浙江省台州市三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省台州市三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为集合，，故.故选：B.2.下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，，当时，得，即，不满足函数定义，故A错误；对于B，，当时，得，即，不满足函数定义，故B错误；对于C，即，满足函数的定义，故C正确；对于D，，当时，得，即，不满足函数定义，故D错误.故选：C.3.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意得，解得，所以的定义域为.故选：D.4.若，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函数在上单调递减，且，则；由函数在上单调递增，且，则，由，则.故选：A.5.已知，，则a、b、c的大小关系为（）A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a【答案】C【解析】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，又函数在上单调递增，且，于是得，即，所以a、b、c的大小关系为．故选：C.6.已知实数，且“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即，由，，得，即，因为“”是“”的必要不充分条件，所以，得（等号不能同时成立），解得，即实数的取值范围为.故选：A.7.过点与圆相切两条直线的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若切线斜率不存在时，则直线方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，则有，整理可得，则，设两切线的斜率分别为、，则、为关于的方程的两根，由韦达定理可得，，所以，，所以，，由题意，，由，解得.故选：D.8.已知正实数，，满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，即，因为，则，解得，当且仅当，即或时，等号成立，所以的取值范围为.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，函数的定义域为，该函数不具奇偶性，A不是；对于B，函数的定义域为R，，是偶函数，当时，在上单调递减，B是；对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，在上单调递减，C是；对于D，函数的定义域为，，是奇函数，D不是.故选：BC.10.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】由题意得，.A.，选项A错误.B.，选项B错误.由集合与元素的关系得，，，选项C，D正确.故选：CD.11.如图，在直棱柱中，各棱长均为，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成角的正弦值为B.当点M在棱上运动时，则直线与平面所成角的最大值为C.当点M在棱上运动时，最小值为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】BCD【解析】对于A，连接，，，四边形为平行四边形，，异面直线与所成角即为，，，，所以异面直线与所成角的正弦值为，故A错误；对于B，连接交于点，连接，在菱形中，，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，因为平面，平面，所以平面，所以线段的长度即为点到平面的距离，在等边三角形中，，则直线与平面所成角的正弦值为，当点与点重合时，取得最小值，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，所以直线与平面所成角的最大值为，故B正确；对于C，将四边形与沿着棱展开得四边形，则的最小值即为，故C正确；对于D，，，是边长为的正三角形，的外接圆半径，三棱锥外接球半径，三棱锥外接球表面积，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“，”的否定是______．【答案】，【解析】因为全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，所以命题“，”的否定是“，”.13.已知，若，，则的最小值为__________.【答案】【解析】因为，若，，可知，则，可得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.14.设函数，若且，则当取得最小值时__________.【答案】【解析】因为函数，又因为且，则，所以，所以，则，则当取得最小值时，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，.（1）求和；（2）已知，写出集合的所有非空子集.解：（1）因为，，则，.（2）因为全集，，则，所以，集合的所有非空子集为：、、、、、、.16.设．注：.（1）证明：；（2）若，求的最小值．解：（1），．均不为0，则，．（2）由可知．，当且仅当时，取等号，．的最小值为.17.已知集合，.（1）当时，求；（2）已知“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.解：（1），得，所以.，当时，，.（2）因为“”是“”的必要条件，所以.当时，，不符合题意；当，即时，，符合题意；当时，，所以，解得.综上所述：.18.已知函数.（1）解不等式；（2）若，试判断的单调性，并用定义证明.解：（1）令，则，原不等式可化为，解得，即，可得，故原不等式的解集为.（2）在上为增函数，证明如下：因为，任取，，且，则.因为，则，，可得，即，所以函数在上为增函数.19.已知函数，且.（1）判断函数的奇偶性；（2）若，试判断函数的单调性.并求使不等式在R上恒成立的的取值范围；（3）若，且在上的最小值为，求的值.解：（1）函数的定义域为R，，所以函数奇函数.（2）由，，得，则，