浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则集合可用列举法表示为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，则，所以.故选：D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，故x<1是的必要不充分条件.故选：B.3.已知幂函数为偶函数，则（）A. B.C.或 D.不存在【答案】A【解析】由是幂函数，得，解得或，当时，是偶函数，符合题意；当时，是奇函数，不符合题意，所以.故选：A.4.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，解得且，所以函数的定义域为.故选：C.5.设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意可知是由指数函数和二次函数复合而成的，由复合函数单调性可得只需使函数在区间上单调递减即可，易知函数关于对称，所以可得，即；即的取值范围是.故选：D.6.若，则函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，则，则，，且，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，当时，函数的最小值为.故选：B.7.我们知道，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数．已知函数，则下列函数中，关于对称的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】若函数关于对称，则函数为偶函数，即，对于A，令，则，又，因此可得，则的图象关于对称，故A正确；对于B，令，则，又，则，故的图象不关于对称，故B错误；对于C，令，则，又，则，故的图象不关于对称，故C错误；对于D，令，则，，则，故的图象不关于对称，故D错误.故选：A.8.若且，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得，对于A，当，则，故错误；对于B，当，则，故错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A选项，因为函数为上的增函数，则，A错；对于B选项，因为函数为上增函数，则，B对；对于C选项，因为函数为上的增函数，函数为上的减函数，所以，，C对；对于D选项，因为函数在上为增函数，则，D对.故选：BCD.10.若关于的不等式的解集为，则（）A.的解集为B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为【答案】AC【解析】由题可得是方程的两个根，，对于A，不等式化为，解得，故A正确；对于B，，令，又，则在单调递减，则，即，没有最小值，故B错误；对于C，D，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，没有最小值，故C正确，D错误.故选：AC.11.定义：如果关于一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（）A.方程是“和谐方程”B.若关于的方程是“和谐方程”，则C.若关于的方程是“和谐方程”，则的函数图象与轴交点的坐标是和D.若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程”【答案】BCD【解析】由，则方程的两根为，又，则方程不是“和谐方程”，故A错误；若关于的方程是“和谐方程”，设，又，，解得，或，，故B正确；若关于的方程是“和谐方程”，设，又，，，则，即，又，解得方程的两根为，即的函数图象与轴交点的坐标是和，故C正确；点在反比例函数的图象上，，，则关于的方程，解得方程的两根为，又，即关于的方程是“和谐方程”，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题“，”的否定是______．【答案】，【解析】因为全称量词命题否定是特称（存在）量词命题，所以命题“，”的否定是“，”，13.______．【答案】【解析】.14.已知函数，关于的方程恰有2个不同的解，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】画出函数的图象，如图，由，即，即或，因为关于的方程恰有2个不同的解，结合图象可知，时有2个不同的解，所以无解或，则或，即实数的取值范围是.四、解答题：共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）判断是否为集合中的元素，并说明理由；（2）若全集，求，．解：（1）不是集合中的元素，理由如下：由可得，解得或，所以，或，因此，.（2）且，所以，或，又因为，故.16.已知函数．（1）若，求的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．解：（1），，，．（2）若对任意，恒成立，即对任意，恒成立，即，即，，在上单调递增，时，，则在上最大值小于，．17.某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待万名游客需要投入的流动成本为（单位：万元），当游客人数不超过14万人时，；当游客人数超过14万人时，．（1）写出该市旅游净收入（万元）关于游客人数（万人）的函数解析式；（注：旅游净收入旅游收入固定成本流动成本）；（2）当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？解：（1）根据题意得，当时，，当时，，故.（2）当时，，且当时，在单调递增，当时，在单调递减，此时．当时，，当且仅当时，等号成立．因为，故当时，取得最大值1250，即为使该市旅游净收入达到最大，游客人数应为9万人．18.已知函数为奇函数．（1）求的值；（2）判断并证明的单调性；（3）若存在实数，使得成立，求的取值范围．解：（1）由函数为奇函数，其定义域为，所以，即，解得，此时，满足，即为奇函数，故的值为．（2）在上单调递减，证明如下：由（1）知，，且，则，因为，所以，，，所以，即函数在上单调递减，即为上的减函数．（3）由，则，又因为为奇函数，所以，又由（2）知函数在上单调递减，所以，因为存在实数，使得成立，所以，解得．所以的取值范围为．19.设，用x表示不超过的最大整数，则y=x称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质：①y=x的定义域为，值域为；②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即x=x+x0≤x<1，其中x为（1）若，求关于的方程的解；（2）求关于的不等式的解集；（3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．解：（1）①，此时，，则方程可化为，解得，符合题意．②，此时，，则方程可化为，解得，符合题意．③，此时，，则方程可化为，解得，符合题意．综上所述，若，关于的方程的解为或或．（2）①，此时，，，此时不等式恒成立．②，此时，，则不等式可化为，解得，又，．③，此时，，则