专题08 对数与对数函数（考点清单+知识导图+ 16个考点清单-题型解读）（解析版）-25学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版必修一）

清单08对数与对数函数（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】对数概念1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.特别的：规定,且的原因：①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.2、常用对数与自然对数①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.把以为底的对数称为自然对数,并把记作说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.【清单02】指数式与对数式的相互转化当且，【清单03】对数的性质①负数和零没有对数.②对于任意的且,都有，，；③对数恒等式:（且）【清单04】对数的运算性质当且，,①②③（）④（）⑤（）【清单05】对数的换底公式换底公式：（且，，，且）特别的：【清单06】对数函数的概念1、对数函数的概念一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.判断一个函数是对数函数的依据（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.2、两种特殊的对数函数特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.【清单07】对数函数的图象及其性质函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域值域单调性增函数减函数【考点题型一】指数与对数综合运算【例1】（24-25高一上·云南昆明·期中）计算下列各式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知识点】指数幂的运算、对数的运算【分析】（1）由指数、对数运算法则运算即可；（2）由对数运算法则即可求解.【详解】（1）原式；（2）原式.【变式1-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）求值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知识点】指数幂的运算、对数的运算性质的应用、对数的运算【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质计算可得.【详解】（1）；（2）.【变式1-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）求下列各式的值．(1)(2)【答案】(1)0(2)【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用【分析】（1）利用指数幂的运算性质和对数的运算性质可得结果.（2）利用对数的运算性质化简可得结果.【详解】（1）原式.（2）原式.【考点题型二】指数式与对数式的相互转化核心方法：【例2】（23-24高三上·四川泸州·阶段练习）实数满足，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得，再结合对数的运算公式，即可求解.【详解】因为，可得，所以，则.故选：B.【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.【变式2-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【知识点】指数式与对数式的互化【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可.【详解】由，可得，，所以.故选：D.【变式2-2】（多选）（22-23高一上·广东惠州·期中）已知正实数，满足，且，则的值可以为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】AD【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值【分析】根据指对互化公式和指数的运算律即可求解.【详解】因为正实数，满足，且，所以，所以，所以，所以即解得或，当时，当时，故选：AD.【考点题型三】利用换底公式化简求值核心方法：换底公式：（且，，，且）特别的：【例3】（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）下列结论正确的有（

）A． B．C． D．若，则.【答案】AC【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、对数的运算【分析】根据对数的运算法则及换底公式一一计算可得.【详解】对于A：，，所以，故A正确；对于B：，，所以，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：因为，所以，，所以，故D错误.故选：AC【变式3-1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、指数幂的运算【分析】（1）根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可；（2）根据对数的运算性质结合换底公式计算即可.【详解】（1）原式；（2）原式.【考点题型四】有附加条件的对数求值问题【例4】（23-24高一上·江苏扬州·期中）（1）已知，，①求的值；②求的值；（2）已知，，①用，表示；

②用，表示．【答案】（1）①，②；（2）①，②【知识点】指数幂的运算、对数的运算性质的应用、对数的运算【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质及法则计算可得.【详解】（1）①因为，，所以；②，，；（2）①因为，，所以；②因为，，所以．【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则用表示.【答案】【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算【分析】根据题意利用换底公式以及对数运算求解即可.【详解】因为，，所以.故答案为：.【变式4-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示.【答案】【知识点】对数的运算【分析】根据条件，利用对数的运算，即可求解.【详解】因为，又，，所以.【变式4-3】（23-24高一上·广西·期中）（1）计算：.（2）设，，试用，表示.【答案】（1）2；（2）【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算【分析】（1）根据对数运算性质化简求值即可；（2）根据换底公式及对数运算性质化简求解即可.【详解】（1）.（2）.【考点题型五】对数函数概念辨析【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【知识点】对数函数的概念判断与求值【分析】根据对数函数的定义，即可判断.【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数；②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选：A【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知下列函数：①y＝log(－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝lnx(x＞0)；④，(x＞0，a是常数)．其中为对数函数的是(只填序号)．【答案】③【知识点】对数函数的概念判断与求值【分析】根据对数函数满足，且，判定即可【详解】由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，lnx的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数，当时，底数小于0，故④不是对数函数．故答案为：③【考点题型六】与对数函数有关的定义域问题【例6】（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为．【答案】【知识点】求对数型复合函数的定义域【分析】根据对数的真数大于、分式分母不为求解出结果.【详解】因为，所以，解得，所以定义域为，故答案为：.【变式6-1】（24-25高二上·上海·期中）函数的定义域为．【答案】【知识点】求对数型复合函数的定义域【分析】根据对数的性质求函数定义域.【详解】由题设，可得，即定义域为.故答案为：【变式6-2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是.【答案】【知识点】根据必要不充分条件求参数、求对数型复合函数的定义域【分析】先分别求出条件表示的集合，再由p是q的必要不充分条件，可得集合是集合的真子集，从而可求出实数的取值范围【详解】由，得，记为，由，得，且，当时，，因为p是q的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，则，所以；当时，，显然满足题意；当时，，则集合是集合的真子集，则，所以；综上所述，实数的取值范围为0,4，故答案为：0,4.【考点题型七】对数函数过定点问题核心方法：【例7】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（

）A．13 B． C． D．8【答案】C【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】先得出，再由基本不等式得出答案.【详解】当时，，即因为在直线上，所以当且仅当时，取等号，即的最小值为.故选：C【变式7-1】（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题【分析】利用指数函数与对数函数的性质求得两定点的坐标，从而得解.【详解】对于，令，得，，所以的图象恒过点，即；对于，令，得，，所以的图象恒过点，即；所以.故选：B.【变式7-2】（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则.【答案】【知识点】对数型函数图象过定点问题、求幂函数的值、求幂函数的解析式【分析】根据对数函数的基本性质求出定点的坐标，然后令，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式，由此可得出的值.【详解】对于函数（且），令，可得，此时，，所以，函数（且）的图象恒过定点，因为函数为幂函数，设，则，解得，所以，，故.故答案为：.【考点题型八】指数与对数函数的图象综合【例8-1】（23-24高一上·河南·期末）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】函数图像的识别、函数图象的变换、对数函数图象的应用【分析】利用的性质与函数值排除BCD，再利用函数的平移与对称变换判断A，从而得解.【详解】对于，必有，故CD错误；又，故B错误；将函数在轴下方图象翻折到上方可得函数的图象，再将其在轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象，进而将得到的函数图象向右平移1个单位，可得函数的图象，故A正确.故选：A.【例8-2】（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】函数图像的识别、对数函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用、指数函数图像应用【分析】利用函数经过点，求出，并代入选项，借助基本初等函数逐一判断即可.【详解】从函数（，且）的图象可知：该函数经过，所以，即，解得，对于选项A:，由指数函数可知在定义域上单调递减，故选项A错误；对于选项B:，当时，则，由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项B错误；对于选项C:该函数为，可看成的图象关于轴对称，对称后在单调递增，故选项C错误；对于选项D:，由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项D正确.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·江苏宿迁）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】函数图像的识别、对数函数图象的应用【分析】对比选项中的图象，再分别计算和时，的取值情况，即可作出选择．【详解】当时，，，则，排除选项B和C；当时，，排除选项A，选项D符合题意.故选：D【变式8-2】（多选）（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知，且，函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【知识点】函数图像的识别、对数函数图象的应用、指数函数图像应用【分析】讨论底数a，根据函数的单调性进行判断【详解】由，且，则，所以，若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数，且单调递减，又函数与关于y轴对称，所以曲线为增函数，选项B符合条件；若，则，曲线函数图象下降，即为减函数，且单调递增，又函数与关于y轴对称，所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件，故选：BC【考点题型九】对数型复合函数值域【例9】（24-25高三上·河南焦作·阶段练习）若函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求指数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值、求对数函数在区间上的值域【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解.【详解】函数在上单调递增，又，，故，令，而函数在上单调递增，则，所以函数的值域为.故选：D.【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的最小值是.【答案】2【知识点】求对数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域、基本不等式求和的最小值【分析】先求出函数的定义域，然后利用基本不等式求得内层函数的值域，然后利用对数函数的单调性求得外层函数的值域，即可解答.【详解】根据题意得到，，解得，即，则的定义域是．由于函数.化简得到，由于，则，当且仅当，即时取最值．所以，则的最小值是2．故答案为：2【变式9-2】（23-24高三上·上海黄浦·期中）函数在区间上的最小值为.【答案】【知识点】基本不等式求和的最小值、对数的运算性质的应用、求对数函数在区间上的值域【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.【详解】，因为，所以，故，故，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.【变式9-3】（23-24高一上·广东·期中）已知函数.(1)求方程的根；(2)求在上的值域.【答案】(1)(2)【知识点】指数式与对数式的互化、求对数函数在区间上的值域、求二次函数的值域或最值、求指数函数在区间内的值域【分析】（1）利用一元二次方程的解法，结合对数的定义，可得答案.（2）根据复合函数的性质，结合对数函数、指数函数、二次函数的单调性，可得答案.【详解】（1）由，可得，整理可得，分解因式可得，由，解得，则.（2）由，根据函数在上单调递增，则，令，，根据二次函数的性质，则，由函数在上单调递增，则.【考点题型十】对数型复合函数值域（可化为一元二次函数型）核心方法：换元法（特别题型：换元必换范围）【例10-1】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是．【答案】【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数函数在区间上的值域【分析】先由题意求得的定义域，再利用换元法与二次函数的性质即可得解.【详解】因为，所以的定义域满足，解得，因为在上单调递增，所以令，又，则，易知在上单调递增，则当时，；当时，，所以的值域为.故答案为：.【例10-2】（23-24高一上·安徽淮北·阶段练习）已知函数.(1)若，求方程的解集；(2)当时，求函数的最小值.【答案】(1)(2)【知识点】求二次函数的值域或最值、对数的运算性质的应用、求对数函数在区间上的值域、对数函数单调性的应用【分析】（1）根据对数的运算化简方程即可得出解集；（2）根据二次函数的对称轴，分类讨论，即可求出函数的最小值.【详解】（1），若，则，令，则方程为，解得：或，则或，∴或，∴方程的解集为.（2）∵，∴，令，则在上的最小值等价于在上的最小值，对称轴为.当，即时，；当，即时，；当，即时，.综上，.【点睛】关键点睛：二次函数求最值问题，需要根据开口方向及对称轴研究函数的最值，对称轴与定义域的关系，分3种情况讨论即可，属于中档题.【变式10-1】（23-24高一下·安徽合肥·期末）函数的最小值为．【答案】/【知识点】求二次函数的值域或最值、对数的运算性质的应用、求对数函数在区间上的值域、复合函数的值域【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解.【详解】因为，令，则，则，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【变式10-2】（23-24高一下·河北石家庄·期中）函数的定义域为.(1)设，求t的取值范围；(2)求函数的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值【答案】(1)(2)的最大值为12，此时；最小值为，此时.【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求对数函数在区间上的值域、与二次函数相关的复合函数问题、求对数函数的最值【分析】（1）根据对数函数的单调性求出的取值范围；（2）在（1）的基础上，化简得到，求出最值和对应的x的值.【详解】（1）在单调递增，故；（2），令，，则函数变形为，当时，，此时，解得，当时，，此时，解得【考点题型十一】对数型复合函数的单调性问题核心方法：复合函数求单调性法则（特别题型，容易忽视定义域而造成错解）【例11】（23-24高一上·河北唐山·期中）函数的单调增区间为．【答案】（也对）【知识点】对数型复合函数的单调性【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数的单调性同增异减来求得单调增区间.【详解】由得，解得，所以的定义域是.函数的开口向下，对称轴为，函数在0,+∞上单调递减，根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是.故答案为：（也对）【变式11-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得.【详解】由题意可得，解得或，由，则其在上单调递减，在上单调递增，又为单调递增函数，故的单调递减区间.故选：B.【变式11-2】（24-25高三上·江苏泰州·期中）函数的单调递增区间为．【答案】【知识点】对数型复合函数的单调性【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来求得单调递增区间.【详解】由，解得或，所以的定义域为.函数在上单调递增，的开口向上，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间是.故答案为：【考点题型十二】根据对数型复合函数的单调性求参数核心方法：复合函数求单调性法则【例12】（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为.【答案】【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数、函数不等式恒成立问题【分析】根据对数函数性质分析可知：在上单调递增，且gx>0，结合二次函数列式求解即可.【详解】因为在定义域0,+∞内单调递增，由题意可得：在上单调递增，且gx>0，则，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.【变式12-1】（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间上单调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得的取值范围.【详解】令，则，∵，∴在上单调递减，由复合函数的单调性可知，在单调递减，∴，则，∴故选：D【变式12-2】.（24-25高三上·广东惠州·期中）已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】判断命题的充分不必要条件、对数型复合函数的单调性【分析】根据对数函数与二次函数的性质，结合复合函数的单调性判别，建立不等式，利用充分条件与必要条件的定义，可得答案.【详解】若函数在上单调递增，则，解得，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.【考点题型十三】利用对数函数单调性比大小核心方法：单调性【例13】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】由对数函数的底数小于1得到函数单调递减，判断出，的大小关系，又判断出，大于1，小于1，从而得出结论.【详解】由于在单调递减，故，又∵，∴.故选：A.【变式13-1】（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）已知，，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】比较对数式的大小【分析】利用对数函数单调性可比较大小.【详解】因对数函数，在上单调递增，则，即.故选：A【变式13-2】（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】比较对数式的大小【分析】根据对数函数的性质判断即可.【详解】因为，所以，又，所以，即.故选：C【考点题型十四】利用对数函数单调性解不等式核心方法：单调性【例14-1】（23-24高一下·湖北·期中）已知函数.(1)若在上单调递减，求的取值范围;(2)若，解不等式.【答案】(1)(2)【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由对数（型）的单调性求参数【分析】（1）在上单调递减，所以，求出函数的定义域，则为其定义域的子集，求解即可.（2）利用对数的加法运算化简解析式，然后利用对数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）依题意在上单调递减，所以，所以由，解得，所以，

解得，即的取值范围是.（2）依题意，即，从而有

解得或，

即不等式解集为.【例14-2】（23-24高一上·山东泰安·期中）函数.(1)如果时，有意义，求实数的取值范围；(2)当时，值域为，求实数的值；(3)在（2）条件下，.解关于的不等式.【答案】(1)(2)0(3)答案见解析【知识点】由对数函数的单调性解不等式、解含有参数的一元二次不等式、根据对数函数的值域求参数值或范围、求对数型复合函数的定义域【分析】（1）变换，令，计算最值得到答案.（2）令，的值域包含，考虑和两种情况，计算得到答案.（3）确定，函数单调递增，得到，考虑，，，几种情况，解得答案.【详解】（1），，即，令，，则恒成立，，，故，a的取值范围为.（2）令，的值域包含，①时，，其值域为，满足条件；②时，，令，，，函数为开口向下的抛物线，的值域为，不满足条件；综上所述：.（3），定义域为，，函数单调递增，，即，即，且，①当时，解集为或；②当时，解集为；③当时，解集为或；④当时，解集为；【变式14-1】（24-25高一上·吉林延边·期中）已知函数.(1)求函数的定义域；(2)判断奇偶性，并加以证明；(3)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)偶函数，证明见解析(3)【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式【分析】（1）由且求解；（2）利用函数奇偶性的定义求解；（3）将转化为求解.【详解】（1）解：由题意得：且，解得，所以函数定义域为；（2）因为的定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数；（3），则<3，化简得且，解得或.【变式14-2】（23-24高一上·河北·期末）已知函数.(1)判断函数的奇偶性；(2)判断函数的单调性；(3)若，求实数的取值范围.【答案】(1)奇函数(2)在上单调递增(3)【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式、对数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断【分析】（1）求出函数定义域，根据函数奇偶性的定义，即可判断出函数的奇偶性；（2）将变形为，根据复合函数的单调性的判断方法，即可判断出答案；（3）根据函数的单调性，可列出不等式组，即可求得答案.【详解】（1）由题意得函数定义域为，关于原点对称，则，故函数为奇函数；（2）由于，由于函数在上单调递减，而在上单调递减，故在上单调递增；（3）因为在上单调递增，故成立，需满足，解得.【考点题型十五】对数函数综合问题（单调性，奇偶性，恒成立，不等式，值域等综合问题）核心方法：单调性【例15-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，关于的不等式的解集为，且.(1)求的值；(2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)或【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、由对数函数的单调性解不等式【分析】（1）先根据，求出不等式的解，结合可得的值；（2）利用换元法，把函数转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解.【详解】（1）由可得，又，所以，又因为的解集为，所以，因为，所以，即，解得或，因为，所以；（2）由（1）可得，令，则，设，①当时，在上单调递增，则，解得，符合要求；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，又，故；③当时，在上单调递减，，解得，不合题意；综上所述，存在实数或符合题意.【例15-2】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为奇函数.(1)求实数的值；(2)解不等式；(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)0,1(3)【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求对数函数在区间上的值域、由奇偶性求参数、指数不等式【分析】（1）由奇函数定义得f−x=−fx（2）由（1）得出解析式，结合指数函数性质解不等式即可；（3）借助（2）中解析式求出值域，利用换元法求出的值域，由题意得出，进而得出的取值范围.【详解】（1）函数中，，因为为奇函数，所以f−x=−fx整理得，所以.（2）由（1）可知，其定义域为，由得，即，整理得，解得，所以不等式的解集为0,1.（3）由（2）知，，当时，，故，所以在上值域为，又，，令，则，所以当时，，当时，，所以函数在上值域为，因为对任意的，总存在，使得成立，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为.【例15-3】（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数(1)求函数的解析式；(2)判断并证明在定义域上的单调性；(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围．【答案】(1)，，(2)在R上单调递增；证明见解析(3)．【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题【分析】（1）将代入可得解析式，利用结合可得解析式；（2）证明当时，即可；（3）不等式可化简为，后令，结合双沟函数单调性可得答案.【详解】（1）由题意，过点，即，解得，所以，．为R上的奇函数，，解得，即，其定义域为R，关于原点对称，且，故此时为奇函数；（2）在R单调递增.设，则，因为，，，所以，于是在R上单调递增；（3）由在区间上恒成立，得，即，令，，则，令，，设，，根据对勾函数单调性知在0,1上单调递减，而为单调递增函数，则根据复合函数单调性知：在上单调递减，，若关于的不等式在区间上恒成立，则，又为正实数，．【变式15-1】（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数为奇函数.(1)求实数a的值；(2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】求指数型复合函数的值域、求对数型复合函数的值域、由奇偶性求参数【分析】（1）首先可得函数的定义域，根据奇函数的性质得到，求出参数的值，再检验即可；（2）首先求出在上的值域，再利用换元法求出在上的值域，依题意，即可得到不等式组，解答即可.【详解】（1）由题意可得，函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，可得，经检验，对于，成立，所以．（2）由（1）可得，因为，所以，，，，，所以当时的值域，又，，设，，则，当时，取最小值为，当时，取最大值为，即在上的值域，又对任意的，总存在，使得成立，即，所以，解得，即实数m的取值范围是．【变式15-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数.(1)当时，求该函数的值域；(2)若对于恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2).【知识点】求对数函数的最值、函数不等式恒成立问题【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性进行求解即可；（2）根据（1）的结论，通过常变量分离，结合构造函数、结合基本不等式进行求解即可.【详解】（1），，，令，则，易知单调递减，该函数值域为即；（2）令，则在上恒成立，当时，恒成立，；当时，等价于恒成立，令.当且仅当时取等号，.综上，.【变式15-3】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数(1)试判断函数的单调性，并证明你的结论；(2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)在上单调递增，证明见解析(2)【知识点】由对数函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性【分析】（1）利用函数的单调性的定义以及对数函数的性质进行证明；（2）遇到恒成立的问题，经常转化为求最值的问题，从而得出关于a的不等式组，求解即可.【详解】（1）在其定义域上单调递增.证明如下：设任意，则有：，，，，，，，在上单调递增，，即.函数在上单调递增.（2）由（1）知：当时，，由不等式对恒成立，得，为单调递增函数，，，解得.实数a的取值范围【考点题型十六】对数函数中新定义问题【例16】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数.(1)当时，判断函数在上是否“友好”；(2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围.【答案】(1)在上“友好”(2)【知识点】函数新定义、函数不等式恒成立问题、求对数函数的最值、根据对数函数的最值求参数或范围【分析】（1）判断函数的单调性，利用单调性求出最值，即可判断；（2）根据单调性求出函数的最值，即可得到，参变分离得到，换元，利用函数的单调性求出的最大值，即可求出参数的取值范围.【详解】（1）当时，，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，所以，，所以，即，有，所以当时，函数在上是“友好”的.（2）依题意可得在上单调递减，则，，则有，即，即，可得，即，令，因为，则且，则，令，，令，令任意的且，则，即，所以函数在上单调递减，同理可得在上单调递增，又，，当或时，取最大值，此时，于是当或时，取最大值，依题意，又对于任意的，恒成立，即恒成立，因为，所以，即，所以，此时，综上可得的取值范围是.【变式16-1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”．(1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由；(2)若函数在定义域上是“和一函数”．①求的值；②求的取值范围．【答案】(1)不是“和一函数”；理由见解析(2)①；②．【知识点】求对数函数在区间上的值域、函数新定义、对勾函数求最值、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】（1）举出反例即可；（2）①根据函数单调性得到，对任意，，存在，使成立，则，根据集合包含关系得到，则，②表达出，，由对勾函数单调性得到取值范围.【详解】（1）在区间上的函数不是“和一函数”，理由如下：在上是减函数，，当时，对任意，，不符合“和一函数”的定义，故在区间上的函数不是“和一函数”；（2）①在上是增函数，，∴值域，又在定义域上是“和一函数”，对任意，，存在，使成立，则，，，则，即，，则，②，即，，，解得，则，令，，在上是减函数，在上是减函数，∴在上是减函数，则，，故的取值范围为．【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.【变式16-2】.（2024·上海金山·二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”．(1)若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由；(2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：；(3)已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值．【答案】(1)不是，理由见解析(2)证明见解析(3)的所有可能值为或【知识点】函数新定义【分析】（1）结合题目所给定义分别计算即可得；（2）结合定义可得，，即可得解；（3）记集合，，结合定义可得，再分、、讨论即可得.【详解】（1）不是关于的“函数”．解法一：当时，，所以不存在，使得解法二：因为函数()的值域为，比如取，则，不存在，使得；（2）设．由题意，存在，使得．因为函数是关于的“函数”，所以存在，满足，从而．同理，由是关于的“函数”，可得，综上，；（3）记集合，．由是关于的“函数”，得，①当时，，，从而，解得，因唯一，令，解得(舍)或(舍)；②当时，，，从而，解得，因唯一，令，解得，符合题意；③当时，，，从而，解得，因唯一，令，解得，符合题意；综上，的所有可能值为或．【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助集合，，得到，从而对、、讨论.提升训练1．（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（

）A．−2 B． C． D．【答案】B【知识点】指数幂的运算、对数的运算【分析】结合对数的运算，化简可得，得到并解出方程组即可.【详解】由题可得：，即，所以，解得：.所以.故选：B.2．（24-25高一上·江苏·期中）（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【知识点】对数的运算【分析】运用对数运算性质计算即可【详解】由，，则，故选：C3．（24-25高三上·福建宁德·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（

）A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃【答案】C【知识点】指数式与对数式的互化【分析】由题意得到，进而求解即可.【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min代入题中式子得：，即，即.故选：C.4．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案.【详解】在单调递减，时，,即,另外，0<a<1时，单调递减，在单调递增，综上所述，的取值范围是.故选：A5．（辽宁省名校联合体2024-2025学年高三上学期期中检测数学试题）函数是奇函数，则的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】由奇偶性求参数【分析】由即可求解.【详解】是奇函数，故，则，解得，经验证符合.故选：D6．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】由幂函数性质比较，再结合指数函数性质即可得解.【详解】因为，所以.故选：A.7．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求对数函数在区间上的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】根据分段函数值域，以及对数函数在区间上的值域，夹逼出一次函数在区间上的值域与的关系，列出关于的不等式求解即可.【详解】当时，单调递增，又，故在上的值域为，又在上的值域为，故是在上的值域的子集；又当x<1时，；当时，显然不满足题意；当时，在上单调递减，故在上的值域为不满足题意；当时，在上单调递增，故在上的值域为，若满足题意，则，即，故.综上所述，的取值范围为.故选：B.8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、研究对数函数的单调性【分析】由已知得出函数图象的对称中心，函数是奇函数，从而得出函数为周期函数，得最小正周期，利用周期性及奇偶性可化简计算函数值．【详解】依题意函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，因为，故函数的周期为4，则，而，所以由可得，而，所以，解得.故选：D.二、多选题9．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（

）A．2 B．0 C． D．【答案】CD【知识点】研究对数函数的单调性、根据全称命题的真假求参数【分析】进行参变分离，设，判断函数的单调性，求出最值即可求出的取值范围，即可求解．【详解】因为命题“”为真命题，所以．令，根据增函数减去减函数知：为增函数，当时，有最小值，故实数的取值范围为．故选：CD．10．（24-25高三上·河南三门峡·期中）在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，下表为不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料30.70.80.9设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【知识点】对数的运算、比较对数式的大小【分析】根据对数的运算法则和单调性求解即可.【详解】由换算公式和图表可知，，，，又因为函数在0,+∞上单调递增，所以对于A：，说法正确；对于B：，说法错误；对于C：，，，说法正确；对于D：，说法错误；故选：AC三、填空题11．（24-25高三上·青海西宁·阶段练习）已知函数在区间1,2上单调递增，则实数的取值范围是【答案】【知识点】由对数（型）的单调性求参数【分析】分析可知，内层函数在1,2上为减函数，且，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】令，因为外层函数在0,+∞上为减函数，且函数在区间1,2上单调递增，所以，内层函数在1,2上为减函数，且，即，解得.因此，实数的取值范围是.故答