦娥三号在M点进入地月转移轨道时应点火加速

C.设嫦娥三号在国轨道。上经过N点时的加速度为n，在椭圆轨道〃上经过N点

时的加速度为S，则CI|>42

D.嫦娥三号在圆轨道。上的机械能小于在椭圆轨道6上的机械能

【典例3】（多选）目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中，些卫

星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小.若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只

受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是（）

A.卫星的动能逐渐减小

B.由于地球引力做正功，引力势能一定减小

C.由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变

D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小

自蟀塞MWHI

航天器变轨问题的三点注意事项

(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在

新轨道上的运行速度变化由。=、/半判断.

(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大.

(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速

度.

。显出考点8d揖

考点四天体运动中的“多星”问题

“多星”模型

1.双星系统

(1)双星做匀速圆周运动向心力的来源

双星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，其向心力由两颗星间的万有引力提供。

(2)双星做匀速圆周运动的运动参量关系

两星的运动周期和角速度是相等的，线速度与各自的轨道半径成正比。

(3)双星做圆周运动的动力学关系设双星相距L,质量分别为Mi和Mz,线速度分

别为VI和v?,机道半径分别为ri和r?,共同运动的周期为T、角速度为3,如图所示。

对于这两星，由万有引力定律和向心力公式分别有

V2

「MMA/l2w4/

=M^=Mrco=Mr—

G-T22222

其中ri+r2=Lo

因此，在求解双星问题时，要注意弄清双星各自的轨道半径，切勿与两星之间的距

离相混淆。

(4)几个基本结论(建议自行推导)

①轨道半径：6=」^—L,r,=—四一L

/W,+M2~M+%

②星体…产联场二空

4万2心3

④系统质量：M==一

GT-

L

④星体周期：T=2E

G(陷十%)

2.三星系统

宇宙中存在一些离其他恒星较远(可忽略其他星体对它们的引力作用)的三颗星组

成的三星系统。已观测到稳定的三星系统主要有两种基本的构成形式：一种是三颗星位

于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种是三颗星位

于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运动。如图所示(设每

颗星体的质量均为m)。

(1)对第一种形式中A而言，B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力,

m士厂"2厂n2九、>

则不G-7+G------7=mR.(——)-

R；(2/?,)21T

(2)对第二种形式中A而言，B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力,

则有

22

Gacos30。+G<cos30°=mR、(―)2这里r=2Rcos300。

r~r~-T

目共例分东

【典例1】经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两

颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一

般远离其他天体.两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的0

点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的跣离为L,质量之比为即：加2=3：

2.则可知()

A.孙、〃?2做圆周运动的角速度之比为2：3

口.〃八、〃，2做圆周运动的线速度之比为3：2

2

C.做圆周运动的半径为

2

D.〃?2做圆周运动的半役为千

【典例2】（多选）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的匹星

系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.设四星系统中每个星体的质量均为机,

半径均为R,四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上，其中L远大于R.已知

万有引力常量为G,忽咯星体自转效应，则关于四星系统，下列说法正确的是（）

A.四颗星做圆周运动的轨道半径均为方

D.四颗星做圆周运动的线速度均为［等（2+乎）

C.四颗星做圆周运动的周期均为2nJ（4+苇）G〃

D.四颗星表面的囱力加速度均为唠

e尔因绰习

0基础篇

i.下列说法正确的是（）

A.万有引力定律是开普勒发现的，而引力常最是伽利略测定的

B.尸=8警中的G是一个比例常数，是没有单位的

C.万有引力定律适用于任意质点间的相互作用

D.万有引力定律不适用于地面上的物体

2.海王星有13颗已知的天然卫星.现认为“海卫二”绕海王星沿圆轨道匀速运转,

已知海卫二的质量为2.0Xl（）i9kg,轨道半径为5.5X106km,运行的周期为360天，万

有引力常量G=6.67X10—"N-m2/kg2.则海王星的质量大约为（）

A.1.0X10"kgB.1.0X1026kg

C.2.0XIO11kgD.2.0X10l9kg

3.关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（）

A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律

B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律

4.利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电

通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周期变

小，若仍仅用三颗同步卫星来实现.上述目的，则地球自转周期的最小值约为（）

A.1hB.4h

C.8hD.I6h

5.北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗

卫星组成，卫星的轨道的二种：地球同步轨道、中地球轨道和倾斜轨道.具中，同步轨

道半径大约是中轨道半径的1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为（）

B.

6.我国实施“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据.如果

该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间］,卫星行程为s,卫星与月球中心连

线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G,根据以上数据估算月球的质量是（।

A上口已

A®B-G产

C.等D1

7.（多选）据悉，我国的火星探测计划将于2018年展开.2018年左右我国将进行第一

次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器.已知火星的质量约为地球质最的提

火星的半径约为地球半径的3.下列关于火星探测器的说法中正确的是（）

A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可

B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以

C.发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度

8.宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国苜次太空授课，演示了一些完

全失重状态下的物理现象.若飞船质量为机，距地面高度为/?,地球质量为M,半径为

R，引力常量为G,则飞船所在处的重力加速度大小为（）

八一GM

A.0B.（R+/?）2

GMm

C（R+〃）2D爷

9.（多选）有一宇宙飞船到了某行星上（假设该行星没有自转运动），以速度。贴近行

星表面匀速飞行，测出运动的周期为7,已知引力常量为G,则可得（）

A.该行星的半径为五

B.该行星的平均密度为晟

O/

C.无法求出该行星的质量

A22

D.该行星表面的直力加速度为节

10.（多选）欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能I号”环绕月球沿椭圆轨道

运动，用机表示它的质量，力表示它近月点的高度，。表示它在近月点的角速度，。表

示它在近月点的加速度，《表示月球的半径，g表示月球衣面处的重力加速度.忽略具

他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于

（）

R21g

A.niuB.八।,、,

（/?+/?）-

R2co2

C./??（/?+/?）w2D.ni..

DK~rn

11.宇航员站在某一星球距离表面力高度处，以初速度。。沿水平方向抛出一个小

球，经过时间,后小球落到星球表面，已知该星球的半径为上引力常量为G,则该星

球的质量为（）

人2/依2hR2

B

A•铲-GT

「绝D纪

「Gt2u2hR2

12.（多选）如图所示，两质量相等的卫星4、8绕地球做匀速圆周运动，用R、T、

4、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积.F

列关系式正确的有（）

13.宇航员在地球上的水平地面将一小球水平抛出，使小球产生一定的水平位移，

当他登陆一半径为地球半径2倍的星球后，站在该星球水平地面上以和地球完全相同的

方式水平抛出小球，测得小球的水平位移大约是地球上平抛时的4倍，由此宇航号估算

该星球的质量M艮约为（式中M为地球的质量）（）

A.MB.M^=2M

C.〃星=加

D.M型=4例

14.在发射卫星时，往往先将卫星发送到一个椭圆轨道上，再变轨到圆轨道。已知

某卫星运行的椭圆轨道的近地点M距地面210km,远地点N距地面345km，卫星进入

该轨道正常运行时，通过M点和N点时的速率分别为4和v2,当某次卫星通过N点时,

启动卫星上的发动机，使口星在短时间内加速后进入离地面345km的圆形轨道，开始绕

地球做匀速圆周运动，这时卫星的速率为匕。比较卫星在M、N、P三点正常运行时（不

包括启动发动机加速阶段）的速率匕、彩、匕和加速度大小4、生、生，下列结论正确的

B.v,>v2=v3,U]>u2>

C.v(>v3>>ay>a2D.匕>匕>匕>〃2=/

15.2019年3月10日，长征三号乙运载火箭将"中星6C"通信卫星（记为卫星即

送入地球同步轨道上，主要为我国、东南亚、澳洲和南太平洋岛国等地区提供通信与广

播业务。在同平面内的圆轨道上有一颗中轨道卫星团它运动的每个周期内都有一段时间

7（，未知）无法直接接收到卫星团发出的电磁波信号，因为其轨道上总有一段区域没有

被卫星团发出的电磁波信号覆盖到，这段区域对应的圆心角为2a。已知R星团对地球的

张角为2月，地球自转周期为"，万有引力常量为G,则下列说法正确的是（）

sinP

B.卫星③、回的角速度之比为Vn//

sin-p।

C卫星图的周期为J盘与D.题中时间,不可能为甘当马

16.天文观测发现，天狼星A与其伴星B是一个双星系统。它们始终绕着。点在

两个不同椭圆轨道上运动，如图所示，实线为天狼星A的运行轨迹，虚线为其伴星B

A.A的运行周期小于B的运行周期

B.A的质量小于B的质量

C.A的加速度总是小于B的加速度

D.A与B绕。点的旋转方向可能相同，可能相反

17.如图所示为人类历史上第一张黑洞照片。黑洞是一种密度极大、引力极大的天

体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究

黑洞。已知某黑洞的逃逸速度为，其中引力常量为G,M是该黑洞的质量，

R是该黑洞的半径。若天文学家观测到与该黑洞相距为广的天体以周期r绕该黑洞做匀

速圆周运动，则下列关于该黑洞的说法正确的是（）

A.该黑洞的质量为gB.该黑洞的质量为竺

4不,GT-

C.该黑洞的最大半径为丝乙D.该黑洞的最大半径为空£

c2cT

18.（多选）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为RA、RR,距A、B行星中心一

处，各有一卫星分别围绕行星做匀速圆周运动，线速度的平方V2随半径/•变化的关系如

图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；卫星做匀速圆周运动的周期为7，lgT-】gr的图

像如图乙所示的两平行直线，它们的截距分别为4、而已知两图像数据均采用国际单

位，儿一履=怆6,行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影

甲

3

A.图乙中两条直线的斜率均为］

B.行星A、B的质量之比为1回3

C.行星A、B的密度之比为1团9

D.行星A、B表面的重力加速度大小之比为3团1

19.（多选）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称"太

空电梯”如图甲所示。图乙中，图线A表示地球引力对航天员产生的加速度大小与航天

员距地心的距离，•的关系，图线B表示航天员相对地面静止时而产生的向心加速度大小

与，•的关系。图乙中R（地球半径），助为已知量，地球刍转的周期为。引力常量为G,

下列说法正确的有（）

图甲

A.太空电梯停在内处时，航天员对电梯舱的弹力为。

B.地球的质量为也工

GT-

C.地球的第一宇宙速度为学杵

D.随着，•的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小

20.（多选）如图所示，。|是一个半径为2R,质量为M的密度均匀球体的球心,

现在其内以。2为球心挖去一个半径为R的球，并在空心球内某点/，放置一个质量为加

的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则。।球剩余部分对该

质点的万有引力（）

A.方向由尸点指向。。2连线上某点

B.方向与QQ连线平行

GMm

大小为

C.8店一

GMm

D.大小为

2R-

21.（多选）中国科幻电影《流浪地球》讲述了地球逃离太阳系的故事，假设人们在

逃离过程中发现一种二星组成的孤立系统，三星的质量相等、半径均为稳定分布在

等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为d,三星绕。点做周期为7的匀速圆周运动。

已知万有引力常量为G,忽略星体的自转，下列说法王确的是（)

A.匀速圆周运动的半径为巫d

2

B.每个星球的质量为萼享

3GT-

每个星球表面的重力加速度大小为黑

C.

24d叵

D.每个星球的第一宇宙速度大小为

第15讲万有引力与航天

——划重点之精细讲义系列

考点一天体质量和密度的估算

一.开普勒行星运动定律

定律内容图示

所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳

开普勒第一定律

处在椭圆的一个焦点上

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相

开普勒第二定律

等的时间内扫过相等的面积

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的

开普勒第三定律公转周期的二次方的比值都相等笔=&

二.万有引力定律

1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大

小与物体的质量/小和"12的乘积成正比,与它们之间距离的平方成反比.

2.公式：F=」詈.其中G=6.67X10"N-nr/kg2.

3.适用条件

公式适用于质息间的相互作用.当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视

为质点；均匀的球体可视为质点，「是球心间的距离;对一个均匀球体与球外一个质点的万

有引力的求解也适用，其中r为球心到质点间的距离.

1.解决天体(卫星)运动问题的基本思路

(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即

V7”

2r=

(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即琛表示天体表

面的重力加速度).

2.天体质量和密度的计算

（1）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

由于（7誓=机g,故天体质量M=喑，

天体皆度p-V~4^R~4nGR-

（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期7和轨道半径r.

①由万有引力等于向心力，即牵=〃姆得出中心天体质量M=等；

②若已知天体半径R,则天体的平均密度

MM3n?

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R,

则天体密度〃=券.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期7；就可估算出中心天体

的密度.

国典例分言

【典例1】（多选）通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量.假设卫星绕冥王

星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量.这

两个物理量可以是（）

A.卫星的速度和角速度

B.卫星的质量和轨道半径

C.卫星的质量和角速度

D.卫星的运行周期和轨道半径

解析：选AD.由o=or可求出入根据排得=〃。或6^=〃曲2/可求出冥王星的质量，

人才确.根据爷•/可求出冥子星的质量，DIF确.B和C中都由于已知量不足，

无法求出冥王星的质量.

【典例2］假设地球可视为质量均匀分布的球体.匕知地球表面重力加速度在两极的大

小为go,在赤道的大小为g;地球自转的周期为。引力常量为G.地球的密度为（）

3兀go—g37t阳

GT-goGFgo—g

c.G产D，G尸g

解析：选B.设地球半径为R.质量为m的物体在两极点时，有"】go=G^^,在赤道时，

有辇一〃吆=〃?R博＞，义地球的密度〃=｛，由各式联立得〃=G(；；Ck选项B正

确.

【典例3】过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星"51pegb"

的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约

为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的点.该中心恒星与太阳的质量比约为()

A.-j^jB.1

C.5D.10

解析：选B.行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律

得尊=〃书,则先陟电=(4M竽b1选项B正确.

解决天体质量和密度的估算问题的两点注意

(1)卫星的轨道半径与中心天体的半径不要混淆，只有近地卫星的轨道半径才近似等于

天体半径.

(2)搞清“以谁为研究对象，谁是中心天体”、“受力特点”、“谁做圆周运动”等，

明确一般只能求解中心天体的质量和密度，不能求解环绕天体的质量和密度.

蜀要争考点5策

考点二卫星的运行规律

1.卫星的运行规律

⑴卫星做匀速圆周运动.

(2)万有引力提供向心力：即由(^^一，步:二加小/〜/等尸小为可推导出：

、

v=

»减小

⑴减小

A今当厂增大时＜

7增大

、出减小

2.同步卫星的六个“一定”

轨道平面与赤道平面共面

与地球自转周期相同，即7=24h

与地球自转的角速度相同

巨豆同步卫星离地面的商度

微恒量）

返还心号）与地球自转的方向一致

3.三种宇宙速度

宇宙速度数值(km/s)意义

是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫

第一宇宙速度

7.9星绕地球做圆周运动的最大运行速度.

（环绕速度）

第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.

11.2

（脱离速度）

第三宇宙速度

16.7使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.

（逃逸速度）

【典例1】（多选）如图所示，P、。是质量均为小的两个质点，分别置于地球表面的不

同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下

列说法正确的是（）

A.P、Q受地球引力大小相等

B.P、。做圆周运动的向心力大小相等

C.P、Q做圆周运动的角速度大小相等

D.P受地球引力大于Q所受地球引力

解析：选AC.计算均勺球体与质点间的万有引力时，「为球心到质点的距离，因为P、

Q到地球球心的距离相同，根据/=丝"知，P、Q受地球引力大小相等，P、。随地球自

转，角速度相同，但轨道半径不同，根据人=〃求d,p、。做圆周运动的向心力大小不同，

A、C正确，B、D错误.

【典例2】如图，若两颗人造卫星。和。均绕地球做匀速圆周运动，〃、〃到地心。的

距离分别为，I、-2,线速度大小分别为助、。2,则（）

解析：选A.对人造卫星，根据万有引力提供向心力户=〃7,可得。=y一丁，所

以对于。、力两颗人造卫星有意=y,故选项A正确.

【典例3］国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月

24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，H前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地

点高度约为440km,远地点高度约为2060km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫

星运行在赤道上空35786km的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为的，东

方红二号的加速度为S，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为。3，则⑶、6、

的的大小关系为（）

A.42＞。1＞。3B.的＞。2＞。1

C.Cl3＞d\＞a2D.

解析：选D.由于东方红二号卫星是同步卫星，则其用速度和赤道上的物体角速度相等,

可得：。=0?广，由于「2＞门，则可以得出：ai＞ay,又由万有引力定律有：（j^r=ma,且n

＜n,则得出42V即故选项D正确.

【典例4】假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星

到太阳的距离，那么（）

A.地球公转的周期大于火星公转的周期

B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度

C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度

D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度

解析：选D.根据机（爷，,=〃；;=〃?小=fnarr得，公转周期7=2兀，故地

球公转的周期较小，选项A错误；公转线速度。='怦，故地球公转的线速度较大，选

项B错误：公转加速度跖1=£?,故地球公转的加速度较大，选项C错误；公转角速度（o=

故地球公转的角速度较大，选项D正确.

【典例5】（多选）在圆轨道上运动的质量为机的人造地球卫星，它到地面的距离等于地

球半径上地面上的重力加速度为g,忽略地球自转影响，则（）

A.卫星运动的速度大小为4荻

B.卫星运动的周期为47r展

C.卫星运动的向心加速度大小为加

D.IJ.星轨道处的重力加速度玲

解析：选BD.地面上万有引力等于重力，即G^=/〃g,该卫星到地面的距离等于地球

半径R,则其轨道半径r=2R,其做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，根据牛顿第二

定律〃亭依'，可求得卫星运动的速度大小0=周期7=4兀

普，向心加速度大小a=g'=；g,选项A、C错误，B、D正确.

人造卫星问题的解题技巧

(1)卫星向心加速度的不同表述形式.

①道pm.

②nn=?=no2=筝匚

(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第

二定律.

①卫星的出、。、3、7是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化.

②为、八⑴、丁均与卫星的质量无关，只由轨道半径「和中心天体质量共同决定.

。.争考点£蒲

考点三航天器的变轨问题

1.卫星轨道的渐变：当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向心力，

卫星将做变轨运行.

(I)当卫星的速度逐渐增加时，G华即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离

心运动，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由。='岸可知其运行速度比

原轨道时减小.

(2)当卫星的速度逐渐减小时，聋＞〃。，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做

近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v=1愣可知其运行速度

比原轨道时增大.

2.卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上

的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道.如图所示，发射同步卫星时，可

以分多过程完成：

(1)先将卫星发送到近地轨道I.

(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为变轨时在尸点点火加速，短时间内将速率

由力增加到S,使卫星进入椭圆形的转移轨道II.

(3)卫星运行到远地点Q时的速率为。3,此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率

由S增加到内，使卫星进入同步轨道IH,绕地球做匀速圆周运动.

目共例分市

【典例1】(多选)我国已先后成功发射了“天宫一号”飞行器和“神舟八号”飞船，并

成功地进行了对接试验，若“天宫•号”能在离地面约300km高的圆轨道上正常运行，则

下列说法中正确的是()

A.“天宫一号”的发射速度应大于第二宇宙速度

B.对接前，“神舟八号”欲追上“天宫一号”，必须在同一轨道上点火加速

C.对接时，“神舟八号”与“天宫一号”的加速度大小相等

D.对接后，“天宫一号”的速度小于第一宇宙速度

解析：选CD.地球卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且小于第二宇宙速度，A错误；

若“神舟八号”在与“天宫一号”同一轨道上点火加速，那么“神舟八号”的万有引力小于

向心力，其将做离心运动，不可能实现对接，B错误：对接时，“神舟八号”与“天宫一号”

必须在同一轨道上，根据〃=6白可知，它们的加速度大小相等，C正确；第一宇宙速度是

地球卫星的最大运行速度，所以对接后，“天宫一号”的速度仍然要小于第一宇宙速度，D

正确.

【典例2］我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与

“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了

实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()

［二

A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接

B.使飞船与空间实验室在同一软道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现走接

C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两

者速度接近时实现对接

D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两

者速度接近时实现对接

解析：选C.若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，则飞船加速后，万有引力不

足以提供向心力，飞船将运离原来的就道，不能实现对接，A错误；若使飞船与空间实脸室

在同一就道上运行，则空间实险室减速将会使空间实验室进入低轨道，也不能实现对接，故

B错误；实现对接的方法能使飞船在比空间实验室低的轨道上加速，然后飞船进入较高的空

间实验室就道后实现对接，C正确；若使飞