江西省赣州市大余县部分学校联考2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

1PAGE第14页2024-2025学年上学期12月月考高二数学试卷能力提升卷（测试时间：120分钟满分：150分）第I卷（选择题共60分）一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1.已知数列{an}等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＝，则a2＝（）A.2 B.C.3 D.（2021年四川省泸县第二中学高一月考）2.已知函数，若数列满足，则（）A.1 B.2 C.4 D.3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若{an}是“斐波那契数列”，则A. B.1 C. D.24.已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（）A.1 B.2 C. D.（2021年陕西西北工业大学附属中学高一月考）5.数列满足，，则（）A. B. C. D.6.定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是A. B. C. D.（2021年浙江杭州市杭十四中高二期中）7.已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为（）A. B.C.（0，1） D.8.设直线与函数的图象交于点，与直线交于点．则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（共4个小题，部分选对得2分，全部选对得5分，共20分）（2021年福建省福州第一中学高三开学考试）9.设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.与均为的最大值10.已知正项数列的前项和为，若对于任意的，，都有，则下列结论正确的是（）A.B.C.若该数列的前三项依次为，，，则D.数列为递减的等差数列11.对于函数，下列说法正确的是（）A.在处取得极大值B.有两个不同的零点C.D.若在上恒成立，则12.已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则下列结论正确的是（）A.为单调递增的等差数列B.C.为单调递增的等比数列D.使得成立n的最大值为6第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）（2021年山西高三模拟）13.设数列的前项和为，且，，则__________.14.朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．15.已知是，的等差中项，是，的等比中项，则______.（2021年江苏高三专题练习）16.已知函数在R数上单调递增，且，则的最小值为__________，的最小值为__________.四、解答题（共6个小题，共70分）17.设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前n项和为，，________．（1）求数列通项公式；（2）若，求数列的前n和．18.已知为等差数列，为等比数列，，，.（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.19已知函数()．（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；（2）证明：当时，．20.已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求证：.21.设函数（1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.（2）讨论在上的单调性；（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.22.已知函数，其中.（1）讨论的单调性.（2）是否存在，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

2024-2025学年上学期12月月考高二数学试卷能力提升卷一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】C6【答案】A7.【答案】B8.【答案】A二、多项选择题（共4个小题，部分选对得2分，全部选对得5分，共20分）9.【答案】BD10.【答案】AC11【答案】ACD12.【答案】BCD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13【答案】118914.【答案】15.【答案】16.【答案】①..②..四、解答题（共6个小题，共70分）17.【解析】【分析】（1）若选①可得为常数数列，即可求出；若选②利用时，可得，即可得为常数数列，即可求出；若选③当时，利用可得，即可得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，从而得解；（2）利用错位相减法求和；【详解】选条件①时，（1）时，整理得，所以.（2）由（1）得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.选条件②时，（1）由于，所以①，当时，②，①②得：，，整理得，所以.（2）由（1）得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.选条件③时，由于，①②①②时，，整理得（常数），所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.所以.（2）由（1）得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.18.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，则，可得，所以，因为，，所以，整理得，解得，所以；（2）设数列的前项和中奇数项的和为，偶数项的和为，当为奇数时，，当偶数时，，对任意的正整数，，，①，由①得，②，①②得，化简得因此，数列的前项和为.19.【详解】（1）的定义域为，，若函数有两个极值点，则有两个变号零点，等同于，即水平直线与曲线有两个交点(不是的切线)，令，的定义域为，则，令，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递减，则为的极大值，也为最大值，当时，，当时，，当时，且为正数，则的图像如图所示，则此时；（2）证明：令()，则只需证明当时恒成立即可，则，令，则，当时，，，，则，则在时单调递增，又，∴时，，则在时单调递增，∴当时，即当时，．20.【详解】（1），所以数列为等比数列，公比，所以，所以（2）证明：【点睛】放缩法的注意事项：（1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。21.【详解】（1）由于函数在上递增，在上递减，由单调性知是函数的极大值点，无极小值点，所以，∵，故，此时满足是极大值点，所以；（2）∵，∴，①当时，在上单调递增.②当，即或时，，∴在上单调递减.③当且时，由得.令得；令得.∴在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上递增；当或时，在上递减；当且时，在上递增，在上递减.（3）令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在处取得最小值为，又当，所以函数大致图象为：由图象知：.不妨设，则有，要证，只需证即可，令，则在上单调递增，故即，，.22.（1）先求出函数的导数，再对a进行分类讨论，从而求出函数的单调区间；（2）对a进行分类讨论，分为，，三种情况，利用导数研究函数的最值，从而进行分析求解即可.【详解】（1）由，得，当时，对任意，，所以单调递减；当时，令，得，当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）存在满足条件的实数，且实