宁夏银川二中2018届高三三模考试数学(理)试卷

银川二中2017-2018学年第二学期高三年级模拟三数学（理科）试题2018.05注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．必考题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（）第5题A．QUOTEB．C．QUOTE D．第5题2．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．4.一个家庭共有两个孩子，在已知其中有一个是女孩的条件下，则另一个也是女孩的概率为（）A．B．C．D．5.我国明朝数学家程大为的著作《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出n的值为()A．25B．26C．27D．6.设直线与等轴双曲线的渐近线平行，与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为（）A．B．C． D．7．若满足约束条件QUOTE，且向量，则的取值范围（）第5题A．B． 第5题C．QUOTED．8．甲、乙、丙、丁4位同学的运动衫上印有不同的号码．赵说：“甲是2号,乙是3号．”钱说：“丙是4号,乙是2号．”孙说：“丁是2号,丙是3号．”李说：“丁是4号,甲是1号．”又知道赵、钱、孙、李每人都只判断对了一半．那么丙的号码是（）A．1号B．2号C．3号D．4号9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．第9题B．第9题C．

D．10．如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FG的长为（0＜x＜π），，若从平行移动到，则函数的图象大致是（）A．B．C．D．11．设抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M满足，过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则M点的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．12．设函数，其中，若有且只有一个整数，使，则a的取值范围是（）A．QUOTE B．QUOTE C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在的展开式中所有项的系数和为，则实数_________．14．若，则________．第15题15．已知三棱锥中，平面ABC，QUOTE若QUOTE，与平面ABC所成线面角的正弦值为，则三棱锥外接球的表面积为______________．第15题16．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.（本题12分）已知数列，，，，数列成公差不为零的等差数列且的，，项又成等比数列.（=1\*ROMANI）求的通项公式；（=2\*ROMANII）证明：.18.（本题12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．

（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M-BQ-C大小为60°，并求出的值．

19.（本题12分）参加数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：定价元102030405060年销量115064342426216586下列数据计算时可供参考：QUOTE

（Ⅰ）根据散点图判断出与和与x分别是正相关还是负相关，再比较判断与和与x哪一对具有较强的线性相关性？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及相关数据，选择合理模型建立y关于x的回归方程．方程中的系数均保留两位有效数字．

（Ⅲ）根据由（Ⅱ）得到的回归方程，计算当定价时的残差．附：对于一组数据QUOTE，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.QUOTE20.（本题12分）已知椭圆:的左右焦点分别为，过作垂直于轴的的直线交椭圆于两点，满足.（Ⅰ）求椭圆的离心率.（Ⅱ）是椭圆短轴的两个端点，设点是椭圆上一点（异于椭圆的顶点），直线分别与轴相交于两点，为坐标原点，若，求椭圆的方程.21.（本题12分）已知（Ⅰ）若恒成立，求的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，证明：存在唯一的极小值点，且．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10）选修4―4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系

xOy

中，已知曲线

C1：与曲线

C2：（

φ为参数，φ∈[0，2π）

）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（I）写出曲线

C1，C2的极坐标方程；

（II）在极坐标系中，已知点A是射线

l：与

C1

的交点，点

B

是l与C2异于极点的交点，当α在区间上变化时，求的最大值．23.（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲．设的最小值为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设求的最小值．

2018年5月7日前绝密银川二中2017-2018学年第二学期高三年级模拟三数学（理科）答案命题：数学命题组2018.05必做题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则（C）A．QUOTEB．C．QUOTE D．2.若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（C）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（D）S=100?开始n=20m=100-n输出n结束否是n=n+1A．S=100?开始n=20m=100-n输出n结束否是n=n+1C． D．4.一个家庭共有两个孩子，在已知其中有一个是女孩的条件下，则另一个也是女孩的概率为（B）A.B.C.D.5.我国明朝数学家程大为的著作《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁”如图所示的程序框图反映了对此题的一个第5题求解算法，则输出n的值为(A)第5题A．25B．26C．27D．6.设直线与等轴双曲线的渐近线平行，与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为（B）A．B．C． D．7.若满足约束条件QUOTE，且向量，则的取值范围（A）A.B. C.QUOTED.8.甲、乙、丙、丁4位同学的运动衫上印有不同的号码．赵说：“甲是2号,乙是3号．”钱说：“丙是4号,乙是2号．”孙说：“丁是2号,丙是3号．”李说：“丁是4号,甲是1号．”又知道赵、钱、孙、李每人都只判断对了一半．那么丙的号码是（D）A.1号B.2号C.3号D.4号9.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A）A.

B.C.

D.10.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FG的长为（0＜x＜π），，若从平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（D）

A.BC.D.11.设抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M满足，过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则M点的横坐标为（B）A.2 B.3 C.4 D.12.设函数，其中，若有且只有一个整数使，则a的取值范围是（C）A.QUOTE B.QUOTE C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在的展开式中所有项的系数和为，则实数a=__．14.若，则_____．15.已知三棱锥中，平面ABC，QUOTE若QUOTE，若与平面第15题ABC所成线面角的正弦值，则三棱锥第15题外接球的表面积为___．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则______三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知数列，，，令，数列成公差不为零的等差数列且的，，项又成等比数列。（=1\*ROMANI）求的通项公式；（=2\*ROMANII）求证.17：解（=1\*ROMANI）由题意得，∵，，成等比数列得：，解得的公差，∴的通项公式为由累差法得（=2\*ROMANII）当，∵∴原不等式成立.18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．

（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试

确定点M的位置，使二面角M-BQ-C大小为60°，并求出的值．【答案】（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，

又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，

又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．

（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系如图．

则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（-2，，0），

设（0＜λ＜1），则，

平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），

设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），

则，取，

∵二面角M-BQ-C大小为60°，，

解得，此时．19.参加数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：定价QUOTE错误！未找到引用源。元QUOTE错误！未找到引用源。102030405060年销量QUOTE错误！未找到引用源。115064342426216586下列数据计算时可供参考：QUOTE

（Ⅰ）根据散点图判断，判断出与和与x分别是正相关还是负相关，再比较判断与和与x哪一对具有较强的线性相关性？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及相关数据，合理选择模型建立y关于x的回归方程．QUOTE错误！未找到引用源。方程中的系数均保留两位有效数字QUOTE错误！未找到引用源。．

（Ⅲ）根据由（Ⅱ）得到的回归方程，计算当定价时的残差．附：对于一组数据QUOTE，其回归直线QUOTE错误！未找到引用源。的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

，.QUOTEQUOTE解：（QUOTE错误！未找到引用源。）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性；

（Ⅱ）由QUOTE，

QUOTE，

由QUOTE，

QUOTE线性回归方程为：QUOTE错误！未找到引用源。，则y关于x的回归方程QUOTE，

（QUOTE错误！未找到引用源。）当，残差20.（本题12分）已知椭圆:的左右焦点分别为，过作垂直于轴的的直线交椭圆于两点，满足.（Ⅰ）求椭圆的离心率.（Ⅱ）是椭圆短轴的两个端点，设点是椭圆上一点（异于椭圆的顶点），直线分别与轴相较于两点，为坐标原点，若，求椭圆的方程.解：（Ⅰ）点的横坐标为，代入椭圆方程得解得解得：（Ⅱ）设则直线MP的方程为，令得到R点的横坐标为同理可得Q点的横坐标为椭圆的方程为：21.（本题12分）已知（Ⅰ）若恒成立，求的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，证明：存在唯一的极小值点，且．解:（Ⅰ）依题意得：恒成立，即恒成立．

构造函数g（x）=ex-ax-1，

则g（x）=ex-ax-1恒过（0，0），g'（x）=ex-a，

①若a≤0时，g'（x）＞0，∴g（x）在R上递增，∴ex≥ax+1不能恒成立．

②若a＞0时，g'（x）=0，∴x=lna．

∵x∈（-∞，lna）时，g'（x）＜0，函数g（x）=ex-ax-1单调递减；

x∈（lna，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）=ex-ax-1单调递增，

∴g（x）在x=lna时为极小值点，g（lna）=a-alna-1，

∴要使ex-2ax-2≥-ax-1恒成立，只需a-alna-1≥0．

设h（a）=a-alna-1，则函数h（a）恒过（1，0），h'（a）=1-lna-1=-lna，

a∈（0，1），h'（a）＞0，函数h（a）单调递增；a∈（1，+∞），h'（a）＜0，函数h（a）单调递减，

∴h（a）在a=1取得极大值0，

∴要使函数h（a）≥0成立，只有在a=1时成立．

（Ⅱ）设m（x）=ex-2x-2，∴m'（x）=ex-2，

令m'（x）＞0，x＞ln2

∴m（x）在（-∞，ln2）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增，

m（ln2）=-2ln2＜0，

∴f'（x）=m（x）=ex-2x-2在x=ln2处取得极小值，

可得f'（x）一定有2个零点，分别为f（x）的一个极大值点和一个极小值点，

设x0为函数f（x）的极小值