《机械设计基础》课件-第5章

第5章轴向拉伸与压缩5.1轴向拉伸（压缩）时横截面上的内力5.2轴向拉伸（压缩）时横截面上的应力5.3杆件拉伸与压缩时的变形5.4材料在拉伸与压缩时的力学性能5.5拉伸与压缩时的强度计算

5.1轴向拉伸(压缩)时横截面上的内力

5.1.1轴向拉伸(压缩)的概念

在工程上，许多构件都会发生轴向拉伸或压缩变形。这类构件的受力特点是：杆件承受的外力(或外力合力)的作用线与杆件轴线重合。这类构件的变形特点是：杆件沿轴向方向伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。产生轴向拉伸(或压缩)变形的杆件，简称拉(压)杆。5.1.2截面法求轴力

在材料力学中，分析、求解轴力通常采用截面法，其步骤主要有三步：

(1)切一刀：假想在需要求解内力的截面上，将杆件截开为两段。

(2)取一半：取任意一段作为研究对象，并用内力的合力代替另一段的作用。

(3)求平衡：由静力学平衡方程求出该横截面的内力。下面我们通过一个例题，解释截面法求解轴力的具体过程。

例5-1设直杆AB上作用有一对反向力F，如图5-1(a)所示，试计算截面m—m处的轴力。图5-1截面法求内力

解

(1)将直杆AB在m—m截面处假想截开，分为AC、CB两段，即Ⅰ、Ⅱ两部分,如图5-1(a)所示。

(2)取AC段，并画出m—m截面(C截面)上的内力FN(CB段对AC段的作用力),如图5-1(b)所示。

(3)由于AB杆上所有力都在水平方向，故取向右为x轴正向(竖直向上为y轴，此处可不必画出)，建立坐标系，如图

5-1(b)所示。由静力学平衡方程有

∑Fx=0，FN－F=0

解得

FN=F5.1.3轴力图

例5-2等截面直杆AD受力如图5-2(a)所示。已知F1=

10kN，F2=20kN，F3=16kN，试作AD杆的轴力图。

解

(1)为了求解方便，先求出A点的约束反力，画AB杆受力图如图5-2(b)所示，建立坐标系，列平衡方程：

∑Fx=0，－FA+F1－F2+F3=0

得

FA=F1－F2+F3=10－20+16=6kN

(2)求各段轴力，各截面均假设为受拉，轴力为正，坐标系与上同。

AB段1—1截面：应用截面法(以下各段同)，取左侧为研究对象，如图5-2(c)所示，列平衡方程：

∑Fx=0，FN1－FA=0

得

FN1=FA=6kN

BC段2—2截面：沿2—2截面截开，如图5-2(d)所示，取左侧为研究对象，列平衡方程：

∑Fx=0，FN2+F1－FA=0

得

FN2=FA－F1=6－10=－4kN

负号说明图中FN2的方向与实际方向相反，即2—2截面受压，或BC段压缩变形。

CD段3—3截面：沿3—3截面截开，如图5-2(e)所示，取右侧为研究对象，列平衡方程

∑Fx=0，F3－FN3=0

得

FN3=F3=16kN

(3)作轴力图：轴力图如图5-2(f)所示。

从图中可直观地看出：杆件AB、CD段轴力为正，是拉伸变形，BC段轴力为负，是压缩变形；最大轴力在CD段，其值为16kN。图5-2截面法求内力

5.2轴向拉伸(压缩)时横截面上的应力

5.2.1应力的概念

我们知道，相同的拉力作用在材料相同、粗细不等的两根直杆上时，随着外力的增加，总是较细的杆先被拉断。可见，杆件是否破坏不仅与内力有关，还与杆横截面的面积有关。我们这样定义：内力在横截面的分布集度称为应力。在截面m—m上围绕任意点K取微面积ΔA，如图5-3(a)所示。设ΔA上的内力为ΔF，则微面积ΔA上的平均应力Pm为

(5-1)

当微面积ΔA趋近于零时，平均应力Pm的极限值越接近K点的应力，故K点的应力可表示为

(5-2)应力是单位面积上的内力。应力是矢量。通常将其分解为垂直于截面的分量σ及与截面相切的分量τ。垂直于截面的应力σ称为正应力，相切于截面的应力τ称为切应力(也称剪应力)，如图5-3(b)所示。

应力的国际单位是帕斯卡，记作Pa(帕)，1Pa=1N/m2。图5-3应力的概念5.2.2拉伸(压缩)杆横截面上的应力

确定横截面上的应力，必须研究横截面上内力的分布规律。因为力与变形有关，所以先观察并分析拉伸(压缩)杆的变形。取一等截面直杆，在其表面画两条与杆轴线垂直的横向线ab和cd，在ab和cd间画与轴线平行的纵向线(图5-4(a))。然后在杆两端沿轴线施加拉力F(图5-4(b))，杆发生拉伸变形。可观察其变化(图5-4(b))：①所有纵向线伸长，且伸长量相等；②横向线ab和cd分别沿轴线相对平移到a′b′和c′d′，仍为直线，且仍与纵向线垂直。根据这一现象可作如下假设：变形前为平面的横截面，变形后还是平面，且仍与轴线垂直，只是沿轴向发生了平移，此假设称为平面假设。根据平面假设，任意两横截面间的各纵向线的伸长量均相同，即变形是相同、均匀的。由材料的均匀连续假设可知：若各纵向线的变形相同，它们的受力也应相等，故轴力在横截面上是均匀分布的

(图5-4(c))，即横截面上各点的应力大小相等，方向与轴力FN相同，垂直于横截面。综上所述，拉(压)杆横截面上的正应力计算公式为

(5-3)式中：σ为横截面上的正应力，FN为横截面上的轴力，A为横截面面积。由于帕(Pa)单位太小，故工程中应力的单位常采用兆帕(MPa)或吉帕(GPa)。

1GPa=103MPa

1MPa=103kPa=106Pa=1N/mm2图5-4直杆变形示例

例5-3一正方形砖柱分上、下两层，其尺寸和受载荷情况如图5-5(a)所示，已知F=100kN，试求砖柱的最大工作应力。图5-5砖柱

解

(1)首先画出砖柱的轴力图，如图5-5(b)所示。

(2)由于砖柱是由两段不同截面的等截面杆组成的，所以要求出各段的应力，然后比较，才能确定其最大工作应力究竟在哪一段以及其具体值。

AB段应力：

由公式(5-3)得

同理，BC段应力为

由此可见，最大应力发生在AB段，σmax=10MPa，为压应力。

5.3杆件拉伸与压缩时的变形

5.3.1杆件拉伸与压缩时的变形和应变

当将杆件沿杆轴线拉伸时，其横向截面将减小(图5-6(a))；将杆件压缩时则相反，轴线缩短时，横向截面增大(图5-6(b))。设杆的原长为L，直径为d，变形后的长度为L1，直径为d1，则杆的绝对变形为

ΔL=L1－L(轴向绝对变形)

(5-4)

Δd=d1－d(横向绝对变形) (5-5)

拉伸时ΔL为正，Δd为负；压缩时则相反。图5-6等截面直杆变形示例绝对变形与杆件的原尺寸有关，不能准确衡量杆件的变形程度。因此，为了消除原尺寸的影响，用单位长度内杆的变形即线应变(或相对变形)来反映杆的变形程度，则杆的相对变形为

(轴向线应变)

(5-6)

(横向线应变)

(5-7)

ε和ε′都是无量纲的量，它们的正负号分别与ΔL和Δd的正负号一致。5.3.2泊松比

试验表明，当应力不超过某一限度时，横向线应变e′和轴向线应变e之间存在以下关系：

e′=－me

(5-8)

式中，m称为横向变形系数或泊松比，是无量纲的量。5.3.3虎克定律

轴向拉伸和压缩试验表明，当杆横截面的应力不超过某一限度时，杆的绝对变形ΔL与轴力FN和杆长L成正比，与杆横截面的面积A成反比，即

(5-9)

式中，常数E称为弹性模量，常用单位为GPa。在应用式(5-9)时，在长度L内，其FN、E及A均为常量。分析式(5-9)可知，当FN、L及A为确定的数值时，E值越大，ΔL就越小，说明E值反映了材料抵抗拉伸(压缩)变形的能力，是材料的刚度指标；当FN和L为确定的数值时，EA值越大，ΔL就越小，说明EA值反映了杆件抵抗拉伸(压缩)变形的能力，称为杆件的抗拉(压)刚度。若将和代入式(5-9)，可以得到虎克定律的另一种表达式：

σ=Eε

或

(5-10)

式(5-10)表明，当杆横截面的应力不超过某一限度时，应力与应变成正比关系。

弹性模量与泊松比都是反映材料弹性的常量，可通过试验测定。几种常用材料的E和μ值见表5-1。

例5-4图5-7(a)所示为阶梯形钢杆，已知F1=20kN，F2=8kN。各段杆的横截面面积分别为A1=400mm2，A2=

200mm2，杆长l1=l2=80mm，l3=100mm，材料的弹性模量E=200GPa。试求杆的最大应力、杆的绝对变形。图5-7阶梯形钢杆

解

(1)求各截面内力，画轴力图。

BD段内力：

FNBD=F2=8kN

AB段内力：

FNAB=F2－F1=8－20=－12kN

(2)求最大应力。因为AB、BC段面积相同，但AB段内力比BC段大，所以只计算AB段应力，然后和CD段应力比较，找出最大值。

由公式(5-3)可知：

可以看出，最大应力发生在CD段，且σmax=40MPa。

(3)求杆的绝对变形。由公式(5-9)得总绝对变形量为

整个杆件伸长了0.016mm。

5.4材料在拉伸与压缩时的力学性能

5.4.1低碳钢的拉伸试验

静载荷拉伸和压缩试验是研究材料的力学性能最常用

的试验。试验用的材料，须按国标规定加工成标准试件

(图5-8)，标准试件的相关规格可参阅有关国家标准。图5-8拉伸试件试验在万能试验机上进行。试验时，将试件的两端装卡在上、下夹头中，然后对其缓慢加载，直到把试件拉断为止。一般试验机均有自动绘图装置，在试验过程中能自动绘制拉力F和对应的绝对变形ΔL的关系曲线，此曲线称为F－ΔL曲线或拉伸图。图5-9为低碳钢Q235的FN－ΔL曲线。图5-9低碳钢拉伸时的FN-ΔL曲线由于试件标距L0和横截面面积影响ΔL的大小，因此，当试件规格不同时，即使是同一材料，其拉伸图也不同。为了消除试件几何尺寸的影响，反映材料本身的力学性能，将载荷F除以横截面面积A得到应力σ，将绝对变形ΔL除以试件标距L得到应变ε，这样得到的就是σ－ε曲线或称应力—应变图。图5-10为低碳钢Q235的σ－ε曲线。图5-10低碳钢拉伸时的σ－ε曲线

1.弹性阶段Oa′

由图5-10可看出，Oa是直线，这说明在该段范围内应力与应变成正比，材料符合虎克定律，即σ=Eε。弹性模量E为直线的斜率，E=σ/ε=tanα。直线部分的最高点a对应的应力值σp称为材料的比例极限。Q235钢的比例极限σp≈

200MPa。

2.屈服阶段bc

当应力超过弹性极限后，σ-ε曲线上出现了一段接近水平的锯齿形线段bc，说明这一阶段应力虽有小的波动，但不再增大，而应变却迅速增长，好像材料失去了抵抗变形的能力，这种现象称为材料的屈服。bc段即为屈服阶段。屈服阶段的最低应力值σs称为材料的屈服点应力或

屈服极限。Q235钢的屈服极限σs≈235MPa。图5-11滑移线

3.强化阶段cd

屈服阶段后，出现上凸的曲线cd，表明要使材料继续变形，必须增加应力，材料又恢复了抵抗变形的能力。这种现象称为材料的强化。cd段称为材料的强化阶段。曲线最高点d所对应的应力是试件断裂前所能承受的最大应力值σb，称为材料的强度极限。强度极限是衡量材料强度的另一个重要指标。Q235钢的强度极限σb≈400MPa。

4.颈缩阶段de

材料达到强度极限前，试件的变形是均匀的。而在此之后，变形将集中在试件薄弱的局部，纵向变形显著增加，横向收缩也显著加剧，出现颈缩现象(图5-12)。由于颈缩处横截面面积急速减小，所以试件很快被拉断。图5-12颈缩

5.塑性指标

试件被拉断后，弹性变形完全消失，残留下的是塑性变形，工程中用这种塑性变形来衡量材料的塑性。常用的塑性指标有两个：伸长率δ和断面收缩率ψ，即

(5-11)

(5-12)

6.冷作硬化

试验表明，如将试件拉伸到强化阶段内任一点f停止加载，并缓慢卸载至零，σ－ε曲线将沿着与Oa′近似平行的直线fg回到g点(图5-13(a))，图中gh表示消失的弹性应变，

Og表示残留的塑性应变。若试件卸载后短期内重新加载，则σ－ε曲线先沿着gf

上升至f点，再沿着原来的曲线fde直到试件被拉断(图5-13(b))。图5-13冷作硬化5.4.2低碳钢的压缩试验

金属材料的压缩试件一般做成短圆柱体，其高度为直径的1.5～3倍，以防止试验时被压弯。图5-14为低碳钢的压缩(实线表示)和拉伸(虚线表示)时的σ－ε曲线。图5-14低碳钢压缩时的σ－ε曲线5.4.3其他塑性材料的拉伸试验

通过对比低碳钢与其他塑性材料拉伸时的σ－ε曲线(图5-15)，可以发现它们的力学性能的一些异同。在拉伸的开始阶段，还有直线部分(青铜除外)，说明应力与应变仍成正比，符合虎克定律，但这些塑性材料并没有明显的屈服阶段。对于没有明显屈服阶段的塑性材料，工程上常采用名义屈服极限σ0.2作为其强度指标。σ0.2是产生0.2%塑性应变时所对应的应力值(图5-16)。图5-15其他材料的σ－ε曲线图5-16名义屈服极限5.4.4铸铁的拉伸与压缩试验

1.铸铁的拉伸试验

铸铁拉伸时的σ－ε曲线是一段微弯的曲线(图5-17)。图5-17铸铁拉伸时的σ－ε曲线

2.铸铁的压缩试验

对比铸铁压缩和拉伸时的σ－ε曲线(图5-18)，可知，压缩时也无明显的直线部分和屈服阶段，说明压缩时也是近似地符合虎克定律，且不存在屈服极限；变形很小时突然断裂，其破坏断面与轴线大约成45°角。试件断裂前所能承受的最大应力值σbc称为材料的抗压强度，也是衡量铸铁强度的重要指标。铸铁的抗压强度约是抗拉强度的4～5倍，塑性变形也较拉伸时有所提高。因此，工程中铸铁等脆性材料常做成受压构件。

表5-2列出了几种常用材料的力学性能。图5-18铸铁压缩时的σ－ε曲线

5.5拉伸与压缩时的强度计算

5.5.1材料的许用应力

材料能承受的应力都是有限度的，材料丧失正常工作能力时的应力即为极限应力。在工程实际中，因构件所受的载荷难以精确计算，材料的不均匀，采用近似的计算方法和构件的重要程度等因素的影响，构件的工作应力必须小于材料的极限应力。也就是说，为保证构件在工作时安全可靠，应

为构件留有一定的强度储备。构件在安全工作时所允许的最大工作应力称为许用应力，用［σ］表示。材料的极限应力除以大于1的安全系数n即得到材料的许用应力：

(塑性材料)

(5-13)

(脆性材料)

(5-14)应确定恰当的安全系数，以解决工程实际中安全性和经济性之间的矛盾。不同工作条件下的安全系数可从有关工程手册中查找。对于一般机械，安全系数为

ns=1.2~