2025届高考数学一轮知能训练第三章三角函数与解三角形第4讲简单的三角恒等变换含解析

PAGE1-第4讲简洁的三角恒等变换1．设A，B是△ABC的内角，且cosA＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(5,13)，则sinC＝()A.eq\f(63,65)或－eq\f(16,65)B.eq\f(16,65)C.eq\f(16,65)或－eq\f(63,65)D.eq\f(63,65)2．(2024年湖北4月调研)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，则sinα的值等于()A.eq\f(2\r(2)－\r(3),6)B.eq\f(2\r(2)＋\r(3),6)C.eq\f(2\r(6)－1,6)D．－eq\f(2\r(6)－1,6)3．下列关于函数f(x)＝sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx))的说法中，错误的是()A．f(x)的最小正周期为πB．f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，0))对称C．f(x)的图象关于直线x＝－eq\f(π,8)对称D．f(x)的图象向右平移eq\f(π,8)个单位长度后得到一个偶函数的图象4．为使方程cos2x－sinx＋a＝0在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内有解，则a的取值范围是()A．－1≤a≤1B．－1<a≤1C．－1≤a<0D．a≤－eq\f(5,4)5．(多选)设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，则f(x)()A．是偶函数B．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减C．最大值为2D．其图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称6．(2024年浙江)函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，最小值是________，单调递减区间是__________________．7．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过探讨正五边形和正十边形的作图，发觉了黄金分割值约为0.618，这一数值也可表示为m＝2sin18°.若m2＋n＝4，则eq\f(1－2cos227°,3m\r(n))＝__________.8．sin220°＋cos280°＋eq\r(3)sin20°cos80°＝________.9．若函数y＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＋a在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为____________．10．在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设∠xOP＝α，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(12,13)，则x0的值为________________．11．(2024年安徽)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．12．(2024年浙江)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2eq\r(3)sinxcosx(x∈R)．(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

第4讲简洁的三角恒等变换1．D解析：∵cosA＝eq\f(3,5)，0<A<π，∴A为锐角，且sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(4,5).又sinB＝eq\f(5,13)<sinA，∴B<A，∴B为锐角且cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(12,13).∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(63,65).故选D.2．C3．B解析：∵f(x)＝sinx(cosx＋sinx)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，∴f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.故A正确；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝eq\f(\r(2),2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).故B错误；sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))－\f(π,4)))＝－1.故C正确；将f(x)的图象向右平移eq\f(π,8)个单位长度后得到y＝eq\f(\r(2),2)·sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)))－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(2),2)cos2x为偶函数，故D正确．故选B.4．B解析：设sinx＝t，则方程cos2x－sinx＋a＝0变为a＝t2＋t－1，其中t∈(0,1]．∵t2＋t－1∈(－1,1]，∴－1<a≤1.故选B.5．ABD6．πeq\f(3－\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)＋kπ，\f(7π,8)＋kπ))，k∈Z解析：f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)＋1＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(3,2)＝eq\f(\r(2),2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq\f(3,2)，∴T＝eq\f(2π,2)＝π；f(x)min＝eq\f(3,2)－eq\f(\r(2),2).单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)＋kπ，\f(7π,8)＋kπ))，k∈Z.7．－eq\f(1,6)解析：m＝2sin18°，m2＋n＝4，n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，则eq\f(1－2cos227°,3m\r(n))＝eq\f(1－2cos227°,3×2sin18°×2cos18°)＝eq\f(－cos54°,6sin36°)＝－eq\f(1,6).8.eq\f(1,4)解析：方法一，(降幂化角)sin220°＋cos280°＋eq\r(3)sin20°cos80°＝eq\f(1,2)(1－cos40°)＋eq\f(1,2)(1＋cos160°)＋eq\r(3)sin20°cos80°＝1－eq\f(1,2)cos40°＋eq\f(1,2)cos160°＋eq\r(3)sin20°cos(60°＋20°)＝1－eq\f(1,2)cos40°＋eq\f(1,2)(cos120°cos40°－sin120°sin40°)＋eq\r(3)sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)＝1－eq\f(1,2)cos40°－eq\f(1,4)cos40°－eq\f(\r(3),4)sin40°＋eq\f(\r(3),4)sin40°－eq\f(3,2)sin220°＝1－eq\f(3,4)cos40°－eq\f(3,4)(1－cos40°)＝eq\f(1,4).方法二，(构造对偶式)设x＝sin220°＋cos280°＋eq\r(3)sin20°cos80°，y＝cos220°＋sin280°－eq\r(3)cos20°sin80°，则x＋y＝1＋1－eq\r(3)sin60°＝eq\f(1,2)，x－y＝－cos40°＋cos160°＋eq\r(3)sin100°＝－2sin100°sin60°＋eq\r(3)sin100°＝0.∴x＝y＝eq\f(1,4).即x＝sin220°＋cos280°＋eq\r(3)sin20°cos80°＝eq\f(1,4).9．(－2，－1]解析：由题意，可知y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a，该函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有两个不同的零点，即y＝－a，y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有两个不同的交点．结合函数的图象D137，可知1≤－a＜2，∴－2＜a≤－1.图D13710．－eq\f(7\r(2),26)解析：∵点P(x0，y0)在单位圆O上，且∠xOP＝α，∴cosα＝x0，sinα＝y0，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(12,13)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(5,13)，x0＝cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))·coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝－eq\f(7\r(2),26).11．解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1，∴函数f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由(1)知，f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1.当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，作单位圆，画出2x＋eq\f(π,4)所表示角的集合，由图D138可知，图D138当2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,8)时，f(x)取最大值eq\r(2)＋1；当2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)，即x＝eq\f(π,2)时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值为eq\r(2)＋1，最小值为0.12．解：(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝2.(2)由cos2x＝co