2024-2025学年年八年级数学人教版下册专题整合复习卷18.2 勾股定理的逆定理(2)(含答案)-

2024-2025学年年八年级数学人教版下册专题整合复习卷18.2勾股定理的逆定理(2)(含答案)-18.2勾股定理的逆定理（2）知识领航1．应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型．2．体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养转化、推理的能力.AMENCB【例】如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离CAMENCB分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC是什么类型的三角形？（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.解：设MN交AC于E，则∠BEC=900.又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC=900.又∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE，则CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，∴CE=.÷≈0.85（小时），0.85×60=51（分）.9时50分+51分=10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.练习提高一、仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是()A.7,24,25B.3,4,5C.3,4,5D.4,7,82．在下列说法中是错误的（）A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形.B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形.C．在△ABC中，若a＝c，b＝c，则△ABC为直角三角形.D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形.3.有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（）A．2，4，8B.4,8,10C.6,8,10D.8,10,124．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数,,.5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为.6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为.二、认真解答，一定要细心哟！DBCA7．如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cmDBCA8．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？BB125C13DA9．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.BBACD.ACPB10．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求ACPB答案：1.B2.D3.C4.5，12，13;8，15，17;11，60，61（此题答案不唯一）5.3或6.120cm27.由BD2+DC2=122+162=202=BC2得CD⊥ABACPBE第10题图又AC=AB=BD+ADACPBE第10题图在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=，故△ABC的周长为2AB+BC=cm8.由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形，由面积关系可求出公路的最短距离BD=km，∴最低造价为120000元9.设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米）10．如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC,∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8.又∵PB2=1，BE2=9，∴PE2+PB2=BE2,则∠BPE=90°，∴∠BPC=135°.18.2勾股定理的逆定理◆回顾归纳1．如果△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，则△ABC是______三角形，_____=90°，这个定理叫做_______．2．一个命题成立，那么它的逆命题_______成立．◆课堂测控测试点一勾股定理的逆定理1．已知△ABC的三边长a，b，c分别为6，8，10，则△ABC______（填“是”或“不是”）直角三角形．2．△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=______．3．△ABC的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（）A．a=41，b=40，c=9B．a=1.2，b=1.6，c=2C．a=，b=，c=D．a=，b=，c=14．（分析判断题）在解答“判断由长为，2，的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：解：设a=，b=2，c=．因为a2+b2=（）2+22==c2．所以由a，b，c组成的三角形不是直角三角形，你认为小明的解答正确吗？请说明理由．测试点二逆命题与逆定理5．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）内错角相等，两直线平行；（2）对顶角相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．◆课后测控1．以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（）A．4组B．3组C．2组D．1组2．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）3．下列命题中，真命题是（）A．如果三角形三个角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形B．如果直角三角形两直角边的长分别为a和b，那么斜边的长为a2+b2C．若三角形三边长的比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形D．如果直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么斜边上的高h的长为4．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a=b，则a2=b2B．全等三角形的周长相等C．若a=0，则ab=0D．有两边相等的三角形是等腰三角形5．△ABC中，BC=n2－1，AC=2n，AB=n2+1（n>1），则这个三角形是______．6．如果三角形的三边长为1.5，2，2.5，那么这个三角形最短边上的高为______．7．A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示，则点C在点B的方位是_____．8．如图所示，四边形ABCD中，BA⊥DA，AB=2，AD=2，CD=3，BC=5，求∠ADC的度数．9．写出下列命题的逆命题，并判断真假．（1）如果a=0，那么ab=0；（2）如果x=4，那么x2=16；（3）面积相等的三角形是全等三角形；（4）如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个角是锐角；（5）在一个三角形中，等角对等边．10．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？◆拓展创新3，4，532+42=525，12，1352+122=1327，24，2572+242=2529，40，4192+402=412……17，b，c172+b2=c211．能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格所给出的三个数a，b，c，a<b<c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论．（2）写出当a=17时，b，c的值．答案回顾归纳1．直角，∠C，勾股定理的逆定理2．不一定课堂测控1．是2．90°点拨：BC2=AB2+AC23．C点拨：计算两短边的平方和与最长边的平方比较．4．不正确．因为<2，<2，且（）2+（）2=22，即a2+c2=b2，所以此三角形为直角三角形．5．（1）两直线平行，内错角相等．成立．（2）如果两个角相等，那么它们是对顶角，不成立．（3）如果两个三角形的对应角相等，则它们全等．不成立．（4）如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不成立．课后测控1．B点拨：有（1）（3）（4）三组．2．C3．D4．D5．直角三角形点拨：BC2+AC2=AB2．6．7．正南方向8．∵AB⊥AD，AB=2，AD=2，∴BD==4，∴AB=BD，∠ADB=30°，∵BD2+DC2=42+32=52，∴BD2+DC2=BC2．∴∠BDC=90°，∴∠ADC=120°．9．（1）的逆命题是：如果ab=0，那么a=0，它是一个假命题．（2）的逆命题是：如果x2=16，那么x=4，它是一个假命题．（3）的逆命题是：全等三角形的面积相等．它是一个真命题．（4）的逆命题是：如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角，它是一个假命题．（5）的逆命题是：在一个三角形中，等边对等角，它是一个真命题．10．先求AB=9，BC=12，AC=15，由AB2+BC2=AC2可得△ABC是直角三角形．所以S△PBQ=BP·BQ=×（9－3）×6=18cm2．拓展创新11．（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数．证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数．（2）运用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．18.2勾股定理的逆定理(一)一、判断题(每小题3分,共12分)1.在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角.()2.命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半.”的逆命题是真命题.()3.勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形.()4.△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形.()二、认真选一选(每小题5分,共25分)1.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A.如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B.如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C.如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形2.下列四条线段不能组成直角三角形的是（）A.a=8，b=15，c=17B.a=9，b=12，c=15C.a=，b=，c=D.a：b：c=2：3：43.以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（）A.5cm，12cm，13cmB.5cm，8cm，11cmC.5cm，13cm，11cmD.8cm，13cm，11cm4.⊿ABC中，如果三边满足关系=+，则⊿ABC的直角是（）A.∠CB.∠AC.∠BD.不能确定5.三角形的三边长a、b、c满足，则此三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形二、请你填一填(每小题5分,共25分)1.若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，则当m=，它是直角三角形.2.在⊿ABC中，若，则最大边上的高为.3.一个三角形的三边之比为，且周长为60cm，则它的面积是.4.三角形的两边长为5和4，要使它成为直角三角形，则第三边的平方为.5.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是.四、解答题(共38分)1.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴a=，b=，c=;⑵a=5，b=7，c=9;⑶a=2，b=，c=;⑷a=5，b=，c=1.2.（10分）如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？3.（10分）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？18.2勾股定理的逆定理(二)一、叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确(每小题4分,共16分)1.如果a3＞0，那么a2＞0.2.如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形.3.如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等4.关于某条直线对称的两条线段一定相等二、请你填一填(每小题5分,共25分)1.任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有.2.“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是.3.在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；若a2＜b2－c2，则∠B是.4.若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是三角形.5.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为.三、解答题(共59分)1.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；⑶a=2，b=，c=4；⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）2.（8分）铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？3.（6分）若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，判断△ABC的形状.4.（8分）已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC.求：四边形ABCD的面积.5.（8分）已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD.求证：△ABC中是直角三角形.6.（9分）如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3