4.2.2 等差数列的前n项和公式（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育4.2.2等差数列的前n项和公式（基础知识+基本题型）知识点一等差数列前项和公式1．等差数列前项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式2．等差数列前项和公式的推导设等差数列的各项为，，，．．．，，，，．由等差数列的通项公式，得．①再把各项的次序反过来，又可以写成．②将①②两边分别相加，得．所以．这就是等差数列的前项和公式，我们将这种求和的方法叫做倒序相加法，将代入上式，得．故等差数列的前项和公式为，．◢拓展◣（1）等差数列的通项公式和前项和公式共涉及5个量：，，，，，其中和称为基本量．如果等差数列的首项与公差已知，那么此数列完全确定，因此等差数列中不少问题都可以转化为求基本量和的问题．（2）三个公式中有2个参数（即，）和3个变量（即，，）．如果给出其中任意3个量，那么就可以通过联立方程组求出另外2个量，联立方程组并解方程组是等差数列的基本解题方法．（3）当已知首项，末项及项数时，用公式求前项和，用此公式时，有时要结合等差数列的性质；当已知首项，公差及项数时，用公式求前项和．知识点二等差数列的前项和公式与二次函数的关系等差数列的前项和公式．若令，，则上式可写成，即是关于项数的函数．（1）当，时（此时，），是关于的常数函数；（2）当，时（此时，），是关于的一次函数（正比例函数）；（3）当，时（此时），是关于的二次函数．前项和与二次函数的关系列表如下：区别联系定义域为图象是一系列孤立的点（1）解析式是二次式；（2）的图象是抛物线上的一系列点定义域为图象是一条光滑的抛物线◢拓展◣求等差数列的前项和的最值有两种方法：（1）由二次函数的最值特征得解．由二次函数的最大值、最小值知识及，知当取得接近的正整数时，取到最大值（或最小值）．值得注意的是最接近的正整数有时有1个，有时有2个．（2）确定前项和的最大值和最小值．①当，时，若则最大；若则和最大．②当，时，若则最小；若则和最小．知识点三等差数列前项和的主要性质1．项数（下标）的“等和”性质：2．项的个数的“奇偶”性质：等差数列中，公差为：①若共有项，则；；．②若共有项，则；；．3．“片段和”性质：等差数列中，公差为，前项的和为，则，，，．．．，，．．．构成公差为的等差数列．◢拓展◣（1）对性质“若数列有项，则；；”的证明当等差数列的项数为时，，所以．因为偶数项的首项为，偶数项构成以为公差的等差数列；奇数项的首项为，奇数项构成以为公差的等差数列，且项数都为，所以，．所以，．（2）对“片段和”性质的证明设等差数列的首项为，公差为，则，，．又因为为数列第项到第项这项的和，所以．同理，．．．，，．．．，所以，，，．．．，，．．．构成等差数列，且公差为．考点一与等差数列前项和有关的基本计算例1已知数列为等差数列，其前项和记为．（1）若，则；（2）若等差数列的公差，，求．解：（1）因为，所以．（2）由，解得．故．一般地，对于等差数列的五个量：，，，，，知道其中任意三个量，通过解方程组可以求得另外两个量，即“知三求二”．对此类问题，注意利用等差数列的性质以简化计算过程．例2在等差数列中，，．求数列的前项和解：由，，知等差数列的公差，所以．由，知，即，故中前项是负数，从第项起为非负数．设和分别表示和的前项和．当时，．当时，．综上可知，．对于含有绝对值的问题，首先要考虑去绝对值号，所以需要由不等式组或来找出满足条件的临界值．考点二等差数列的前项和的最值问题例3数列是等差数列，，．（1）从第几项开始有？（2）求此数列的前项和的最大值．解：（1）因为，，所以．令，则．由于，故当时，，即从第项开始各项均小于．（2）方法1：．当取接近于的自然数，即时，取到最大值．方法2：因为，，由（1），知，，所以，且．所以．解决此类问题有两种思路：一是利用等差数列的前项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；二是依据等差数列的通项公式，当时，数列一定为递增数列，当时，数列一定为递减数列．所以当，且时，无穷等差数列的前项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当，且时，无穷等差数列的前项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令即可．考点三等差数列的前项和性质的应用例4项数为奇数的等差数列，奇数项之和为，偶数项之和为，求这个数列的中间项及项数．分析：根据等差数列中的奇数项依次仍成等差数列，偶数项依次仍成等差数列可求解．解：设等差数列共有项，则奇数项有个，偶数项有个，中间项是第项，即，所以，解得．又因为，所以．故这个数列的中间项为，共有（项）．此类问题的常规解法是先通过构造方程组，求得数列的基本量，再代入求解，运算量较大．若运用等差数列前项和的性质求解，则可化简计算，优化解题过程．例5已知，是两个等差数列，且满足，求．分析：，分别为等差数列，的前项和，因此可利用等差数列前项和公式或其他相关性质解答．解：方法1：设等差数列，的公差分别为，，则，所以．①又因为，②观察①②，可在①中取，得．故．方法2：设，的前项和分别为，，则有，其中．由于，即，故．同理，．故．故．方法3：设，的前项和分别为，．因为等差数列的前前项和，根据已知，可令，．所以．．所以．若两个等差数列和的前项和分别为和，则由结论：．考点四等差数列前项和的实际应用例6某单位用分期付款的方式为职工购买套住房，共需万元，购买当天先付万元，以后每月这一天都交付万元，并加付欠款利息，月利率为．若交付万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第个月应付多少钱？全部按期付清后，买这套房实际花了多少钱？分析：设每次付款数额顺次构成数列设每次付款数额顺次构成数列判断此数列为等差数列结论求求首项、公差、项数、末项解：因为购房时先付万元，所以欠款为万元．依题意，知分次付款．设每次付款数额顺次构成数列，则，，，，所以．所以是以为首项，以为公差的等差数列．所以．因为，所以．所以实际共付（万元），所以第个月应付万元，实际共付万元．应用等差数列解决实际问题的一般思路：（1）根据题设条件，建立数学模型：①分析实际问题的结构特征；②找出所含元素的数列关系；③确定为何种数学模型．（2）利用相关的数列知