2024年人教版初中数学八年级下册正比例函数的概念-1教案

教案教学基本信息课题《正比例函数的概念》学科数学学段：初中年级初二教材书名：数学八年级下册出版社：人民教育出版社出版日期：教学目标及教学重点、难点教学目标：正比例函数的概念，提高将实际问题抽象为函数模型的能力（即数学建模能力）。教学重点：正比例函数的概念。教学难点：将实际情境抽象为函数模型，用函数的方法解决实际问题.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入同学们好，今天我们一起来学习正比例函数的概念。首先，我们一起来回顾什么是函数？在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.复习回顾引入课题新课1.让我们来看看这个问题.2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？（2）京沪高铁列车的行程y与运行时间t之间有何数量关系？（3）列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距离始发站1100km的南京南站？2.思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是，请写出函数解析式.（1）圆的周长l随半径r的变化而变化.（2）铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m随它的体积V的变化而变化.（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h随练习本的本数n的变化而变化.（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T随冷冻时间t的变化而变化.3.观察：列出的这5个函数解析式有什么共同的特点？可以发现：这些式子等式右边都是非零常数与自变量的积的形式.我们把这样形式的函数叫做正比例函数.一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注意，定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0.4.做两道练习，加深对正比例函数概念的理解.练习1：下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？（1）（2）（3）（4）练习2：列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数.（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元.（3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话xmin的计时费（按0.1元/min收取，通话不足1min按1min收费）.（4）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm，体积为ycm3.传授新知理解概念概念剖析例题例题1：若y与x的函数关系是正比例函数，当x=-1时，y=2.求此正比例函数的解析式.解：∵y与x的函数关系是正比例函数，∴设y=kx（k是常数，k≠0）.∵当x=-1时，y=2，∴2=k×（-1），即k=-2.∴正比例函数的解析式为：y=-2x.例题2：现有一块苗圃，其中一面靠墙.借助围墙（围墙长度大于10m），用篱笆将苗圃向右依次隔成边长为10m的正方形区域.（1）按照图中的方式，围出2个边长为10m的正方形需要几米长的篱笆？围出3个正方形呢？（2）如果用x表示所围正方形的个数，围出x个这样的正方形需要y米篱笆，那么y与x之间存在函数关系吗？（3）若围10个这样的正方形需要多少米篱笆？（4）用500米篱笆可以围出多少个这样的正方形？解：（1）60米；90米.（2）y=30x.（3）当x=10时，y=30×10=300（米），所以需要300米篱笆.（4）当y=500时，x=500÷30=，所以可以围出16个这样的正方形.例题3：甲、乙两个小车模型进行百米赛跑，甲车的速度是10m/s、乙车的速度是8m/s.两车同时出发，经过时间为t秒.（1）分别写出甲、乙两车赛跑时路程s1、s2和时间t的函数表达式及自变量t的取值范围.（2）出发5秒后，两车相距多少米？（3）甲、乙两车谁最先到达终点？早到多少秒？解：（1）s1=10t（0≤t≤10）；s2=8t（0≤t≤12.5）.（2）当t=5时，s1=10×5=50（米），s2=8×5=40（米）.∴两车相距s1-s2=50-40=10（米）.（3）甲车先到达终点.当s1=100时，甲车的时间为t1=100÷10=10（秒）；当s2=100时，乙车的时间为t2=100÷8=12.5（秒）.∴甲比乙早到t2-t1=12.5-10=2.5（秒）.思考：已知y+2与x-1成正比例，当x=2时，y=3，求y与x的函数关系式.分析：y与x成正比例：y=kx（k是常数，k≠0）.解：∵y+2与x-1成正比例，∴设y+2=k(x-1)（k是常数，k≠0）.∵当x=2时，y=3，∴3+2=k·(2-1)，解得k=5.∴y+2=5(x-1)，即y=5x-7.学以致用加深理解学会应用提升能力总结1.正比例函数的概念：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数.2.将实际情境抽象为函数模型，再用函数的方法解决实际问题.总结提升方法归纳作业1.下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？（1）（2）（3）y=5x2+6（4）（5）（6）y2=5x2.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s.（1