江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】

江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第15周阶段性训练模拟练习一．选择题（共6小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O交于点C，CD⊥OA，垂足为D，则cos∠AOB的值等于（）A．OD B．OA C．CD D．AB2．已知点P（﹣2，y1），Q（4，y2），M（m，y3）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，其中2am+b＝0．若y3≥y2＞y1，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2 B．m＞1 C．﹣2＜m＜1 D．1＜m＜43．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE＝FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①AG⊥BE；②HD平分∠EHG；③△ABG∽△FDG；④S△HDG：S△HBG＝tan∠DAG；⑤线段DH的最小值是5−12；⑥当E、F重合时，延长AG交CD于M，则tan∠EBMA．5个 B．4个 C．3个 D．2个

4．如图，在▱ABCD中，E是AB上一点，且BE＝2AE，连接DE交AC于点F，已知S△AFE＝1，则S△ADC的值是（）A．9 B．10 C．12 D．145．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的正弦值是（）A．31010 B．655 C．6．已知⊙O的半径为3，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝32，AC＝3，则∠BAC的度数是（）A．75°或105° B．15°或105° C．15°或75° D．30°或90°二．填空题（共7小题）7．若直线y＝ax+b（ab≠0）经过第一、二、三象限，那么抛物线y＝ax2+bx顶点在第象限．8．如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为．

9．如图，在边长1正网格中，A、B、C都在网格线上，AB与CD相交于点D，则sin∠ADC＝．10．如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分为C、D，连接AM，则下列结论正确的是（写所有正确结论的序号）．①AM平分∠CAB；②ACAM=AMAB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则BM的长为π3；④若AC＝311．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝40°，则∠DAC的度数是．12．如图，在△ABC中，点D在AB上，AD：DB＝2：3，点E是CD的中点，连接AE并延长，交BC于点F，则BF：FC＝．

13．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，1）、（0，5），点C在x轴正半轴上，且∠ACB＝30°，则点C的坐标是．三．解答题（共3小题）14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，作∠FAC＝∠BAC，过点C作CF⊥AF于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠CAB=25，求S

15．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP＝∠BCQ时，求点P的坐标；（3）若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标．

16．【问题】老师上完《7.3特殊角的三角函数》一课后，提出了一个问题，让同学们尝试去探究75°的正弦值．小明和小华经过思考与讨论，作了如下探索：【方案一】小明构造了图1，在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，∠C＝45°．第一步：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，求出DC的长；第二步：在Rt△ADC中，计算sin75°．【方案二】小华构造了图2，边长为a的正方形ABCD的顶点A在直线EF上，且∠DAF＝30°．第一步：连接AC，过点C作CG⊥EF，垂足为G，用含a的代数式表示AC和CG的长；第二步：在Rt△AGC中，计算sin75°．请分别按照小明和小华的思路，完成解答过程．

参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【解答】解：∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴cos∠AOB=OA∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°，∴cos∠DOC=ODOC故选：A．2．【解答】解：∵2am+b＝0，∴m=−b∴点M（m，y3）是该抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴为x＝m，∵点P（﹣2，y1），Q（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，且y3≥y2＞y1，∴m＞−2+4解得m＞1，故选：B．3．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAD=∠ADC∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE＝∠DCF，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADB=∠CDB∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG＝∠DCF，∴∠ABE＝∠DAG，∵∠DAG+∠BAH＝90°，∴∠ABE+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AG⊥BE，故①正确；同法可证：△AGB≌△CGB，∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故③正确；∵S△HDG：S△HBG＝DG：BG＝DF：BC＝DF：CD＝tan∠FCD，又∵∠DAG＝∠FCD，∴S△HDG：S△HBG＝tan∠FCD＝tan∠DAG，故④正确；取AB的中点O，连接OD、OH，∵正方形的边长为1，∴AO＝OH=12×由勾股定理得，OD=AO∵OH+DH≥OD，∴O、D、H三点共线时，DH最小，∴DH最小=5−12如图，当E、F重合时，则点E是AD的中点，设EC与BM的交于点N，∵AD∥BC，∴△DEG∽△BCG，∴DEBC∵AB∥CD，∴DMAB∴DM=12AB∴CM=12又∵BC＝CD，∠BCM＝∠CDE＝90°，∴△DCE≌△CBM（SAS），∴∠CBM＝∠DCE，BM＝CE，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠BCE+∠CBM＝90°，∴∠CNB＝90°，∵BM=BC∴CE=5∵S△BCM=12×BC×CM=1∴CN=5∴EN=3∵tan∠CBM=CN∴BN=2∴tan∠EBM=ENBN=如图，连接AC交BE于K，连接KD，由正方形的对称性质可得KB＝KD，∴∠KBD＝∠KDB，在点E的运动过程中，当∠EBD＝22，5°时，∠EBD＝∠KDB＝∠KDE＝22.5°＞∠EDH，∵∠DEH＝∠BED，∴∠DHE＞∠BDE，即∠DHE＞45°，此时DH不平分∠EHG，故②错误；故选：A．4．【解答】解：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴S△AEFS△CDF=（∵BE＝2AE，∴AB＝CD＝3AE，∴S△AEFS△CDF=（AECD）2＝（∵S△AFE＝1，∴S△CDF＝9，∵△AEF∽△CDF，∴EFFD∴S△AEF∴S△ADF＝3，∴S△ADC＝S△CDF+S△ADF＝9+3＝12．故选：C．5．【解答】解：如图，连接格点B、D．∵BC=22+42=25AC=22+22=22∴AB＝BC．∵CD=2=∴BD⊥AC．在Rt△BCD中，sin∠ACB=BD故选：A．6．【解答】解：分为两种情况：①当圆心O在∠BAC的内部时，如图所示，过O作OE⊥AB于E，OD⊥AC于D，连接OA，∵OE⊥AB，OE过圆心O，AB＝32，∴AE＝BE=3由勾股定理得：OE=O即OE＝AE，∴∠BAO＝45°，∵OD⊥AB，OD过圆心O，AC＝3，∴AD＝CD=3∵OA＝3，∴AD=12∴∠AOD＝30°，∴∠CAO＝60°，∴∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝45°+60°＝105°；②当O在∠BAC的外部时，由①得：∠CAO＝60°，∠BAO＝45°，所以∠BAC＝∠CAO﹣∠BAO＝60°﹣45°＝15°；故选：B．二．填空题（共7小题）7．【解答】解：∵直线y＝ax+b（ab≠0）经过第一、二、三象限，∴a＞0，b＞0；∴抛物线y＝ax2+bx，开口向上，对称轴在y轴左侧，并经过原点，∴抛物线y＝ax2+bx顶点在第三象限，故答案为：三．8．【解答】解：∵CB为⊙O的切线，∴OB⊥CB，∴∠OBC＝90°，∵四边形OABC为平行四边形，∴OA＝BC，而OA＝OB，∴OB＝BC，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠BOC＝45°，∴∠BDC=12∠故答案为：22.5°．9．【解答】解：如图，延长CD到点E，连接BE，由题意得：DE2＝12+12＝2，EB2＝22+22＝8，BD2＝12+32＝10，∴DE2+EB2＝BD2，∴△DEB是直角三角形，∴sin∠EDB=EB∵∠ADC＝∠EDB，∴sin∠ADC=2故答案为：2510．【解答】解：连接OM，BM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∴∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴ACAM=AM∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴BM的长为60×π×2180=2π∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD∥AC，∴PBPA∴PB=13∴PB=12∴PB＝OB＝OA，∵sin∠OPM=OM∴∠OPM＝30°，∴∠CAP＝60°，∵AM平分∠CAP，∴∠MAP＝30°，∴tan∠MAP=33，故故答案为：①②④．11．【解答】解：∵∠CBE＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝140°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∴∠D＝40°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA=12（180°﹣∠故答案为：70°．12．【解答】解：过D作DG∥AF交BC于G，∴BGGF∵AD：DB＝2：3，∴BGGF∵DG∥EF，∴CFFG∵点E是CD的中点，∴CFGF∴CF＝GF，∴BF：FC＝5：2，故答案为：5：2．13．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵点A、B的坐标分别为（0，1）、（0，5），∴AB＝5﹣1＝4，设C点坐标为（x，0），在Rt△AOC中，AC=x在Rt△BOC中，BC=x∵AD⊥BC，且∠ACB＝30°，∴AD=12AC∴12AB•OC=12BC12×4x整理，可得x4﹣36x2+25＝0，解得：x＝23±7，∴C点坐标为（23+7，0）或（2故答案为：（23+7，0）或（2三．解答题（共3小题）14．【解答】（1）证明：∵AO＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠FAC＝∠ACO，∴∠FAC＝∠ACO，∴OC∥AF，∵CF⊥AF，∴OC⊥FC，∵OC为半径，∴CF是⊙O的切线；（2）解：∵过点C作⊙O的切线CF，过A作AF⊥CF，∴∠OCF＝90°，∠AFC＝90°，∴∠ACO+∠ACF＝90°，∠CAO+∠ACE＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF和△ACE中，∠AFC=∠AEC∠ACF=∠ACE∴△ACF≌△ACE（AAS），∴S△ACE＝S△ACF，∵弦CD⊥AB，∴BD=∴∠BCD＝∠CAB，∵sin∠CAB=2∴sin∠ECB=2设BE＝2a，则CB＝5a，∴CE=BC∴AC=52∴AE=AC∴S△BCD故答案为：82115．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴−1−b+c=0−9+3b+c=0∴c=3b=2∴y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），对称轴为直线x＝1，∴Q（1，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴b=3k+b=4∴k=1b=3∴y＝x+3，如图1，过C点作CH垂直对称轴交于点H，连接CP交对称轴与点G，∵CH＝1，DH＝1，∴∠DCH＝45°，∵OC＝BO＝3，∴∠BCO＝45°，∵∠DCP＝∠BCQ，∴∠GCH＝∠OCQ，∵tan∠OCQ=1∴GH=1∴G（1，103设直线GC的解析式为y＝k'x+b'，∴k′+b′=10∴k′=1∴y=13联立y=1∴x=5∴P（53，32（3）过点M作MK⊥CD交于点K，∵∠KDM＝45°，∴KM＝KD，∴DM=2MK∵A（﹣1，0），Q（1，0），∴AQ＝2，∵以点M为圆心的圆经过A、B两点，∴AM2＝MQ2+AQ2，即QM2＝AM2﹣4，∵圆M与直线CD相切，∴MK＝AM，∴QD＝DM+QM=2AM+∴AM＝42±23，∴DM＝8±26，∴QM＝﹣4+26或QM＝﹣4﹣26，∴M点的坐标为（1，﹣4+26）或（1，﹣4﹣26