专题04 二次函数与一元二次方程、不等式（考点清单+知识导图+ 9个考点清单-题型解读）（原卷版）

清单04二次函数与一元二次方程、不等式（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】四个二次的关系判别式二次函数(的图象一元二次方程()的根有两个不相等的实数根，()有两个相等的实数根没有实数根()的解集()的解集【清单02】一元二次不等式的解法（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程，计算判别式：①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；②时，求根；③时，方程无解（3）根据不等式，写出解集.【清单03】分式不等式的解法①移项化零：将分式不等式右边化为0：②③④⑤【考点题型一】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数）形如：（）或（）核心方法：十字相乘法+分类讨论法【例1】1．（24-25高一上·甘肃武威·期中）解下列不等式:(1)；【变式1-1】（24-25高一上·甘肃白银·期中）解不等式：(1)【变式1-2】（24-25高一上·四川成都·期中）求解不等式，并利用数轴表示解集.【考点题型二】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参）形如：（）或（）核心方法：十字相乘法+分类讨论法【例2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）（1）已知实数，解关于的不等式.【变式2-1】（24-25高一上·北京·期中）分别求下列关于的不等式的解集：(1).【变式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）已知(1)若不等式的解集为，求a，b的值;(2)若b=2，且求关于的不等式的解集.【变式2-3】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）解关于x的不等式．【考点题型三】一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法）核心方法：法【例3】（24-25高一上·广东广州·期中）设函数.(1)对，恒成立，求的取值范围.(2)解不等式.【变式3-1】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数．(1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；(2)解不等式．【考点题型四】一元二次不等式与对应函数、方程的关系核心方法：根与系数的关系：【例4】（多选）（24-25高一上·广东潮州·期中）已知不等式的解集为，下列说法正确的是（

）A．；B．，2是方程的两个实数根；C．；D．不等式的解集为或．【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集．【变式4-2】（24-25高一上·陕西西安·期中）若不等式的解集为，则；不等式的解集为【考点题型五】解分式不等式【解题方法】转化为一元二次不等式【例5】（24-25高一上·吉林·期中）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【变式5-1】（24-25高一上·福建三明·期中）不等式的解集是（

）A． B．或C．或 D．【变式5-2】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为.【考点题型六】一元二次不等式在上恒（能）成立核心方法：判别法+分类讨论法【例6】（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．【变式6-1】（24-25高一上·广东深圳·期中）一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是.【变式6-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为．【考点题型七】不等式在区间上恒（能）成立核心方法：变量分离法+基本不等式+对勾函数【例7-1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）若不等式对一切恒成立，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．【例7-2】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-1】（24-25高一上·北京大兴·期中）若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-2】（24-25高一上·北京·期中）命题“”为假命题的一个充分不必要条件是.【考点题型八】一元二次不等式的实际问题核心方法：分解因式解不等式【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为m.【变式8-1】（23-24高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（

）A．220元 B．240元 C．250元 D．280元【变式8-2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）某公司生产某种产品，其年产量为x万件时利润为万元.(1)当时，年利润为，若公司生产量年利润不低于400万时，求生产量x的范围；(2)在（1）的条件下，当时，年利润为.求公司年利润的最大值.【考点题型九】一元二次不等式中的新定义问题【例9】（23-24高一·江苏）定义两个函数的关系，函数，的定义域为，，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”．(1)若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由；(2)若是的“子函数”，求a的取值范围．【变式9-1】（23-24高三下·四川）设表示函数在闭区间I上的最大值．若正实数a满足，则正实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式9-2】（23-24高二上·广东广州）对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记．(1)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若，且，求使得等式成立的x的取值范围；(3)在（2）的条件下，求在区间上的最小值．提升训练一、单选题1．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·北京·期中）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．6．（24-25高一上·广东珠海·期中）命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·吉林长春·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．，或C． D．，或8．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（）A．或 B．或C．或 D．或二、多选题9．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）不等式的解集是，则下列选项正确的是（

）A．且B．不等式的解集是C．D．不等式的解集是10．（24-25高一上·全国·期中）已知关于x的不等式解集为，则（

）A． B．C． D．的解集为三、填空题11．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）不等式的解集为．12．（24-25高一上·云南昆明·期中）若“，”为假命题，则实数的取值范围为.四、解答题13．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数，，，.(1)若关于的不等式的解集为或x>2，求实数，的值；(2)当时，图像始终在图象上方，求实数的取值范围；(3)当时，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.14．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设函数，其中.(1)若，（i）当时，求的最大值和最小值;（ii）对任意的，都有，求实数的取值范围；(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围.15．（24-25高一上·陕西西安·期中）函数.(1)若的解集是或，求实数的值及函数在上的最值；(2)若，求的解集（用表示）.16．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的