专题08 锐角三角形及其应用（解析版）

专题08锐角三角形及其应用目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01锐角三角函数与三角形综合题型02锐角三角函数与四边形综合题型03锐角三角函数与圆综合题型04锐角三角函数与圆及四边形综合题型05锐角三角函数与圆及三角形综合题型06锐角三角函数与函数综合题型0712345模型题型08锐角三角形应用-仰角俯角问题题型09锐角三角形应用-方位角问题题型10锐角三角形应用-坡度坡角问题题型11锐角三角形应用-与不易测量相关问题题型12锐角三角形应用-与可调节的滑动悬杆问题（时间：60分钟）题型01锐角三角函数与三角形综合1．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在锐角三角形ABC中，tanA=3,BC=5，线段BD､CE

【答案】5316【分析】利用特殊角的三角函数值求得∠A的度数，利用三角形的高的意义求得∠ACE=∠ABD=30°，利用含30°角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质定理得到S△ADE=14S△ABC，作出△ABC的外接圆，得出当点【详解】解：∵tan∴∠A∵BD、CE分别是AC∴CE∴∠ACE∴AD∴AE∵∠A∴△ADE∴S∴S∴当△ABC面积最大时，三角形ADE作出△ABC的外接圆，如

点A为优弧BC上的点，且∠A∵BC∴当点A为优BC的中点时，BC边上的高最大，即△ABC的面积最大，此时AB∴△ABC∵S△ABC∴三角形ADE面积的最大值是53故答案为53【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，利用三角形的性质求得△ABC2．（2023·河南南阳·三模）小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，他们对两块大小不等的等腰直角三角板摆放不同的位置，做了如下探究：

(1)将两块三角板的直角顶点重合，如图1，在△ACB和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=CE，当点①由题意可得△ACD≌△A．SSS

B．SAS

C．ASA

D．AAS②直接写出AD与BE的数量关系___________．(2)将两块三角板的锐角顶点重合，如图2，在△ACB和△DCE中，∠CAB=∠CDE=90°，AC=AB，CD=DE，点A(3)将小三角板的锐角顶点与大三角板的直角顶点重合，如图3，在△ACB和△EDC中，∠ACB=∠EDC=90°，AC=BC=4，CD=ED．将△【答案】(1)①B；②AD(2)不成立，见解析(3)2或3【分析】（1）①根据∠ACB=∠DCE=90°可推出∠ACD=∠BCE（2）根据题意可得∠DCE=∠ACB=45°，CBCA=2（3）连接BF，过点E作EF⊥AB于点F，分两种情况进行讨论即可：①当∠BCE在BC左边时，②当∠【详解】（1）解：①∵∠ACB∴∠ACB-∠DCB在△ACD和△AC=∴△ACD故选：B；②由①可得△ACD∴AD=（2）解：不成立．∵△CDE和△∴∠DCE=∠ACB=45°，∴∠ACB∴∠ACD=∠BCE∴△ACD∴BEAD即BE=故（1）中BE和AD的数量关系不存在；（3）解：连接BF，过点E作EF⊥AB于点①当∠BCE在BC∵∠ACB=∠EDC=90°，∴∠CED∴点C，D，E，B四点共圆，∴∠DBE=∠DCE∵∠EDC∴∠CBE∴sin∠设BE=在Rt△BCE中，根据勾股定理可得则42+5k2=∴BE=2,∵∠DBE=45°，∴BF=BE⋅∵∠BCE=∠BDE∴△CBE∴EFBE=DF解得：DF=2∵AC=∴AB=∴AD=

②当∠BCE在BC同理可得：DF=22，∴AD=

综上：AD的长为2或32【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关定理和性质，正确画出辅助线，根据题意进行分类讨论．3．（2023·重庆沙坪坝·二模）等边△ABC中，点D为直线AB上一动点，连接DC

(1)如图1，在平面内将线段DC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CE，连接BE．若D点在AB边上，且DC=5，tan∠(2)如图2，若点D在AB延长线上，点G为线段DC上一点，点F在CB延长线上，连接FG、AG．在点D的运动过程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB-(3)如图3，将△BDC沿直线BC翻折至△ABC所在平面内得到△BD'C，M点在AB边上，且AM=14AB，将MA绕点A逆时针方向旋转120°得到线段AN，点H是直线AC上一动点，将△MNH沿直线MH翻折至△MNH所在平面内得到【答案】(1)2(2)见解析(3)21【分析】（1）作DF⊥AC，求出DF长，再求出AD，证明△ACD（2）作DE∥AC，交AG的延长线于点E，由条件∠FAB=∠E，AC=DE，再证明出△（3）判断出点D'在过B且平行于BC的直线上，点N'定在以M为圆心，MN为半径的⊙M上，连接DN'，作直线MD'，交NH于F，作DE⊥M【详解】（1）解：如图1，作DF⊥AC于点

∵tan∠∴CF∵DC=∴DF∴DF=1，∵∠A∴AD=∵∠ACB∴∠ACD∵AC=BC∴△ACD∴BE=AD（2）DG=如图2，作DE∥AC，交AG的延长线于点E，

∵∠GAF∴∠GAF=60°，即∵DE∥∴∠ADE=120°，即∴∠FAB∵FB∴FB∵∠FBA∴△FAB∴AB∴AC∵AC∥DE∴∠E∵∠DGE∴△DHE∴DG（3）如图3，若将△BDC沿直线BC翻折得到△BD∴点D'在过B且平行于BC将△MNH沿直线MH翻折得到△MN∴点N'定在以M为圆心，MN为半径的⊙过M作MD'⊥BD'于则D'连接DD'，作直线MD'，交NH于F，作

由题得点H在⊙M上，且MF∵AM=14AB∴AM∵∠MAF∴MF=AM由折叠得，∠MHN∴FH∴N∵∴M∴D∠D∴M∵∠D∴D∴E∴EF∴SS△S△∴S【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等等知识点的综合应用，解直角三角形、点的轨迹的判断、直线与圆的位置关系是解题关键．题型02锐角三角函数与四边形综合4．（2023·山东青岛·一模）【阅读与思考】我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sin【探究与应用】(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是______；(2)若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为，试猜想S1，S2(3)如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2=AE⋅AD，这个矩形发生变形后为▱A1B1C1D1，E1为E【答案】(1)2(2)1sin(3)45°【分析】（1）根据平行四边形的性质得到α=60°（2）如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为（3）由已知条件得到△B1A1E1∽△D1A【详解】（1）解：∵平行四边形有一个内角是120°，∴α=60°∴1sin故答案为：23（2）解：1sin如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴S∴S则1sin（3）解：如图2，∵AB∴A1B1∵∠B∴△B∴∠∵A1∴∠∴∠由（2）知，1sin可知1sin∴sin∠∴∠A∴∠A【点睛】本题考查了相似综合题，需要掌握平行四边形的性质，矩形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质等知识点，正确的理解“变形度”的定义是解题的关键．5．（2023·吉林长春·模拟预测）【实践操作】如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，E为边AB上一点，把△ADE沿着DE折叠得到△A'DE，作射线EA'交射线(1)求证：△A(2)当AE=2cm时，CF=(3)【问题解决】如图②，在正方形纸片ABCD中，取边AB中点E，AD=3cm，将△ADE沿着DE折叠得到△A'DE，作射线DA'交边BC于点G，点F为CD边中点，P是边BC上一动点，将△CFP沿着FP折叠得到【答案】(1)见解析(2)7(3)3【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，翻折变换，锐角三角函数，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质．（1）根据AAS可证明：△A（2）设EH=（3）如图②，连接CC'，EG，根据对称和等腰三角形的性质可得△DCC'是直角三角形，由三角形中位线定理得P是CG【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD∴AD∵FH∴FH由折叠得：AD=A'∴∠DA'∵AB∴∠HEF∴△A'DF（2）解：设EH=∵△A'DF∴A∵AE∴EF在Rt△EHF中，∴(∴x∴CF=故答案为：74（3）解：如图②，连接CC'，∵CC'∴CC'∵F是CD∴DF∴DF∴△DC∴C∴DG∵F为CD∴P是CG∵E为AB的中点，AD∴A'E设BG=则EG∵∠B=∠EA'∴Rt△EBG∴BG在Rt△∵D∴(∴y∴CG∴CP∴tan故答案为：346．（2023·吉林长春·模拟预测）【操作一】如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N．点E是AB边上的一点，连结CE，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点B'落在MN以下是小明同学的部分解答过程，请你补充完整．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠∵MN∴MB=NC∵M是AB∴MB由折叠，得CB=∴CN在Rt△sin∠∴∠CB'【操作二】在图①的基础上继续折叠，如图②，点F是CE边上的一点，连结AF，将正方形纸片沿AF所在直线折叠，点D的对应点D'落在MN上．求证：△BCE≌【应用】在图②的基础上，如图③，G、H分别是CE、AF的中点，顺次连接B'、G、D'、H，若AB=2，直接写出点H【答案】【操作一】B'C，30【分析】[操作一]由所给证明过程可推导得出答案；[操作二]先由①得∠CB'N=30°，进一步证明∠BCB'=∠CB'N=30°，再由折叠可得[应用]先根据△BCE≌△DAF，证明BE=DF和CE=AF，以及AE=CF，进一步证明四边形AECF是平行四边形，以及四边形AEGH是平行四边形，得到GH=AE，再设GH=AE=x，则B'E=BE=【详解】解：[操作一]∵四边形ABCD是正方形，∴AD//BC，∠∵MN∴MB=NC∵M是AB∴MB由折叠，得CB=∴CN在Rt△sin∠∴∠C故答案为：B'C，[操作二]∵MN∴∠BC由折叠可得∠BCE=∠B'CE∴∠BCE同理∠DAF∴∠BCE在△BCE和△∠BCE∴△BCE≌△[应用]如图，连接HG，∵△BCE≌△∴BE=DF∴AE∴四边形AECF是平行四边形，∴CE∥∵G、H分别是CE、AF∴EG∴四边形AEGH是平行四边形，∴GH设GH=AE=∵∠C∴∠C∵∠ME∴∠ME∵MN∴ME∵M是AB∴AM∴EM∴2-解得x=2即点H、G之间的距离为23【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形性在应用，勾股定理的计算及三角形全等的证明是解题关键．7．（2023·浙江宁波·一模）【基础巩固】（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上与点B不重合的任意一点，EF=AE，∠AEF=90°，点G是射线证明思路：在AB上截取BK=BE，因为AB=【尝试应用】（2）如图2，在矩形ABCD中，点E是边BC上与B不重合的任意一点，tan∠FCG=EFAE=2，∠AEF【拓展提高】（3）如图3，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，连结BE，作∠EFG=∠EBF，使点F，G分别落在边BC，CD．上．若2BE=5【答案】（1）见解析；（2）12；（3）【分析】（1）先证明∠BAE=∠CEF，证明△EAK≌△（2）作∠AEM=∠F，交线段AB于点M，证明△AEM∽△（3）过点G作∠FGH=∠EFG，即EF∥GH．△EBF∽△FGH，得出GHFG【详解】证明：（1）∵∠AEF∴∠AEB又∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC∴∠AEB∴∠BAE在△EAK和△AE=∴△EAK∴∠AKE∵BK=BE，∴∠FCG（2）作∠AEM=∠F，交线段AB∵∠AEF∴∠AEB又∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠AEB∴∠BAE∴△AEM∴AMEC又∴∠BME∴BE∴AB（3）如图，过点G作∠FGH=∠EFG∴∠BFE∵∠∵∠∴∠BEF∴△EBF∴GH∵tan设CG=a，则CF=3则GH=∴sin【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形性质与判定，解直角三角形，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．题型03锐角三角函数与圆综合8．（2023·广西梧州·二模）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D(1)求证：AB为⊙O(2)若AB=10，sin∠ABC=【答案】(1)见解析(2)AD的长为2【分析】（1）作OE⊥AB于点E，由∠AOD=∠BAD（2）先根据锐角三角函数，求出AC、BC的长，由S△AOB+S△COB=S△本题考查了切线的性质与判定，角平分线定理，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．【详解】（1）证明：作OE⊥AB于点E，则∵⊙O与BC相切于点C∴BC⊥∵AD⊥BO交BO的延长线于点∴∠C∵∠CBD+∠BOC=90°，∴∠CBD∵∠AOD∴∠ODA∴∠CBD∴OC=∴点E在⊙O∵OE是⊙O的半径，且AB∴AB是⊙O（2）解：∵ACAB=sin∴AC=∴BC=∵S△∴12∴12∴OC=3∴OA=AC-∵ABOA∴AD=9．（2023·广东深圳·模拟预测）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且tan∠A=34，M为线段AB的中点，作DM⊥AB，点P在线段CB上，点Q在线段

(1)求线段DM的长度；(2)求tan∠(3)当△MPE是等腰三角形时，求出线段AQ【答案】(1)15(2)4(3)258或【分析】（1）在Rt△AMD中，AM=（2）证明∠ACM（3）证明△AMQ∽△PME，故当△MPE是等腰三角形时，则△AMQ为等腰三角形．然后分①当AM=AQ=5时，【详解】（1）∵DM⊥∴△ADM∵M为线段AB的中点，AB=10∴AM=在Rt△AMD则DM=（2）连接CM，

在Rt△ABC中，∵∴CM=∴∠MBC∵MP=∴∠MCB∴∠MBC在Rt△ABC中，tan∠∴tan∠（3）∵∠QMA+∠QMD∴∠QMA在Rt△ABC中，∵∴CM=∴∠ACM∵MQ=∴∠ACM∴∠ACM∴△AMQ∴当△MPE是等腰三角形时，则△①当AM=此时AQ=5②当AM=∴∠A∵∠AQM∴此种情况不存在；③当AQ=∴∠A∵∠A+∠ADM∴∠DMQ∴DQ=∴AQ=∴AQ=在Rt△AMD中，则AQ=综上，AQ=258【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．10．（2023·浙江杭州·三模）如图1，三角形ABC内接于圆O，点D在圆O上，连接AD和CD，CD交AB于点E，∠

(1)求证：AB是直径；(2)如图2，点F在线段BE上，AC=AF①求证：DE=②若AB=kAD，用含k的表达式表示【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②k【分析】（1）先根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABC（2）①先根据等腰三角形的性质可得∠AFC=∠ACF，根据三角形的外角性质可得∠AFC=∠ACE②过点A作AH⊥CD于点H，设DE=DA=xx>0，BC=y，则AB=kx，cosB【详解】（1）证明：由圆周角定理得：∠ADE∵∠ADE∴∠ABC∴∠ACB∴AB（2）证明：①∵AC=AF∴∠AFC∴∠AED由圆周角定理得：∠DAE∴∠AED∴DE②如图，过点A作AH⊥CD于点

设DE=DA=xx>0，在Rt△ABC中，∴cos设cosB=y∵∠CEF=∠AED，∠∴∠CEF∴BE∴AE由圆周角定理得：∠ADH在△ADH和△ABC中，∴△ADH∴DHBC=解得DH=∴EH由勾股定理得：AD∴x整理得：k2解得a=k2则cosB【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用、余弦等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．题型04锐角三角函数与圆及四边形综合11．（2023·湖南永州·二模）如图1，在正方形ABCD中，AC为对角线，点F，H分别在边AD，AB上，CF=CH，连结FH交

(1)求证：AC平分∠FCH(2)如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K，求证：KHCH(3)在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求cos∠【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明Rt△CDF≌Rt△CBH得到（2）根据全等三角形的性质和圆内接四边形的外角性质得到∠AHP=∠BHC，过K作KM⊥AB于（3）根据相似三角形的性质得到MHBH=KMBC=AMAB=AKAC=12，设MH=a，则BH=2a，BM=3a，AM=KM=3a【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠DCA在Rt△CDF和CD=∴Rt△∴∠DCF∴∠FCA∴AC平分∠FCH（2）解：∵Rt△∴∠DFC∵∠DFC是圆内接四边形AHPF∴∠DFC=∠AHP过K作KM⊥AB于M，则∠KMH∴△KMH∽△CBH∴MHBH=KM∴KHCH

（3）解：∵点K是线段AC的中点，∴AKAC由（2）中△AMK∽△ABC，知MH故设MH=a，则BH=2a，BM=3∴AF=在Rt△BCH中，在Rt△AHF中，∵CF=CH，AC平分∴EH=12FH=2∵过点A，H，F的圆交CF于点P，∠FAH∴∠FPH∴△FPH∽△∴FPEH=FH解得FP=410在Rt△CPH中，【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、圆内角四边形的外角性质、圆周角定理、锐角三角函数等知识，综合性强，难度较大，属于中考压轴题型，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．12．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=9，点E是边AD上一点，且AE=3，点F在边AB上，过点B、F、E作圆O，交边BC(1)求tan∠(2)若BG=EG，求(3)若x=2，求弧EF(4)若圆O经过矩形的两个顶点时，直接写出x的值．（注：sin19°=13，cos【答案】(1)12(2)154(3)35(4)3或32【分析】（1）由题意得∠FGE（2）连接EF，OE，证明Rt△BFG≌（3）证明△ABE∽△EGF，得出AEEF=（4）分两种情况：①若圆O经过矩形的顶点C时；②若圆O经过矩形的顶点D时；由勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵EF=∴∠FGE∵tan∠∴tan∠（2）解：连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A∴FG是圆O的直径，∴∠FEG在Rt△BFG和Rt△EFG中，∴Rt△∴BF=在Rt△AEF中，∵∴x2解得x=（3）解：∵BF=2∴AF=∵AE=3∴EF=∵AB=6∴BE=∵∠FEG=∠A∴△ABE∴AEEF∴GF=∴EG=10∴tan∠∴∠FGE∴∠FOE∴EF的长=54（4）3或32①若圆O经过矩形的顶点C时，∵DE=6，CD∴CE=6∵tan∠∴EF=3又∵AF∴AF=3∴BF=②若圆O经过矩形的顶点D时，过点G作GM⊥AD，垂足M落在则四边形CGMD是矩形，四边形ABGM是矩形，过点O作ON⊥AM于点延长NO交BG于点Q，∴EN=DN，∴DM=∴EG=∴EF=∵AF∴AF=∴BF=∴x的值为3或32【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，弧长公式，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确进行分类是解题的关键．13．（2023·江苏扬州·三模）已知在矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点O是边AB上的一点（不与点A重合），以点O为圆心，OA长为半径作圆，交射线AB

(1)如图1，当⊙O与直线BD相切时，求半径OA(2)当⊙O经过点C时，求∠(3)当⊙O与△BCD的三边有且只有两个交点时，求半径【答案】(1)32(2)725(3)32<OA【分析】（1）设⊙O与直线BD的切点为点E，连接OE（2）连接OC，设OC=a，则OB=4-a，利用勾股定理构造方程求得OC=a=（3）分三种临界情况：①当⊙O与边CD的切点为点E，连接OE，此时恰好有三个交点，②当⊙O恰好经过点C时，连接OC，③当点O与点【详解】（1）解：设⊙O与直线BD的切点为点E，连接OE

∴OE⊥∴∠DEO∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB∴∠DAB∵OD=∴△ADO∴DE=∵AB=4,∴BD=∴BE=5-3=2设AO=OE=∵OE∴r2解得：r=∴半径OA的长为32（2）解：连接OC，设OC=

∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵当⊙O经过点C∴OC=∴OB=4-∵∠B∴OB2+解得OC=a=∴OB=4-a∴sin∠OCB=（3）解：①如图所示：当⊙O与边CD的切点为点E，连接OE∴OE⊥∴四边形BOEC为矩形，∴OE=

∴由（1）得半径OA的长为32∴当32②当⊙O恰好经过点C时，连接OC

由（2）得半径OA的长为258∴当3≤OA<258时，⊙O③当点O与点B重合时，如图所示，满足条件，

∴当258综上可得：32<OA【点睛】题目主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，求正弦值，矩形的性质及勾股定理解三角形，正切函数的定义等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．题型05锐角三角函数与圆及三角形综合14．（2023·江西萍乡·二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D,AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG

(1)求证：CD是⊙O(2)延长AB和DC交于点E，若AE=4BE，求(3)在（2）的条件下，求FHAF【答案】(1)见解析；(2)35(3)12【分析】（1）根据角平分线的定义以及等边对等角得出∠DAC=∠ACO，证明AD（2）根据题意，设BE=x，则AB=3x，由AD∥（3）由（2）知：OE=2.5x,OC=1.5【详解】（1）证明：如图1，连接OC，

∵OA∴∠CAO∵AC平分∠∴∠DAC∴∠DAC∴AD∵∴OC∵OC是⊙∴CD是⊙（2）解：∵AE设BE=x，则∴OC∵AD∴∠COE∴（3）解：由（2）知：OE=2.5∴EC∵∴∠AGF∴∠AFG∵∠COE∴∠E∵∠∴△∴FH【点睛】本题考查了切线的判定，求角的余弦，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．15．（2023·广东惠州·一模）如图，PA是圆O的切线，切点为A，AC是圆O的直径，连接OP交圆O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交圆O于B，连接(1)求证：PO∥(2)求证：PB是圆O的切线；(3)若cos∠PAB=【答案】(1)见解析(2)见解析(3)5【分析】（1）圆周角定理，得到AB⊥BC，再根据（2）连接OB，证明△AOP≅△BOP（3）根据同角的余角相等，得到cos∠C=cos∠【详解】（1）证明：∵AC为⊙∴∠ABC=90°，即又∵AB∴PO（2）证明：连接OB，如图，∵PO∴∠POB=∠OBC∵OB∴∠OBC∴∠AOP在△AOP与△OA=∴△AOP∴∠OBP∵PA为⊙∴∠OAP∴∠OBP∴OB∵OB为⊙∴PB是⊙（3）∵∠PAB+∠BAC∴∠PAB∴cos∠在Rt△∵cos∠∴AC∴OA∵AC是⊙∴∠ABC∴∠PAO∵∠POA∴△∴POAC∴PO10∴PO【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强．熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键．16．（2023·上海宝山·二模）如图，已知半圆O的直径AB=4，C是圆外一点，∠ABC的平分线交半圆O于点D，且∠BCD=90°，联结OC交(1)当∠ABC=45°(2)当∠ABC=60°时，求(3)当△BOE为直角三角形时，求【答案】(1)OC=(2)OEEC(3)sin∠OCB的值为22【分析】（1）作OM⊥BC于M，联结OD，证明四边形OMCD是矩形，求得CM=OD=（2）同（1）作OM⊥BC于M，联结OD，可得四边形OMCD是矩形，求得CM=OD=OB=（3）分两种情况讨论，当∠EOB=90°时，同（1）可得四边形OMCD是矩形，再证明△OCB∽△BOM，利用相似三角形的性质求得BM【详解】（1）解：作OM⊥BC于M，联结∵∠BCD∴OM∥∵BD是∠ABC∴∠ABD∵OD=∴∠ABD∴∠CBD∴OD∥∴四边形OMCD是平行四边形，又∠BCD∴四边形OMCD是矩形，∴CM=∵∠ABC∴△OBM∴OM=∴OC=（2）解：作OM⊥BC于M，联结同理四边形OMCD是矩形，∴CM=∵∠ABC∴∠BOM∴BM=∴BC=2+1=3∵OD∥∴△DOE∴OEEC（3）解：作OM⊥BC于M，联结同理四边形OMCD是矩形，∴CM=当∠EOB∵∠COM+∠BOM∴∠OCB=∠BOM∴△OCB∴OBBM=BC解得BM=5-1∴BC=∴sin∠当∠OEB由垂径定理得DE=∴OE是线段BD的垂直平分线，∴DC=∴∠DCO∴sin∠综上，sin∠OCB的值为22【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．题型06锐角三角函数与函数综合17．（2023·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，抛物线L1:y=ax2+x(1)求抛物线L1(2)如图1，点D为直线AC下方抛物线上的一动点，DM⊥AC于点M,DN∥y轴交AC于点(3)如图2，将抛物线L1:y=ax2+x+c(a>0)沿着x轴向左平移后得到抛物线【答案】(1)y(2)线段DM的最大值是22，此时点D的坐标为(3)抛物线L2对应的函数表达式为y【分析】（1）用待定系数法可得抛物线L1对应的函数表达式为y（2）求出C(0,-2)，直线AC解析式为y=-x-2，设D(m,m2+（3）过A作AH⊥CP于H，过H作KR∥y轴交x轴于K，过C作CR⊥KR于R，由tan∠ACP=13，证明△AKH∽△HRC，得AKHR=HKCR=AHCH=13，设AK=p，【详解】（1）解：把A(-2,0)、B(1,0)代入4a解得a=1∴抛物线L1对应的函数表达式为y（2）解：在y=x2+x∴C由A(-2,0)，C(0,-2),设直线AC解析式为-k则直线AC解析式为y=-设D(m,∴DN∵OA∴△AOC∴∠ACO∵DN∥∴∠DNM∴△DNM∴DM∴DM∵-2∴当m=-1时，DM取最大值22，此时D的坐标为∴线段DM的最大值是22，此时点D的坐标为(-1,-2)（3）解：过A作AH⊥CP于H，过H作KR∥y轴交x轴于K，过C作∵tan∴AHCH∵∠AHK=90°-∠CHR∴△AKH∴AKHR∴HR=3AK设AK=p，HK=q，则∵CR=OK∴3q解得p=∴H-由H-125，-45联立y=-解得x=0y=-2∴P-∵y=x2+x-∴设抛物线L2解析式为y将P-32-5解得t=52∴抛物线L2对应的函数表达式为y=x【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平移变换，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．18．（2023·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+ba≠0与反比例函数y=kx(k≠0且x>0)交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接OB，若点P是y轴上一点，且△BOP是以OB为腰的等腰三角形，请直接写出点P【答案】(1)y=-24(2)点P的坐标为0,73或0,-73【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，锐角三角函数的应用，熟练的求解函数解析式是解本题的关键；（1）利用三角函数先求解A的坐标可得反比例函数的解析式，再求解B的坐标，可得一次函数的解析式，从而可得答案；（2）先利用勾股定理求解OB的长，再分两种情况建立方程求解即可．【详解】（1）解：过A作AE⊥x轴于点∵OA=213∴AEOA=解得AE=4∴OE∴A∵反比例函数y=kx(k∴k∴反比例函数解析式为y=-∵反比例函数y=kx(k∴-8m=-24，解得∴B∵一次函数y=ax+ba∴6解得a=∴一次函数解析式为y=（2）∵B∴OB设P点坐标为0,y，则OP=y∵△BOP是以OB∴OP=OB当OP=OB时，则有y=此时P点坐标为0,73或0,-当PB=OB时，则有解得y=-16或y=0(舍去此时P点坐标为0,-16，综上可知满足条件的点P的坐标为0,73或0,-73或19．（2023·山东济南·二模）如图，点B坐标为(-1,0)，点A在x轴的正半轴上，四边形BDEA是平行四边形，DF⊥x轴于点F，BD=35,tan∠DBA=2，反比例函数

(1)求反比例函数解析式及C点坐标；(2)若线段BD上一点P，使得∠DCP=∠(3)过点C作CG∥y轴，交DE于点G，点M为直线CG上的一个动点，H为反比例函数上的动点，是否存在这样的点H、M，使得以C、H、M为顶点的三角形与△ABE【答案】(1)反比例函数的解析式为y=12x，(2)P(3)存在H、M，使得以C、H、M为顶点的三角形与△ABE相似，M点的坐标为(6,0)或(6,-12)或(6,113【分析】（1）根据正切函数及勾股定理解三角形得出DF=6，BF=3，即可确定D(2,6)，代入反比例函数解析式即可求解；设C(t,12t)，过点C（2）过点P作PT⊥CD于点T，作PW⊥x轴于点W，过点B作BR⊥CD于点R，延长DC交x轴于点M，过点C作CK⊥x轴于点K，利用待定系数法确定直线（3）根据题分情况分析：当点C与点A为对应点时，点H在点C右侧的双曲线上，当点C与点B为对应点时，当点C与点E为对应点时，当点C与点A为对应点时，分别作出相应图形，然后利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）解：∵tan∠DBA∴DF=2∵DF⊥x轴于点∴DB2=DF∴BF=3∴DF=6∵点B坐标为(-1,0∴FO=2∴D(∵反比例函数y=kx∴k=12∴反比例函数的解析式为y=设C(t,12t)，过点C作CG⊥x轴于点

∵四边形BDEA是平行四边形，∴DE∥∴EH=∵CG⊥x轴，∴CG∥∴△ACG∴CGEH∵ACCE∴ACAE∴GCEH∴CG=∴2=12解得x=6∴C(6,2)；（2）如图，过点P作PT⊥CD于点T，作PW⊥x轴于点W，过点B作BR⊥CD于点R，延长DC交x轴于点M，过点

设直线CD的解析式为y=∵C(6m+n∴直线CD的解析式为y=-令y=0，得x∴M(∵FM=8-2=6,∴FM=∵∠DFM∴∠DMF∵∠CKM∴CM=2CK∴CD=∵BR⊥CD，∴BR=∴DR=∴BR=3∵∠DCP∴tan∠DCP∴PTCT∴CT=2∵PT⊥CD，∴PT∥∴DTPT∴PT=3∴CT=6∵DT+CT=∴DT=∴PT=∴DPDB∴BPDB∵PW⊥x轴，∴PW∥∴△BPW∴BWBF∴BW=1321∵B(-∴P(（3）存在，理由如下：根据图象得：△ABE∴当点C与点A为对应点时，点H在点C右侧的双曲线上，在x轴上取点Q(∵AC2∴AC2∴∠ACQ∴∠GCQ设直线CQ的解析式为y=∵C(6m1+∴直线CQ的解析式为y=-联立方程组y=-解得：x1=6y∴直线CQ与双曲线的交点为(6,2)和当点C与点B为对应点时，如图所示：

设H(过点H作HL∥x轴，交CG于点L，作EN⊥则EN=6,BN=9,∵∠HCL∴tan∠HCL∴HLCL=解得：m1=6（舍去），∴H(∴CH设M(6,∵△CHM∽△∴CHCM=∴7133解得：y=203∴M(6,203当点C与点E为对应点时，如图所示：作AS⊥BE于点∴AS=AB⋅EN∵∠HCL∴tan∠HCL∴HLCL=AS解得：m=6（舍去），m∴H(∴CH=∵△CHM∽△EBA∴CHCM=∴176514解得：y=11314∴M(6,11314当点C与点A为对应点时，如图所示：

设H(m,12m)，过点H作HL∥x轴，交则EN=6,AN=3,∵∠HCL∴tan∠HCL∴HLCL=解得：m1=6（舍去），∴H(∴CH设M(6,y)∵△HMC∽△∴CHCM=∴52-y解得：y=0或y∴M(6,0)或(6综上所述，存在H、M，使得以C、H、M为顶点的三角形与△ABEM点的坐标为(6,0)或(6,-12)或(6,11314【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等，理解题意，综合运用这些知识点，然后进行分情况分析是解题关键．20．（2023·江苏宿迁·二模）阅读下列材料：在九年级下册“5.2二次函数的图像和性质”课时学习中，我们发现，函数：y=a(x-k)2+h中a的符号决定图像的开口方向，a决定图像的开口大小，为了进一步研究函数的图像和性质，我们作如下规定：如图1，抛物线上任意一点（A）（异于顶点O）到对称轴的垂线段的长度（AB的长度）叫做这个点的“勾距”，记作m；垂足（B）到抛物线的顶点（O）的距离（BO）叫这个点的“股高”，记作h；点（A）到顶点（O）的距离（AO的长度）叫这个点的“弦长”，记作l；过这个点（A）和顶点（O）的直线（AO

由图1可得，对于函数y=（1）当勾距m为定值时①h=am②tanα=1（如：函数y=3x2中，当m=1（2）当偏角α为定值时m=1a（如：函数y=x2中，当α=45°时，利用以上结论，完成下列任务：如图2：已知以A为顶点的抛物线y1=12x-22与y轴相交于点B，若抛物线y2=a(1)函数y=2x2中，①当m=1时，h=________，②当(2)如图2：以A2,0为顶点作抛物线：y1=12x-22和y2=ax①当a>12时，设S=AC⋅OD，随a②若点M在抛物线y1上，直线AM与y2的另一个交点为N，记△BAM的面积为S1，△CAN的面积为S【答案】(1)①2；②3(2)①S=42；【分析】（1）①根据材料（1）勾距m为定值时，h=②当偏角α为定值时，l=（2）①根据题意，分别求得AC,②根据题意，分求得AM,AN，AC,【详解】（1）解：①函数y=2x2中，①当m=1时，h=am2=2×1故答案为：2，3．（2）①如图所示，过点D作DF⊥AE于点F，过点C作CG

以A2,0为顶点作抛物线：y1∴y以A为顶点的抛物线y1=12x由y1=12x∴B0,2∴AO=∴△AOB是等边三角形，∠则α=45°∴AC∵a∴y2=ax-22∴OD=∴S②当a>

由①可得AC=2a∴AC∵设∠MAE=∴AN=cos∴AN∴AC又∠NAC∴△∴S又4S∴1∴1解得：a=13【点睛】本题考查了二次函数的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握题目所给的材料是解题的关键．题型0712345模型21．（2023·广东深圳·二模）如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接BD交AC于点E，连接EF．给出4个结论：①BF=EF；②∠ABE=∠CEF；③A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】连接CD，利用全等三角形的判定与性质得到∠DCB=90°，则△CDB为等腰直角三角形；利用角平分线的性质定理和平行线分线段成比例定理得到BEDE=BFCF=2，则EF∥CD，利用平行线的性质得到∠FEB=∠CDB=45°，则ΔFEB为等腰直角三角形，则得①的结论正确；利用三角形的内角和定理得到∠【详解】解：连接CD，G，H为格点，如图，由题意得：AD=2，AB=4，CD=在△DCG和△DG=∴△DCG∴∠DCG∵∠CBH∴∠DCG∴∠DCB∴△DCB∴∠CDB∵∠DAC∴BEDE∵FG∴BFCF∴BEDE∴EF∴∠FEB∴∠FEB∴BF∴①的结论正确；∵∠CAB=∠CDB∴∠ABE∵EF∴∠CEF∴∠ABE∴②的结论正确；∵∠AED=∠EAB∴∠AED在Rt△tan∠∴tan∴③的结论不正确；∵∠CBD=∠CAB∴△BCE∴CECB∴CA∴④的结论正确．综上，正确的结论有：①②④．故选：B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，本题是网格题，熟练掌握网格的特性是解题的关键．22．（2023·河南郑州·三模）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB将纸片沿OB折叠，使A落在A'的位置，OB=5,tanA．-35,45 B．-4【答案】A【分析】本题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成，综合考查了矩形的性质，三角函数的应用，勾股定理等知识，构造方程是解题关键．过点A'作x轴的垂线，垂足为D，根据先求出AB、BC的长度，借助面积公式求出A'D【详解】解：如图，过点A'作x轴的垂线，垂足为D设A'D=∵四边形ABCO是矩形，∠OAB∴四边形ABA设AB=OC=∵OB=5，∴x2解得x=1由题意得A'∴△ABO由勾股定理得a2由面积公式得12联立①②解得a=45∴点A'的坐标为-故选：A．23．（2022·江苏无锡·一模）如图所示的网格是正方形网格，则tan∠PAB+tan∠PBA=，∠PAB+∠【答案】56【分析】根据正切的定义即可求得tan∠PAB+tan∠PBA的值，延长AP交格点于【详解】解：tan如图：延长AP交格点于点D，连接BD，则PD2=∴PD∴△DPB是等腰直角三角形，∠PDB=90°∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，故答案为：56，45【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的解析式为y=-x+m分别交x轴，y轴于A，（1）当直线AB经过点C时，m=（2）设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m【答案】212【分析】（1）将点点C(2,0)代入直线AB（2）如图所示（见详解），作OD=OC=2，连接CD．则∠PDC=45°，由（1）可知A(m,0)，B(0,【详解】解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x=2时，y=-2+m故答案为2．（2）如图所示，作OD=OC=2，连接CD．则∠PDC=45°，且又y∴OA=OB=m，当m<0时，∠∴∠CPA当m>0∵∠CPA∴∠BPA+∠OPC∴△PCD∴PDAB=CDPB，即故答案是：12．【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数图形的特点，几何图像的变换是解题的关键．题型08锐角三角形应用-仰角俯角问题25．（2024·江苏南京·模拟预测）今年除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度，如图，小李从B点出发，沿坡度i=5:12的山坡BA走了260米到达坡顶A点，亮亮则沿B点正东方向到达离A点水平距离80米的C点观看，此时烟花在与B、C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的正上方E点绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为45°，亮亮在C处测得E点的仰角为60°，（点A、B、C、D、E在同一平面内）．烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为430±5米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放高度（图中DE）是否属实？（参考数据：2≈1.414，【答案】说明书写的烟花燃放高度属实【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．过A作AG⊥BD于G，根据矩形的性质得到∠AGD=∠AGB=∠AFE=∠D=90°，AF=DG，AG=DF，设AG=5【详解】解：过A作AG⊥BD于G，AF⊥则四边形AGDF是矩形，∴∠AGD=∠AGB=∠AFE在Rt△ABG中，AB=260设AG=5k，∴AB∴k∴AG=100米．∵CG=80米，DF∴AF∵∠EAF∴∠AEF∴EF在Rt△CDE中，∠DCE=60°，∴180+CD∴CD∴DE=180+90+903∵426在430±5即425与435的范围内，答：说明书写的烟花燃放高度属实．26．（2024·江苏南京·一模）如图，山顶有一塔AB，在塔的正下方沿直线CD有一条穿山隧道EF，从与E点相距80m的C处测得A，B的仰角分别为27°，22°．从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．若隧道EF的长为323m，求塔AB的高．（参考数据：tan22°≈0.40，tan

【答案】33m【分析】延长AB交CD于点H，则AH⊥【详解】解：如图，延长AB交CD于点H，则AH

在Rt△ACH中，∵tan27∴CH=在Rt△BCH中，∵CH=在Rt△ADH中，∵tan45°=∴HD=由题意可得CE=80m，EF=323m，∴CD∴CH又∵CH=∴AH0.51+AH∴CH∴BH0.40=300∴AB=答：塔AB的高为33m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．27．（2024·陕西商洛·一模）数学兴趣小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：课题测量教学楼AB的高度测量方案示意图测得数据CD=4.7 m，说明图上所有点均在同一平面内参考数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin13°≈0.22，cos13°≈0.97请你依据此方案，求教学楼AB的高度．（结果保留整数）【答案】教学楼的高度约为13【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得四边形BDCE是矩形，则可得CG=BD，CD=BG=4.7m，然后分别在Rt△【详解】根据题意得：四边形BDCE是矩形，∴CG=在Rt△BCG中，∴BG=∴CG=在Rt△ACG中，∴AG=∴AB=答：教学楼的高度约为13m28．（2024·陕西西安·三模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长．（结果精确到1m，参考数据：sin70°≈0.94，cos【答案】58【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；延长AB交OF于点G，延长CD交OF于点H，根据题意可得：AG⊥OF，CH⊥OF，AG=60m，OF=24m，GH=AC，然后在Rt△AGO【详解】解：延长AB交OF于点G，延长CD交OF于点H，由题意得：AG⊥OF，CH⊥OF，AG=60在Rt△AGO中，∴GO∵∠HFE是△OFE的一个外角，∠HFE∴∠FEO∴∠FOE∴FO在Rt△EFH中，∴AC∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m题型09锐角三角形应用-方位角问题29．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走100米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离（精确度到1米）．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．sin53°≈0.80，【答案】A，B两点间的距离约107米【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，证得△BCD和△ABD是直角三角形是解决问题的关键．由三角形内角和定理证得△BCD和△【详解】解：根据题意得A，B，C三点共线，∵CE∴∠A∴∠CBD∴∠ABD在Rt△BCD中，∠BDC=90°-53°=37°，∴BD在Rt△ABD中，∠A=37°，∴AB答：A，B两点间的距离约107米．30．（2023·重庆·模拟预测）如图，四边形ABCD是某公园内的休闲步道．经测量，点B在点A的正东方向，AB=100米，点C在点B的正北方向，点D在点A的西北方向，AD=2002米，点D在点C的南偏西60°(1)求步道BC的长度；（精确到个位）(2)甲以90米/分的速度沿A→B→C→D的方向步行，同时乙骑自行车以300米【答案】(1)步道BC的长度为373米(2)两人可以在3分钟内相遇，理由见解析【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）过点D作DE⊥BC于E过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF是矩形，求得（2）解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）解：过点D作DE⊥BC于E过点A作AF⊥则四边形ABEF是矩形，∴EF=AB在Rt△DAF中，∠DAF∴AF=DF∴BE=200米，在Rt△DCE中，∠DCE=60°，∴CE=DE∴BC=BE答：步道BC的长度约为373米；（2）解：两人能在3分钟内相遇，理由如下：在Rt△DCE中，∠DCE∴∠CDE∴CD∴四边形ABCD的周长为300+3003∴(300+3003+2002故两人能在3分钟内相遇．31．（2023·重庆·模拟预测）如图，一艘巡逻船以每小时50海里的速度从正北向正南方向进行巡逻，在点A处测得码头C在其南偏东60°方向上，继续向正南方向航行2小时到达点B处，测得码头C在其北偏东30°方向上．

(1)求此时巡逻船所在点B处与码头C的距离；（结果保留根号）(2)巡逻船在点B处发现其南偏东75°方向上的点D处有一只正在非法捕鱼的渔船，于是立即调整方向以原速朝着点D处行驶，同时，巡逻船与停靠在码头C的海监船取得联系，渔船在码头C的南偏东15°方向上，海监船得到命令后整理装备用时10分钟，然后以每小时80海里的速度朝渔船行驶．求海监船从码头C到达渔船所在的点D处的时间；并据此判断海监船能否比巡逻船提前到达D处．（结果精确到百分位，参考数据：2≈1.41,【答案】(1)503(2)海监船从码头C到达渔船所在的，点D处用时1.21小时，且海监船能比巡逻船提前到达点D处【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解方位角的含义是解本题的关键．（1）先求解∠ACB=90°，AB=50×2=100（2）先求解∠CBD=75°,∠BCD=45°，∠BDC=60°．过点B作BE⊥DC于点【详解】（1）解：由题意，得∠BAC=60°，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∠ACB∴BC答：此时巡逻船所在点B处与码头C的距离为503（2）由题意，得∠CBD∴∠BDC

过点B作BE⊥DC于点在Rt△CEB中，∠CEB∴BE在Rt△DEB中，∠DEB∴DEBD=海监船用时为CE+巡逻船用时为BD50∵1.21+10∴海监船能比巡逻船提前到达点D处．答：海监船从码头C到达渔船所在的，点D处用时1.21小时，且海监船能比巡逻船提前到达点D处．32．（2024·重庆·一模）如图，车站A在车站B的正西方向，它们之间的距离为100千米，修理厂C在车站B的正东方向．现有一辆客车从车站B出发，沿北偏东45°方向行驶到达D处，已知D在A的北偏东60°方向，D在C的北偏西30°方向．(1)求车站B到目的地D的距离（结果保留根号）(2)客车在D处准备返回时发生了故障，司机在D处拨打了救援电话并在原地等待，一辆救援车从修理厂C出发以35千米每小时的速度沿CD方向前往救援，同时一辆应急车从车站A以60千米每小时的速度沿AD方向前往接送滞留乘客，请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到D处．（参考数据：2≈1.41,【答案】(1)(506(2)能【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题：（1）过点D作DE⊥AC于点E，得出BE=DE，BD=2DE，设BE=DE=x千米，则BD（2）分别求出AD,【详解】（1）解：过点D作DE⊥AC于点则∠由题意知，∠ADE=60°,∴△DBE∴DE设BE=DE=在Rt△ADE中，∴AE=∵AB+∴100+解得：x=50∴BD=即车站B到目的地D的距离为(506（2）解：根据题意得，∠又cos∠∴CD=又∵∠∴AD=2救援车所用时间为：100+100应急车所用时间为：1003∵4.5<4.55，∴救援车能在应急车到达之前赶到D处．题型10锐角三角形应用-坡度坡角问题33．（2024·河南周口·一模）2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山AB的山腰CN上有一个平台CD长为45m，从点C看山顶A的仰角为63°，山坡DE的坡度为i=1:2.4，该地准备利用斜坡DE建设一个滑雪场，且DE的长度为390m，若点D到地面BE的垂线段与BN构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山AB的高度．（精确到整数，参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45【答案】小山AB的高度约为356【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正方形的性质，先解直角三角形得到DMME=512，设DM=5xm，则ME=12xm，由勾股定理得到【详解】解：∵山坡DE的坡度为i=1:2.4∴DMME设DM=5xm在Rt△DME中，由勾股定理∴5解得x=30或x∴DM=30×5=150∵四边形NBMD为正方形，∴BN∴CN=在Rt△ANC中，∴AN∴AB答：小山AB的高度约为356m34．（2024·广东江门·一模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚B处出发，已知西面山坡的坡度i1=1:3（坡度：坡面的垂直高度与水平长度的比，即tanB=1:3）．同时，乙从东边山脚(1)求甲、乙两人出发时的水平距离BC．(2)已知甲每分钟比乙多走10米．两人同时出发，并同时达到山顶A．求：甲、乙两人的登山速度．【答案】(1)BC=(600(2)甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米；【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）过点A作AD⊥BC，根据坡度比设AD=3（2）设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为v+10分钟/【详解】（1）解：过点A作AD⊥由题意得：tanB=AD∴设AD=3x，则∴AC=AD∴AD=600，∴600BD=1:3∴BC=（2）解：由（1）得：AD=600，BD∴AB=设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为v+10分钟/由题意得：1200v+10=经检验：v=50则50+10=60，∴甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米；35．（2024·四川达州·模拟预测）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口CD的上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC高度为0.5m，AB宽度为9m，坡面的坡角为30°．3(1)根据图1求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD；(2)图2中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？【答案】(1)4.6(2)该车能进入该车库停车【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．（1）根据正切的定义求出BD，进而求出CD；（2）根据正弦的定义求出CE，根据题意解答即可．【详解】（1）解：在Rt△ABD中，∠BAD∴BD∴CD答：点C到坡面的铅直高度CD约为4.6m（2）解：在Rt△CDE中，∠CDE∴CE∵4.1>3.9，∴该车能进入该车库停车．36．（2023·山东青岛·模拟预测）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到173米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC．（结果精确到1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37【答案】工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为35米．【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．根据正切的定义分别求出CE、【详解】解：在Rt△DCE中，∵∠DCE=60°，∴CE=在Rt△BAE中，∵∠BAE=68°，∴AE=∴AC=答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为35米．题型11锐角三角形应用-与不易测量相关问题37．（2024·安徽合肥·一模）如图，为了测量湖泊东西方向的距离AB，测绘员在湖泊正东方向的D处（B，A，D在同一直线上）利用无人机升空测量，当无人机恰好在点D的正上方C处时，测得湖泊东岸A的俯角∠ECA为65°，测得湖泊西岸B的俯角∠ECB为22°，此时无人机距离地面的高度CD为200m，求湖泊东西方向的距离AB．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93【答案】湖泊东西方向的距离AB约为406.5m【分析】本题考查解直角三角形的应用．先在Rt△ACD中利用正切的定义计算出AD，然后在Rt△【详解】解：在Rt△ACD中，∠CAD∵tan∴AD在Rt△BCD中，∠B∵tan∴BD∴AB答：湖泊东西方向的距离AB约为406.5m38．（2024·浙江温州·一模）【问题背景】一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．【问题探究】如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角∠ACE的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角∠ADG的正切值为79，斜坡CD的坡比为34，两观测点学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．（1）计算C，D两点的垂直高度差．（2）求顶点A到水平地面的垂直高度．【问题解决】为了计算得到旗杆AB的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角∠BCE的正切值为2小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角∠GDB的正切值为1（3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆AB的高度．【答案】（1）C，D两点的垂直高度差DH=9m；（2）顶点A到水平地面的垂直高度AN=30m；（3）若选择小组一：旗杆AB的高度为24【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义．（1）作DH⊥CF交于点H，根据斜坡CD的坡比为34，CD=15m（2）延长DG交AB于M，延长CE交AB延长线于N，根据∠ACE的正切值为2，仰角∠ADG的正切值为79，得出ANNC=2，AMMD=79，设NC=a（3）根据测出的仰角或俯角的正切值，解直角三角形得出答案即可．【详解】解：（1）作DH⊥CF交于点∵斜坡CD的坡比为34∴设DH=3xm∴CD=∵CD=15∴5x解得：x∴CH=12m∴C，D两点的垂直高度差DH=9（2）延长DG交AB于M，延长CE交AB延长线于N，∵∠ACE的正切值为2，仰角∠ADG的正切值为∴ANNC=2，∵∠DMN∴四边形MNHD为矩形，∴DH=MN=9设NC=a，则AN=2a，∴AM解得a=15∴AN=30m，AM∴顶点A到水平地面的垂直高度AN=30（3）小组一：∵∠BCE的正切值为2∴BNNC∵NC=15∴BN∴AB小组二：∵∠GDB的正切值为1∴BMMD∵MD=27∴BM=∵AM=21∴AB39．（2023·海南海口·二模）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，点A、B、C、D(1)填空：∠BAC=________°，∠ADC(2)求点D到点A的距离；(3)求隧道AB的长．（结果保留根号）【答案】(1)75，90(2)点D到点A的距离为300米(3)隧道AB的长为1502【分析】（1）如图，过点D作DE⊥AB于点E，根据方位图易得∠ADC=90°，∠ACD=60°，根据三角形内角和定理可得（2）在Rt△ADC中，∠ACD（3）在Rt△ADE中，根据三角函数求出AE的长，在Rt△BDE中，根据三角函数求出本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】（1）解：如图如图，过点D作DE⊥AB于点∵∠DCG∴∠CDF又∵∠ADE∴∠ADC∵∠ACD∴∠DAC在Rt△ADE中，∴∠EAD∴∠BAC故答案为：75，90．（2）在Rt△ADC中，AD=答：点D到点A的距离为300米．（3）（3）如图1，过点D作DE⊥AB于点∵AB是东西走向，∴∠ADE=45°，在Rt△DE=在Rt△BE=∴AB=答：隧道AB的长为1502题型12锐角三角形应用-与可调节的滑动悬杆问题40．（2024·辽宁盘锦·一模）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.4cm，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin(1)如图2，∠ABC=70°，①填空：∠BAO=②投影探头的端点D到桌面OE的距离为_____cm．(2)如图3，将（1）中的BC向下旋转，当∠ABC=30°时，求投影探头的端点D到桌面【答案】(1)①160；②36(2)投影探头的端点D到桌面OE的距离为7.2【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．（1）①延长OA交BC于F，先证明OF⊥BC得到∠AFB=90°，再利用三角形外角的性质求出∠BAO的度数即可；②解Rt（2）如图所示，延长CD交OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，则四边形FMHO是矩形，由（1）得∠MBA=70°，OF=44cm，则MH=OF=44cm，求出∠MBC【详解】（1）解：①如图所示，延长OA交BC于F，∵BC∥OE，∴OF∴∠AFB∴∠BAO故答案为：160；②在Rt△ABF中，AB=40cm，∴AF∴OF∵CD∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为44-8=36cm故答案为：36；（2）解：如图所示，延长CD交OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点由（1）得∠MBA=70°，∴MH∵∠ABC∴∠MBC在Rt△MBC中，BC=45∴CM∴DH∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为7.2cm41．（2023·四川成都·模拟预测）桌面上的某创意可折叠台灯的实物图如图①所示，将其抽象成图②，经测量∠BCD=70°，∠CDE=155°，灯杆CD的长为30cm，灯管DE的长为20cm，底座AB的厚度为3cm【答案】45cm【分析】本题考查了解直角三角形的其他应用：过点D作AB的平行线DM，过点D作AB的垂线，垂足为点G，过点E作DM的垂线，垂足为点F．在Rt△DEF中，根据勾股定理，得EF≈14.1cm，在Rt△CDG中，【详解】解：如图，过点D作AB的平行线DM，过点D作AB的垂线，垂足为点G，过点E作DM的垂线，垂足为点F．∵∠BCD∴∠CDM∵∠∴∠在Rt△DEF中，∴EF=在Rt△CDG中，∴DG=∵底座AB的厚度为3∴点E到桌面的距离为14.1+28.2+3≈45cm答：台灯的高（点E到桌面的距离）约为45cm42．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）有一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，图1是台灯的平面示意图，其中点B，E，D均为可转动点，现测得AB=BE=(1)求放置最平稳时灯座CD与灯杆DE的夹角的大小；(2)当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm-43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°=0.26，【答案】(1)灯座DC与灯杆DE的夹角为60°；(2)此时光线不是最佳．【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）延长BE交DC于点F，由线段垂直平分线的性质可得EF⊥CD且（2）作AM⊥DC于点M，作BG⊥AM于点G，则四边形【详解】（1）解：延长BE交DC于点F，则由题可知EF⊥CD且∴cos∴∠D=60°，即灯座DC与灯杆DE的夹角为（2）解：作AM⊥DC于点M，作BG⊥AM于点∴∠GBF∵EF=∴GM=∵∠ABE∴∠ABG∴AG=AB∴AM=33.6+4.7=38.3∴此时光线不是最佳．（时间：60分钟）一、单选题1．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）点Psin30°,tan45°关于x轴的对称点为Q，点Q关于原点的对称点为A．12,-1 B．C．-12【答案】B【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，求出P12,1，然后根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，得出点Q【详解】解：点Psin30°,tan∴点P关于x轴的对称点Q的坐标为12∴点Q关于原点的对称点M的坐标为-12，故选：B．2．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，飞行员在空中观察地面的区域是一个圆，当观察角度为50°，飞机的飞行高度为1000米时，观察区域的半径是（

）米．A．1000tan25° B．1000tan25° C．【答案】A【分析】本题考查了正切函数，解直角三角形的应用；根据正切函数的定义即可完成求解．【详解】解：如图，∠CAB=12×50°=25°∵tan∠∴BC=1000故选：A．3．（2024·山西大同·一模）中考新考法：真实问题情境·实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，且AD=20cm,AB=160cm，连杆AB与底坐BCA．802cm B．803cm C．【答案】D【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质等知识，作DE⊥BC,AH⊥BC，垂足分别为点E和点H，作AF⊥DE于点F【详解】解：如图，作DE⊥BC,AH⊥BC，垂足分别为点E∴∠DEH=∠EHA∴四边形EFAH是矩形，∠BAF∴EF=AH,∵AD=20cm∴AH=ABsin∴EF=∴DE=故选：D4．（2023·安徽·模拟预测）如图，AB为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿CB为折痕折叠BC交AB于点M，连接CM，若点M为AB的黄金分割点（BM>AM

A．5-12 B．5+12 C【答案】A【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M'，连接CM'，BM'，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM'B，BC⊥MM'，从而可得∠BDM=90°【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M'，连接

由折叠得：∠CMB=∠CM∴∠BDM∵点M为AB的黄金分割点（BM>∴BMAB∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB∴∠ACB∵∠DBM∴△DBM∴DMAC∵四边形ACM'B是半∴∠A∵∠AMC+∠CMB∴∠A∴CA=在Rt△CDM中，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AD=5，tanB=2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B'、C'，当∠BEB

A．5+5 B．25+2 C．6【答案】D【分析】过C作CH⊥AD于H，过C'作C'F⊥AD于F，由菱形性质和正切定义求出HD=5，HC【详解】解：过C作CH⊥AD于H，过C'作C

由已知，AD=5，tan∴CD=5，tan∴设