勾股定理及逆定理

勾股定理及逆定理.勾股定理的基本概念Rt△ABC中，NA,NB,NC的对边长分别为a,b,c贝Ua2+b2=c2,a2=c2-b2,b2=c2-a2(c为三角形的斜边).勾股定理的证明如图，小正方形的面积c2=(a+b)2-1abx4，化简即a2+b2=c2.2.勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边满足a2+b2=c2,a2=c2-b2,b2=c2-a2之一,那么这个三角形一定是直角三角形..勾股定理及逆定理的综合应用运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决一些实际问题.例题精讲知识点一勾股定理的基本概念例L在Rt△ABC中，NA=90°,NA,ZB,NC的对边长分别为a,b,c,那么下列等式一定成立的是()A.a2 +b2 =c2 B. a2+c2=b2 C. b2+c2=a2 D. b2 -c2=a2训练1-1.下列四组数据均为三条线段的长度,其中能作为Rt△ABC三边的是( )A.1cm,2cm,3cmB.3cm,4cm,5cmC.7cm,12cm,13cmD.1cm,1cm,<3cm

知识点二勾股定理的验证例2.如图，是一个由两个全等的斜边为c,两直角边分别为a,b的直角三角形和一个两直角边均为c的直角三角形组成的图形,试用这个图形证明勾股定理.,试用面积O法证明：a2+b2-,试用面积O法证明：a2+b2-c2（提示•四边形ADCB^AACDS△皿&'四边形a^b^aadb^ADcb^训练2-2.如图三角形八口£和三角形ABC是全等的两个直角三角形，其中c为斜边,试用面积法证明a2+b2-c2.(提示:可参照训练1—1的方法)a c知识点三勾股定理的逆定理例3.△ABC中，NA,NB,NC的对边长分别为a,b,c,下列条件不能判断4ABC是直角三角形的是()NA=NC-NBaNA=NC-NBa:b:c=2:3:4a2—b2一c2D.训练3-1.已知a,b,c是三角形的三边长,如果满足(a-6)2+Jb-8+c—10|-0,那么下列说法中不正确的是()A.这个三角形是直角三角形 B.这个三角形的最长边长是10C.这个三角形的面积是48 D.这个三角形的最长边上的高是4.8训练3-2.若a,b,c是△ABC的三条边，且满足a2-2ab+b2=0,(a+b)2=2ab+c2，则AABC的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形知识点四勾股定理及逆定理的应用例4.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是()A.12cmWhW19cmB.12cmWhW13cmC.IlcmWhW12cmD.5cmWhW12cm训练4-1.如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的A.11cm训练4-1.如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的A.11cmB.12cmC.13cmD.14cm训练4-2.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是()例5.如图，有一圆柱体，它的高为8cm,底面周长为12cm.在圆柱的下底面A训练5-1.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9,BB'=5,B'C’=6,在线段AB的三等分点E(靠近点A)处有一只蚂蚁，B'C'中点F处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为.Dr Cr例6.如图所示,把一张矩形纸片沿对角线折叠,重合部分是什么图形,试说明理由.⑴若AB=4,BC=8,求AF.(2)若对折使C在AD上，AB=6,BC=10,求AE,DF的长.

训练6-1.(1)如图，矩形纸片ABCD中，AB=8,将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10.①当折痕的另一端点F在AB边上时，如图①，求△EFG的面积；②当折痕的另一端点F在AD边上时，如图②，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长.HH(2)在矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=13.如图③所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ.当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P,Q也随之移动.若限定点P,Q分别在AB,AD边上移动，求点A’在BC边上可移动的最大距离.

综合运用.如图，小明将一张长为20cm,宽为15cm的长方形纸（AE>DE）剪去了一角,量得AB=3cm,CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A．5cmB．12cmC．16cmD．20cm.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）DA．2cmB．3cmC．4cmD．5cm.有两棵树，一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A.8mB.10m C.12m D.14m.如图，CD是一平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为a（入射角等于反射角），AC±CD,BDXCD,垂足分别为C、D,入射角为a（入射角等于反射角），AC±CD,BDXCD,垂足分别为C、D,且AC=3,A.3B.4C.5D.6BD=6,CD=12,则CE的值为().一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明（）A.没有危险B.有危险C.可能有危险D.无法判断

.张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游.如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（A.6000米B.5000米C.4000米D.2000米1.7,近记取1.8)()A.0.8mB.1.5mC.0.9mD.0.4m8.如图,在AABC中，AB=5,AC=4,BC=3经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分.如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙1.7,近记取1.8)()A.0.8mB.1.5mC.0.9mD.0.4m8.如图,在AABC中，AB=5,AC=4,BC=3经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q则线段PQ长度的最小值是（）A.4.5B.4.8 C.5 D.4^9.一根长16cm牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中.牙刷露在杯子外面的长度为hem,则h的取值范围是10.小明从家出发向正北方向走了150米，接着向正东方向走到离家250米远的地方，小明向正东方向走了 米..如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，已知如下数据：AM=4米，BM=Wj米，NMAD=45°,NMBC=30°,则警示牌的高CD为米.

.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一颗树在C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=4寸5米，ZABC=30°,则树折断前高米..如图，4ABC是安庆市在拆除违章建筑后的一块三角形空地，已知NA=120°,AB=30m,AC=20m,如果要在这块空地上种草皮，按每平方米a元计算，则需要资金 元．.如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，此时绳子末端距离地面2m,则绳子的长度为m．16.我区的自然风光无限，最具特色的是青龙大峡谷（A）和文佛奇峰山（B）,它们位于笔直的高速公路X同侧，AB=10km,A,B到直线X的距离分别为AE=10.5km和BD=4.5km.（1）方案一：旅游开发公司计划在高速公路X旁修建一服务区C,并从服务区C向A、B两景区修建笔直公路运送游客.公司选择较节省的方案（如图1：点B关于直线X的对称点是8,连接AB交直线X于点C）,C到A、B的距离之和S=AC+BC，求S.（2）方案