2024-2025学年年八年级数学人教版下册专题整合复习卷21.2 二次根式的乘除(含答案)

2024-2025学年年八年级数学人教版下册专题整合复习卷21.2二次根式的乘除(含答案)21.2二次根式的乘除情境感知二次根式的乘除法在物理学中有着广泛的应用．某单摆在摆角很小的情况下，单摆摆动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比．由此即可计算出某地区某一单摆的摆动周期．基础准备一、二次根式的乘除1．计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？（1）___________，（2）___________；（3）___________，（4）___________．一般地，对二次根式的乘法规定___________________________________________．问题1．计算下列各题：（1）；（2）；（3）；（4）．2．计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？（1）___________，（2）___________；（3）___________，（4）___________．一般地，对二次根式的除法规定___________________________________________．问题2．计算下列各题：（1）；（2）；（3）；（4）．二、最简二次根式一个二次根式如果满足如下两个条件：（1）__________________________，（2）___________________________________．这样的二次根式叫做最简二次根式．问题3．下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二根式的请说明理由．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．要点探究探究1．二次根式的乘除例1．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．解析：根号外的系数相乘除，二次根式相乘除，结果相乘．答案：（1）；（2）；（3）；（4）．智慧背囊：两个二次根相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变．当除数是分数或分式时，可转化为乘法运算，运算时尽量地分解出完全平方数（或式），把开得尽方的因数（或式）用它的算术平方根代替，写到根号外面，运算的结果一定要最简．活学活用：计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．探究2．积的算术平方根的性质例2．化简下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．解析：运用积的算术平方根的性质进行计算．答案：（1）；（2）；（3）；（4）．智慧背囊：二次根式化简时，若被开方数是单项式时，先把系数化成平方数乘以它们质因数的形式，若被开方数是多项式，先要进行因式分解，化成乘积的形式，然后利用积的算术平方根的性质进行化简．活学活用：化简下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．探究3．商的算术平方根的性质例3．化简下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．解析：当被开方数是带分数时，应先将带分数化成假分数．当被开方数含有多项式时，应适当进行因式分解，以简化运算过程．答案：（1）；（2）；（3）；（4）．智慧背囊：求商的算术平方根，等于被除式的算术平方根与除式的算术平方根的商．活学活用：化简下列二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）．探究4．二次根式的大小比较例4．比较大小．（1）与；（2）与；（3）与．解析：利用二次根式的性质比较大小，需要把根号外的因数移到根号内，比较被开方数的大小，进而确定两个二次根式的大小关系．答案：（1），，∵，∴，∴．（2），=．∵4445，∴，∴，即．（3），，∵180150，∴，∴，即．智慧背囊：二次根式的大小比较，要把根号外的因数移到根号内，比较开方数的大小，比较时注意符号，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．活学活用：比较大小．（1）与；（2）与；（3）与．探究5．二次根式的综合应用例5．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则它们离开港口1.5小时后相距多远？解析：结合题意作出草图，理解两船的方向恰成90o角．应用勾股定理和二次根式的性质即可解题．答案：1.5小时后第一艘轮船驶出的距离是161.524（海里），第二艘轮船驶出的距离是121.518（海里），它们离开港口1.5小时后的距离是：（海里），答：它们离开港口1.5小时后相距30海里．智慧背囊：本题的关键是把问题转化到一个直角三角形中考虑，相当于已知直角三角形的两直角边，求直角三角形的斜边，使问题简化．活学活用：小明在微机课上设计了一幅矩形图片，已知矩形的长为cm，宽为cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助小明求出圆的半径．随堂尝试A基础达标1．选择题（1）化简得（）（A）28．（B）28．（C）11．（D）784．（2）下列各式计算正确的是（）（A）．（B）．（C）．（D）．（3）把化成乘积的形式，其结果为（）（A）．（B）．（C）．（D）．（4）计算得（）（A）．（B）．（C）．（D）．（5）下列二次根式中，最简二次根式是（）（A）．（B）．（C）．（D）．（6）如果成立，那么（）（A）．（B）．（C）．（D）为一切实数．2．填空题（1）计算：_____________，_____________．（2）计算：_____________．（3）设，则_____________．（4）一个矩形的面积为，其中一边长是，则另一边长是_____________．（5）已知函数，则自变量的取值范围是_____________，若是整数，此函数的最小值是_____________．3．计算：（1）；（2）；（3）．4．化简：（1）；（2）；（3）．5．比较下列各数的大小．（1）与；（2）与；（3）与．B能力升级6．小颖用长3cm、宽2.5cm的邮票30枚拼成一个正方形，试求小颖拼成的正方形的边长．你可以用几种方法求解？画出简图．7．若，求的值．8．若等式成立，试化简：．C感受中考9．已知：是整数，则满足条件的最小整数为（）（A）2．（B）3．（C）4．（D）5．10．计算：的结果是（）（A）2．（B）4．（C）8．（D）16．课后实践数学上的“怪物”虚数单位当时，叫做二次根式．如果我们放宽政策，不规定，也就是说，当时，情况会怎么样呢？例如，当，显然书中的二次根式的表示法就产生了．是什么数？是怪物吗？早在公元400多年前，数学家就发观了这个“怪物”，一开始没有人承认．直到解析几何的创始人笛卡儿在《几何学》一书中才第一次给这个“怪物”取了一个名字叫“虚数”（和“实数”相对），该名字沿袭至今．后来到了数学家高斯那里，人们才对“虚数”有了比较明确定的了解．他说“直到目前为止，人们对虚数的考察，依然在很大程度上把虚数归结为一个有毛病的概念，以致给虚数蒙上一层朦胧而神奇的色彩，但是的直观意义完全可以从复数的几何表示中得到，不需要增加其他什么就能将其归入算术的范畴．我认为只要不把，，叫作正1，负1和虚1，而是称之为向前1，反向1和侧向1，那么这层朦胧而神奇的色彩即可消失．”参考答案基础准备问题1．（1）；（2）6；（3）；（4）2．问题2．（1）；（2）；（3）10；（4）．问题3．（1）不是．被开方数不是整数；（2）是；（3）不是．被开方数不是整数；（4）不是．中8含有开得尽方的因数4；（5）不是，其中24含有开得尽方的因数4；（6）不是．含有因式是的平方．要点探究活学活用1．（1）；（2）6；（3）2；（4）；（5）．活学活用2．（1）77；（2）；（3）；（4）．活学活用3．（1）；（2）；（3）；（4）．活学活用4．（1）；（2）；（3）．活学活用5．70cm．随堂尝试A基础达标1．（1）A；（2）A；（3）B；（4）A；（5）B；（6）B．2．（1）20，13；（2）；（3）；（4）2；（5），．3．（1）；（2）；（3）．4．（1）；（2）6；（3）．5．（1）；（2）；（3）．B能力升级6．15cm．7．24．8．．C感受中考9．D．10．B．21.2二次根式的乘除(1)班级姓名座号月日主要内容:＝(,),=(,)及其运用一、课堂练习:1.(课本11页)计算:(1)(2)(3)(4)2.(课本11页)化简:(1)(2)(3)(4)3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:(1)(2)4.(课本11页)一个矩形的长和宽分别是和,求这个矩形的面积.二、课后作业:1.下列等式成立的是()A.42=8B.54=20C.43=7D.54=20

2.(课本15页)计算:(1)(2)(3)(4)3.(课本15页)计算:(1)(2)4.(课本15页)设矩形的长与宽分别为、,根据下列条件求面积:(1),(2),5.(课本15页)已知正方形的边长为,面积为.(1)如果,求(2)如果,求三、新课预习:1.填空(1)==所以(2)==所以2.计算:(1)(2)参考答案一、课堂练习:1.(课本11页)计算:(1)(2)(3)(4)解:解:解:解:2.(课本11页)化简:(1)(2)(3)(4)解:解:解:解:3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:(1)答:不正确．改正:==(2)答:不正确．改正:====＝44.(课本11页)一个矩形的长和宽分别是和,求这个矩形的面积.解:S矩形=答:这个矩形的面积为.二、课后作业:1.下列等式成立的是(D)A.42=8B.54=20C.43=7D.54=202.(课本15页)计算:(1)(2)(3)(4)解:解:解:解:3.(课本15页)计算:(1)(2)解:原式解:原式=4.(课本15页)设矩形的长与宽分别为、,根据下列条件求面积:(1),(2),5.(课本15页)已知正方形的边长为,面积为.(1)如果,求解:由题意,得解得∵∴(2)如果,求解:由题意,得解得∵∴三、新课预习:1.填空(1)==所以=(2)==所以=2.计算:(1)(2)解:原式=解:原式==21.2二次根式的乘除(1)班级姓名座号月日主要内容:＝(,),=(,)及其运用一、课堂练习:1.(课本11页)计算:(1)(2)(3)(4)2.(课本11页)化简:(1)(2)(3)(4)3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:(1)(2)4.(课本11页)一个矩形的长和宽分别是和,求这个矩形的面积.二、课后作业:1.下列等式成立的是()A.42=8B.54=20C.43=7D.54=20

2.(课本15页)计算:(1)(2)(3)(4)3.(课本15页)计算:(1)(2)4.(课本15页)设矩形的长与宽分别为、,根据下列条件求面积:(1),(2),5.(课本15页)已知正方形的边长为,面积为.(1)如果,求(2)如果,求三、新课预习:1.填空(1)==所以(2)==所以2.计算:(1)(2)参考答案一、课堂练习:1.(课本11页)计算:(1)(2)(3)(4)解:解:解:解:2.(课本11页)化简:(1)(2)(3)(4)解:解:解:解:3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:(1)答:不正确．改正:==(2)答:不正确．改正:====＝44.(课本11页)一个矩形的长和宽分别是和,求这个矩形的面积.解:S矩形=答:这个矩形的面积为.二、课后作业:1.下列等式成立的是(D)A.42=8B.54=20C.43=7D.54=202.(课本15页)计算:(1)(2)(3)(4)解:解:解:解:3.(课本15页)计算:(1)(2)解:原式解:原式=4.(课本15页)设矩形的长与宽分别为、,根据下列条件求面积:(1),(2),5.(课本15页)已知正方形的边长为,面积为.(1)如果,求解:由题意,得解得∵∴(2)如果,求解:由题意,得解得∵∴三、新课预习:1.填空(1)==所以=(2)==所以=2.计算:(1)(2)解:原式=解:原式==21.2二次根式的乘除(2)班级姓名座号月日主要内容:理解()和()及利用它们进行运算一、课堂练习:1.(课本14页)计算:(1)(2)(3)(4)2.计算:(1)(2)3*.已知,且为偶数,求的值．

二、课后作业:1.阅读下列运算过程:,,数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,那么化简的结果是.2.(课本15页)计算:(1)(2)(3)(4)3.(课本15页)计算:(1)(2)4.已知:,当时,求和的值.三、新课预习:1.,,,,,其中是最简二次根式的是.2.如图,在中,,,,求的长．参考答案一、课堂练习:1.(课本14页)计算:(1)(2)(3)(4)解:解:解:解:2.计算:(1)(2)解:原式解:原式3*.已知,且为偶数,求的值．解:由题意得,即∴∵为偶数∴∴====二、课后作业:1.阅读下列运算过程:,,数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,那么化简的结果是.2.(课本15页)计算:(1)(2)解:原式解:原式(3)(4)解:原式解:原式3.(课本15页)计算:(1)(2)解:原式解:原式4.已知:,当时,求和的值.解:三、新课预习:1.,,,,,其中是最简二次根式的是.2.如图,在中,,,,求的长．解:∵∴∴∴的长为21.2二次根式的乘除(2)班级姓名座号月日主要内容:理解()和()及利用它们进行运算一、课堂练习:1.(课本14页)计算:(1)(2)(3)(4)2.计算:(1)(2)3*.已知,且为偶数,求的值．

二、课后作业:1.阅读下列运算过程:,,数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,那么化简的结果是.2.(课本15页)计算:(1)(2)(3)(4)3.(课本15页)计算:(1)(2)4.已知:,当时,求和的值.三、新课预习:1.,,,,,其中是最简二次根式的是.2.如图,在中,,,,求的长．参考答案一、课堂练习:1.(课本14页)计算:(1)(2)(3)(4)解:解:解:解:2.计算:(1)(2)解:原式解:原式3*.已知,且为偶数,求的值．解:由题意得,即∴∵为偶数∴∴====二、课后作业:1.阅读下列运算过程:,,数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,那么化简的结果是.2.(课本15页)计算:(1)(2)解:原式解:原式(3)(4)解:原式解:原式3.(课本15页)计算:(1)(2)解:原式解:原式4.已知:,当时,求和的值.解:三、新课预习:1.,,,,,其中是最简二次根式的是.2.如图,在中,,,,求的长．解:∵∴∴∴的长为21.2二次根式的乘除(2)班级姓名座号月日主要内容:理解()和()及利用它们进行运算一、课堂练习:1.(课本14页)计算:(1)(2)(3)(4)2.计算:(1)(2)3*.已知,且为偶数,求的值．

二、课后作业:1.阅读下列运算过程:,,数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,那么化简的结果是.2.(课本15页)计算:(1)(2)(3)(4)3.(课本15页)计算:(1)(2)4.已知:,当时,求和的值.三、新课预习:1.,,,,,其中是最简二次根式的是.2.如图,在中,,,,求的长．参考答案一、课堂练习:1.(课本14页)计算:(1)(2)(3)(4)解:解:解:解:2.计算:(1)(2)解:原式解:原式3*.已知,且为偶数,求的值．解:由题意得,即∴∵为偶数∴∴====二、课后作业:1.阅读下列运算过程:,,数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,那么化简的结果是.2.(课本15页)计算:(1)(2)解:原式解:原式(3)(4)解:原式解:原式3.(课本15页)计算:(1)(2)解:原式解:原式4.已知:,当时,求和的值.解:三、新课预习:1.,,,,,其中是最简二次根式的是.2.如图,在中,,,,求的长．解:∵∴∴∴的长为21.2二次根式的乘除(3)班级姓名座号月日主要内容:最简二次根式的概念及二次根式乘除混合运算一、课堂练习:1.下列各式中,最简二次根式的是()A.B.C.D.2.(课本14页)把下列二次根式化成最简二次根式:(1)(2)(3)(4)3.(课本14页)如图,在中,,,,求斜边的长.4.观察下列各式,从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算:,,同理可得:,计算:()()的值.二、课后作业:1.(课本15页)化简:(1)(2)(3)(4)2.(课本16页)用长3、宽2.5的邮票30枚摆成一个正方形,这个正方形的边长是.3.(课本15页)已知,求和的近似值.4*.(课本16页)用计算器计算:(1)=；(2)=；(3)=；(4)=.观察上面几题的结果,你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果:=.5*.(课本16页)已知正方形、矩形、圆的