2024届物理一轮复习讲义第1讲 曲线运动 运动的合成与分解含答案

2024届物理一轮复习讲义

第四章

DISIZHANG曲线运动万有引力与宇宙航行

第1讲曲线运动运动的合成与分解

学习目标1.理解物体做曲线运动的条件及运动性质。2.理解合运动与分运动的

概念，会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。

夯实必备知识

速度质点在某一点的速度方向是沿曲线在这一点的

方向切线方向

曲

线运动做曲线运动的物体，速度的左回时刻在改变,

运性质所以曲线运动是变速运动

动

物体的加速度方向跟速度方向不在

同一条直线上

合外力方向跟速度方向不在同一条

直线上

2.

基本厂（运动的合成｝-C知分运动求合运动

概念

-f运动的分解］-已知合运动求分运动

运

分解可以根据运动的实际效果分解.也可以采用正交

动原则「分解

的

合

遵循—位移、速度、加速度都是矢最.它们的合成与分解

成极函一都遵循平行四边形定则

与

分

解

合运动和分运动经历的时间相等,即

合

运月每时性L同时开始、同时进行、同时停止

动

与

分

运布豆国一一个物体同时参与儿个分运动，各分运

动

的-^■^一动独立进行,不受其他运动的影响

系

关

各分运动的规律登加起来与合运动的

等效性

规彳*有完全相同的效果

1.思考判断

（1）速度发生变化的运动，一定是曲线运动。（X）

（2）做曲线运动的物体的加速度一定是变化的。（义）

（3）两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。（J）

（4）合运动的速度一定比分运动的速度大。（X）

（5）只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。（X）

⑹分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间均满足平行

四边形定则。（J）

2.如图1所示，高速摄像机记录了一名擅长飞牌、射牌的魔术师的发牌过程，虚

线是飞出的扑克牌的轨迹，则图中扑克牌所受合外力F与速度。关系正确的是

)

图1

答案A

研透核心考点

考点一曲线运动的条件和轨迹分析

1.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系

（1）速度方向与运动轨迹相切。

⑵合力方向指向曲线的“凹”侧。

（3）运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。

2.速率变化的判断

千阖T物体的速率增大）

合力方向与速

物体的速率减小）

度方向的夹角TWH

-（¥用一1物体的速率不变）

例1（多选）（2023•河北唐山高三期末）在珠海举行的第13届中国航展吸引了全世

界的军事爱好者。如图2,曲线ah是一架飞机在蜕直面内进行飞行表演时的轨

迹。假设从〃到人的飞行过程中，飞机的速率保持不变。则沿曲线时运动时，

飞机（）

图2

A.所受合力方向竖直向下

B.所受合力大小不等于0

C.飞机竖直分速度变大

D.飞机水平分速度保持不变

答案BC

解析飞机做曲线运动，所受合力方向指向轨迹的凹侧，则合力方向不一定竖直

向下，选项A错误；飞机做曲线运动，加速度不为零，则所受合力大小不等于0,

选项B正确；飞机的速率保持不变，则向下运动时竖直分速度变大，水平分速

度减小，选项C正确，D错误。

跟踪训练

1.（2023•河南郑州高三月考）一个质点受两个互成锐角的恒力B和B作用，由静

止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但Fi突然增大到Fi+AF,则质

点以后（）

A.继续做匀变速直线运动

B.在相等时间内速度的变化量一定相等

C.可能做匀速直线运动

D.可能做变加速曲线运动

答案B

解析当后突然增大到Q+△/瞬间，合力的大小和方向发生了变化，此时合力

与速度的方向不在同一条直线上，质点将做曲线运动，接下来合力的大小和方向

再次保持不变，加速度再次保持不变，因此质点一定做匀变速曲线运动，在相等

时间内速度的变化量一定相等，故B正确。

考点二运动的合成与分解

1•合运动的性质判断

工…4人变化：非匀变速运动

加速度（或合外力4丁卡与什、击、一小

I不变：匀变速运动

加速度（或合外力）［共线：直线运动

方向与速度方向［不共线：曲线运动

加速度（或合外力）为0：匀速直线运动

2.两个直线运动的合运动性质的判断

依据：看合初速度方向与合加速度（或合外力）方向是否共线。

两个互成角度的分运动合运动的性质

两个匀速直线运动匀速直线运动

一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动

两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动

如果0台与。台共线，为匀变速

直线运动

两个初速度不为零的匀变速直线运动

如果。合与。合不共线，为匀变

速曲线运动

例2如图3所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到

水平风力的影响，下列说法中正确的是（）

图3

A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作

B.风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害

C.运动员下落时间与风力无关

D.运动员着地速度与风力无关

答案C

解析运动员同时参与了两个分运动，竖直方向和水平方向的运动，两个分运动

同时发生，相互独立，则水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即

落地时间不变，选项A错误，C正确；不论风速大小，运动员着地时的竖直速

度不变，但水平风速越大，水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故B、

D错误。

跟踪训练

2.(2022•江苏南京模拟)雨滴在空中以4m/s的速度匀速竖直下落，某同学打伞以

3m/s的速度匀速向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面，则伞柄应指的方

向为(已知sin37o=0.6,cos37°=0.8)()

A.向西倾斜，与竖直方向成53。角

B.向西倾斜，与竖直方向成37。角

C.向东倾斜，与竖直方向成37。角

D.向东倾斜，与竖直方向成53。角

答案B

解析如图所示，以伞面为参考系，雨滴同时有水平向东和竖直向下的分速度，

3

则有tan0=不解得。=37。，可知伞柄应指的方向为向西倾斜，与竖直方向成37。

角，B正确，A、C、D错误。

-____^3m/s

\；,伞面

4柄

考点三小船渡河模型

1.船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。

2.三种速度：船在静水中的速度。瞑水流的速度。水、船的实际速度以

3.两类问题、三种情景

当船头方向垂直河岸时，渡河

渡河时间最短一■:

:时间最短,最短时间rmin=—

如果。傅水，当船头方向与

TH上游河岸夹角0满足v船cos0

立.」=。水时，合速度垂直于河岸，

渡河位移最短，等于河宽d

渡河位移最短

如果v船V。水,当船头方向（即

V船方向）与合速度方向垂直

、、/时，渡河位移最短，等于血水

4.分析思路

例3（多选）（2023•河北邙郸高三期末）2021年夏天，中国多地出现暴雨，导致洪涝

灾害。在某次救援演习中，一冲锋舟匀速横渡一关两岸平直、水流速度不变的河

流，当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达止对岸卜游600m处；若冲锋舟船

头保持与河岸成30。角向上游航行时，则恰能到达正对岸，已知河水的流速大小

为5m/s,下列说法正确的是（）

A.冲锋舟在静水中的速度大小为10m/s

B.河的宽度为4（）0仍in

C.冲锋舟在静水中的速度大小为当叵m/s

D.河的宽度为600V5m

答案BC

解析冲锋舟恰能到达正对岸时，在静水中速度0吊与水的流速。水的合速度垂直

于河岸，则有。静cos30。=。水，解得。*=当叵m/s,故A错误，C正确；当冲

锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600m处，由于船在垂直河岸方

向和沿河岸方向都是匀速运动，所以两个方向的位移之比等于两方向的速度之

比，即巴=F，式中S指沿河岸方向的位移，为600m,d指河宽，可解得d=

40Mm,故B正确，D错误。

跟踪训练

3.如图4所示，河水由西向东流，河宽为800m,河中各点的水流速度大小为

。水，各点到较近河岸的距离为x,。水与x的关系为。水=^N（m/s）（x的单位为

m）,让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为。船=4m/s,则

下列说法正确的是（）

匕:1-

小800m上*

图4

A.小船渡河的轨迹为直线

B.小船在河水中的最大速度是5m/s

C.小船在距南岸200m处的速度小于在距北岸200m处的速度

D.小船渡河的时间是160s

答案B

解析小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后

再减速，速度与加速度不共线，小船的合运动是曲线运动，选项A错误；当小

船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，。水=3m/s,此时小船的合速度

最大，最大值。m=5m/s,选项B正确；小船在距南岸200m处的速度等于在距

北岸20（）m处的速度，选项C错误；小船的渡河时间，="=竽s=200s,选

加”

项D错误。

考点四绳（杆）端速度分解模型

1.模型特点

与绳（杆）相连的物体运动方向与绳（杆）不在一条直线上，沿绳（杆）方向的速度分量

大小相等。

2.分解原则

合运动一绳（或杆）拉物体的实际运动速度u

上解

沿绳（或杆）的分速度P”

分运动一

与绳（或杆）垂直的分速度小

3.常见模型

模型EI绳端速度分解模型

例4（多选）如图5所示，不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C,与质量为〃7的物

体A连接，A放在倾角为0的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物

体3连接，连接物体8的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度。沿

杆匀速向下运动，设绳的拉力为FT,在此后的运动过程中，下列说法正确的是

)

A.物体A做加速运动B.物体A做匀速运动

C/T小于mgsin0D.FT大于〃zgsin9

答案AD

解析由图可知绳端的速度。维=osina,与B的位置有关，因为8为匀速运动,

B下降过程中。变大，。雎变大，因此物体A做加速运动，FT大于mgsin仇故A、

D正确，B、C错误。

跟踪训练

4.质量为m的物体P置于倾角为Oy的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮

分别连接着P与小车，尸与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率。水平向右做

匀速直线运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角仇时（如图6）,下列判

断正确的是（）

图6

A.P的速率为v

B.户的速率为OCOS02

C.绳的拉力等于/〃gsin0\

D.绳的拉力小于mgsin0\

答案B

解析将小车的速度〃沿绳子方向和垂直于绳子方向正交分解，如图所示，物体

。的速度与小车沿绳子方向的速度相等，则有。P=ocos02,故B正确，A错误；

小车向右运动，02减小，。不变，所以勿逐渐变大，说明物体P沿斜面向上做

加速运动。对物体P受力分析可知，物体尸受到竖直向下的重力，垂直于斜面

向上的支持力，沿绳向上的拉力FT,沿斜面和垂直于斜面方向建立正交轴，沿

斜面方向由牛顿第二定律可得可得尸r>mgsin4，故C、D

错误。

模型闪杆端速度分解模型

例5（2023・湖北武汉高三期末）活塞带动飞轮转动可简化为如图7所示的模型：图

中A、B、。三处都是转轴，当活塞在水平方向上移动时，带动连杆运动,

进而带动0B杆以。点为轴转动。若某时刻活塞的水平速度大小为V,连柠AB

与水平方向夹角为a,A8杆与OB杆的夹角为£,此时8点做圆周运动的线速

度大小为（)

图7

osina0cosa优osavsina

B..〃D.77

A，sinPsin。,cosCOSP

答案B

解析设3点做圆周运动的线速度大小为4,此速度为B的实际速度，根据运

动的合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直杆方向的分速度，如图,

71

沿杆方向的分速度为O5=UCOS\P—引2=i/sin成，A点速度为水平方向的。，根据

运动的合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直杆方向的分速度，如上

图，沿杆方向的分速度为IM=OCOS%又有二者沿杆方向的分速度相等，即

"sin/?=PCOSa,

跟踪训练

5.如图8所示，长为勺直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以水平

速度。匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与啜直方向夹角为©时,

直杆端点A的线速度为（

v

A-sin^B.usin0c•高D.ocos6

答案c

解析将直杆端点A的线速度进行分解，如图所示，由图中的几何关系可得

选项正确，、、错误。

ro=~J、~＜/7,CABD

提升素养能力

（限时：40分钟）

A级基础对点练

对点练1曲线运动的条件和轨迹分析

1.（2022・广东深圳模拟）一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速

度逐渐增大。图中分别画出了汽车转弯时受到的合力F的四种方向，可能正确

的是（)

A

答案B

解析一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由例向N行驶，合力厂指向曲线弯

曲的凹侧，由M向N行驶时速度逐渐增大，合力”需与速度成锐角，综合来看,

B是可能的，B正确。

2.（2023•浙江杭州高三月考）“落叶球”是足球比赛中任意球的一种踢法，如图1

所示，这是某运动员主罚任意球时踢出快速旋转的“落叶球”在空中运动的轨迹

跟正常飞行轨迹相比，“落叶球”会更早地向下落回地面。对“落叶球”在聒亍

过程中的分析正确的是（）

正常轨迹

图1

A.“落I“球”在空中的运动轨迹是对称的

B.“落叶球”更早下落是因为在运动过程中受到了指向轨迹内侧的空气作用力

C“落叶球”的更早下落是因为在运动过程中受到了沿切线方向的空气阻力

D.“落叶球”在最高点的瞬时速度为零

答案B

解析“落叶球”是快速旋转的球，所以在空中的轨迹是不对称的，A错误；根

据做曲线运动的条件知，“落叶球”的更早下落是因为在运动过程中受到了指向

轨迹内侧的空气作用力，C错误，B正确；“落叶球”在最高点的竖直速度为零，

水平速度不为零，所以瞬时速度不为零，D错误。

对点练2运动的合成与分解

3.如图2所示，一热气球在匀加速竖直向上运动的同时随着水平气流向右匀速运

动，若设竖直向上为），轴正方向，水平向右为x轴正方向，则热气球实际运动的

轨迹可能是（）

图2

ABCD

答案B

解析气球水平向右做匀速运动，竖直向上做匀加速运动，则合加速度竖直向上,

所受合力竖直向上，轨迹向上弯曲，故B正确。

4.一小型无人机在高空中飞行，将其运动沿水平方向和竖直方向分解，水平位移

x随时间，变化的图像如图3甲所示，竖直方向的速度仍随时间f变化的图像如

图乙所示。关于无人机的运动，下列说法正确的是（）

图3

A.0〜2s内做匀加速直线运动

B.r=2s时速度大小为小m/s

C.2〜4s内加速度大小为1m/s2

D.0〜4s内位移大小为10m

答案B

解析对无人机，0〜2s内，由题图甲知，水平方向做匀速直线运动，由题图乙

知，竖直方向做匀加速直线运动，则0〜2s内做匀加速曲线运动，故A错误；

水平方向速度大小为“=1m/s,，=2s时竖直方向速度大小为s.=2m/s,贝］，=

2s时速度大小为？=\'*+蟾=小m/s,故B正稿；2〜4s内水平方向、竖直方

向均做匀速直线运动，加速度大小为0,故C错误；0〜4s内水平方向位移大小

为x=4m,竖直方向位移大小为y=；X2X2m+（4—2）X2m=6m,则位移大

小为s=、f+y2=2行m,故D错误。

对点练3小船渡河模型

5.（2023•福建福州模拟）洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身

影。如图4所示，水速为0,消防武警驾驶冲锋舟行驶，若冲锋舟沿与平直河岸

成30。角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地8处，采取以最小速度和最短

时间两种方案行驶，则两种方案中冲锋舟的最小速度小和以最短时间行驶冲锋

舟的速度S之比为（）

A.1：2B.1:小C.2:黄D.小：2

答案D

解析冲锋舟以最小速度S和最短时间分别从A到从冲锋舟最小速度切垂直

于A8连线，有oi=osin30。，最短时间行驶时冲锋舟速度。2垂直于水平河岸，

有s=iHan30°,可知—=cos30°=华，故选项D正确。

6.(2022•四川成者/美拟)一条平直小河的河水由西向东流，水流速度的大小为。水

=4m/s,让小船船头垂直河岸由南向北渡河，已知小船在垂直河岸方向运动的

规律满足犬=6/—().()5巴且小船刚好到达河对岸，则关于小船在渡河的这段时间

内的运动情况，下列说法正确的是()

A.小船渡河的轨迹为直线

B.小船在河水中40s时的速度为由m/s

C.小船在河水中40s时的位移为160m

D.小船到达河对岸时沿河岸方向运动的位移为240m

答案D

解析由题意可知，在这段时间内小船沿河岸方向做匀速直线运动，垂直河岸方

2

向做匀减速直线运动，减速运动的初速度加=6m/s,加速度。=—0.1m/s0这

段时间小船所受合力垂直河岸，与速度不共线，小船做曲线运动，故A错误；

由。=a)+。/,可得，=40s时垂直河岸方向的速度为2m/s,根据平行四边形定

则求得合速度为2小in/s,故B错误；由x=6r-().()5尸，求得，=4()s时小船垂

直河岸方向的位移为160m,此时沿河岸方向的位移为160m,由平行四边形定

则求得合位移为16Mm,故C错误；由。=%+“可得，垂直河岸方向的速度

为0时经过的时间为60s,小船沿河岸方向运动的位移为x沿河岸水f=240m,

故D正确.

对点练4绳(杆)端速度分解模型

7.(2023•福建福州高三月考)如图5所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆

绳提升一箱货物，已知货箱的质量为M,货物的质量为〃7,货车以速度。向左做

匀速直线运动，重力加速度为g,则在将货物提升到图示的位置时，下列说法正

确的是()

图5

A.缆绳中的拉力FT大于(M+Mg

B.货箱向上运动的速度大于O

C.货箱向上运动的速度等于高

C7

D.货箱处于失重状态

答案A

解析将货车的速度进行正交分解，如图所示，曰于绳子不可伸长，货箱和货物

整体向上运动的速度和货车速度沿着绳子方向的分量相等，故切=DCOS。，则货

箱向上运动的速度小于。，故B、C错误；由于。不断减小，cose增大，故vi

增大，所以货箱和货物整体向上做加速运动，加速度向上，故拉力H大于（M+

机）g,则货箱处于超重状态，故A正确，D错误。

8.如图6,甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平

地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。施加微

小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正

确的是（）

图6

A.甲、乙两球的速度大小之比为小：3

B.甲、乙两球的速度大小之比为3币：7

C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等

D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大

答案B

解析设轻杆与竖直方向的夹角为仇则。I在沿杆方向的分量为切〃=O1COS仇

书

。2在沿杆方向的分量为S/，=02sin。，而图示位置时，有COS9=¥，

sin0=点解得此时甲、乙两球的速度大小之比为蓝=斗，选项A错误，B正确;

当甲球即将落地时，有。=90。，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零,

选项C、D错误。

B级综合提升练

9.（2022•山东临沂模拟）如图7,某河流中水流速度大小恒为s,A处的下游C处

4

有个漩涡，漩涡与河岸相切于8点，漩涡的半径为r,A8=y。为使小船从A点

出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为（）

AB

B翔

答案B

解析根据题意得tan®=5,解得9=37。，小船航行时在静水中速度的最小值

为。2=visin20,解得。2=行切，故B正确。

A%B

10.如图8所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M、N分别是甲、乙

两船的出发点，两船头与河岸均成。角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点,

经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度大小相等，且两船相遇不影响

各自的航行，下列判断正确的是（）

MN

图8

A.甲船也能到达正对岸

B.甲船渡河时间一定短

C.两船相遇在NP直线上的某点（非P点）

D.渡河过程中两船不会相遇

答案C

解析甲船航行的方向与河岸成a角，水流速度水平向右，故合速度一定不会垂

直河岸，即甲船不能垂直到达对岸，故A错误；在垂直河岸方向上，。用=osina,

。乙=osina,故渡河时间，甲=f=羔//乙=《=羡三,所以两船渡河时间相

0甲l/blll（X。乙l/olll（X

等，因为在垂直河岸方向上的分速度相等，又是同时出发的，故两船相遇在NP

直线上的某点（非尸点），故B、D错误，C正确。

11.（2022•江苏南京模拟）如图9所示，竖直平面内放一直角杆MOM杆的水平部

分粗糙，动摩擦因数4=0.2,杆的竖直部分光滑。两部分各套有质量均为1kg

的小球A和8,A、8球间用细绳相连。A球在水平拉力户的作用下向右做速度

大小为2m/s的匀速运动。^=I0m/s2,那么在该过程中（）

A.拉力尸为恒力,大小为4N

B.A球所受的摩擦力为恒力，大小为4N

C.B球向上做速度大小为2m/s的匀速运动

D.B球向上做加速运动，当OA=3m,08=401时:8球的速度为1.5m/s

答案D

解析设某时刻细绳与竖直方向的夹角为。，如图甲，因绳子不可伸长，所以有

VAsin0=VBCOS0,化简得O8=iMtan0,在运动过程中，绳子与竖直方向的夹角一

直在增大，所以B球的速度一直增大，选项C错误；当OA=3m,O3=4m时,

B球的速度6=2x(m/s=1.5m/s,选项D正确;

分别对A、4受力分析如图乙，根据前面分析有。3=0ManO,由数学知识可知8

球的速度增加的越来越快，即加速度越来越大，设8球的加速度大小为。，这时

绳的拉力的竖直分量为FTCOS0=mg-\~ma,对A球有FNI=FTCOS0+mg=2mg+

ma,则摩擦力衣=〃尺1=〃(2/咫+〃也)，由于。变化，则A球所受的摩擦力不为

恒力，选项B错误；由于4球匀速运动,所以拉力/=R+pTsin0=〃(2mg+〃⑷

+尸rsinO,由于。和。不断变化，则拉力厂不是恒力，选项A错误。

乙

12.(2023•广东广州高三〃练)质量m=2kg的物体在光滑水平面上运动，其在相

互垂直的犬方向和y方向的分速度“和办随时间变化的图像如图10甲、乙所示,

求：

图

(1)物体所受的合力大小；

(2)物体的初速度大小；

(3)0〜4s内物体的位移大小;

(4)力=8s时物体的速度大小:

(5)物体运动轨迹的表达式。

答案(1)1N(2)3m/s(3)中\所m(4)5m/s(5)y=^(m)

解析(1)物体在x方向的加速度大小z=0

在y方向的加速度大小生、=力=().5m/s2

2

故合加速度为a=ay=0.5m/s

根据牛顿第二定律得/合=m。=1No

(2)由题图可知如)=3m/s,30=0

所以物体的初速度大小为。0=80=3m/s0

(3)0〜4s内物体在x、y方向上位移分别为

x\=v.^h=\2m,yi=；a)r?=4m

所以0〜4s内物体的位移

si=、x?+y?=4#^m,

(4)f2=8s时，物体在以y方向上速度分别为

Vx2=V.XG=3m/s,Vy2=ciyt2=4m/s

所以此时物体的速度大小为

。2=、品+碇2=5m/s。

,1.

(5)由y=-jayt-,vx=3m/s

aj=0.5m/s2,联立可得产治(m)。第2讲抛体运动

学习目标1.理解平抛运动、斜抛运动的概念及运动性质。2.掌握抛体运动的规

律，会用运动的合成与分解的方法处理抛体运动。3.会运用平抛运动的规律处

理类平抛问题。

夯实必备知识

1.

将物体以•定的初速度沿水平方向抛出,物体只

定义

在重力作用下的运动

_TjZ7^_平抛运动是加速度为q的匀变速曲线运动，运动轨

_迹是抛物线

平

抛厂(1)水平方向：匀速宜线运向

研究运动的合

运

方法成与分解工(2)竖直方向：自由落体运动

动

(1)速度与时间的关系

基本

规律

(2)位移与时间的关系

水平方向:x%6合大小：$=后京

2.

将物体以初速度《斜向上方或斜向下方抛出.物体

一只在重力作用下的运动

一

般

斜抛运动是加速度为4的包变逑曲线运动.运动轨

的

迹是抛物线

抛

体匀速在线运动以斜上抛运动为例.

运

水平—t\=t?ucos8如图所示

动方向

x=(v(tcos0)t

基本

规律匀变速自线运动

竖直_i，,=%sin8-gf

方向

r=t\/sin5gt2

1.思考判断

(1)以一定初速度水平抛出的物体所做的运动就是平抛运动。(X)

(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。(X)

⑶做平抛运动的物体的初速度越大，水平位移越大。(X)

（4）做平抛运动的物体的初速度越大，在空中飞行时间越长。（X）

（5）若不计空气阻力，从同一高度平抛的物体，在空中飞行时间相等。（J）

（6）做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。（J）

2.第24届冬奥会于2022年2月4日在北京隆重开幕。若冬奥会跳台滑雪比赛运

动员从平台飞出后可视为平抛运动，现运动员甲以一定的初速度从平台飞出，轨

迹为图1中实线①所示，质量比甲小的运动员乙以相同的初速度从平台同一位置

飞出，不计空气阻力，则运动员乙的运动轨迹应为图中的（）

图1

A.①B.②C.③D.©

答案A

研透核心考点

考点一平抛运动基本规律的应用

1.飞行时间

由知，下落的时间取决于下落高度人与初速度。。无关。

2.水平射程

x=vg=voy咪,即水平射程由初速度必和下落高度h共同决定。

3.速度改变量

因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g,所以做平抛运动的物体在任意相

等时间间隔加内的速度改变量是相同的，方向恒为竖直向下，如图

所示。

4.两个重要推论

(1)做平抛

运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点,

即初=当，如图所示。

(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan0=2tan呢

角度II单物体的平抛运动

例1(2022・广东卷，6)如图2所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂

在离地足够高处.一玩具枪的枪口与小积木上尸点等高且相距为当玩具子弹

以水平速度。从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击

中积木所用时间为人不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是()

A.将击中P点，1大于与

B.将击中P点，/等于与

C.将击中尸点上方，，大于§

D.将击中「点下方，7等于9

答案B

解析由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运

动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据〃=%巴可知下落高

度相同，所以将击中尸点；初始状态子弹到尸点的水平距离为L,子弹在水平方

向上做匀速直线运动，有故B正确。

跟踪训练

1.（2023•湖北武汉月考）用图3甲所示的装置研究平抛运动，在水平桌面上放置一

个斜面，每次都让小钢球从斜面上的同一位置由静止滚下，滚过桌边后钢球便做

平抛运动打在竖直墙壁上，把白纸和复写纸贴在墙上，就可以记录小钢球的落点。

改变桌子和墙的距离，就可以得到多组数据。已知四次实验中桌子右边缘离墙的

距离分别为10cm、20cm、30cm、40cm,在白纸上记录的对应落点分别为A、

B、C、D,如图乙所示，B、C、。三点到A点的距离之比为（）

•A

・B

•c

•D

乙

图3

A.4：9：16B.3：8：15

C.3：5：7D.1：3：5

答案B

解析根据平抛运动规律得x=00f,〃=*尸，可知运动时间之比力：尬：：白=

1：2：3：4,竖直方向运动距离之比历：hi：加：h4=\：4：9：16,则B、C、

D三点到A点的距离之比（出一加）：（，一点）：（加一加）=3：8：15,故B正确。

角度见多物体的平抛运动

例2如图4所示，4、8两点在同一条竖直线上，4点离地面的高度为368点

离地面的高度为2力。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在。点相遇,

。点离地面的高度为〃。已知重力加速度为g,贝U（）

AQ~►

图4

A.两个小球一定同时抛出

B.两个小球一定同时落地

C.两个小球抛出的时间间隔为（2一也八

D.两个小球抛出的初速度之喘若

答案C

解析平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由力=/产，得，=\/5,由于人

到。的竖直高度较大，所以从A点抛出的小球运动时间较长，应A先抛出；它

们在。点相遇时A的竖直方向速度较大，离地面的高度相同，所以4小球一定

先落地，故A、B错误；由1=\/£得两个小球抛出的时间间隔为。=以一/8=

，故C正确；由x=vot得。0=,x相等,

则小球A、3抛出的初速度之比?=,故D错误。

跟踪训练

2.如图5所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向。图中画出了从），轴上沿x

轴正方向水平抛出的三个小球。、人和c的运动轨迹。不计空气阻力，下列说法

正确的是（）

M和b的初速度大小之比为第：1

B4和h在空中运动的时间之比为2：1

C.〃和c在空中运动的时间之比为明：1

D.a和c的初速度大小之比为2：1

答案C

解析根据，=4段可知。和人在空中运动的时间之比为也：1;根据。=:可知

。和人的初速度大小之比为1:V2,选项A、B错误；根据，=4自可知。和c

在空中运动的时间之比为啦：1,根据。=，可知。和c的初速度大小之比为

也：1,选项C正确，D错误。

考点二类平抛运动

1.受力特点

物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。

2.运动特点

在初速度。。方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动,

加速度。=联。

3.求解方法

（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初

速度方向（即沿合力方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且

与合运动具有等时性。

⑵特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速

度分解为。八的，初速度分解为“、vyt然后分别在x、y方向列方程求解。

例3（2023•浙江杭州高三专练）据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一

座航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式

甲板起飞。如图6所示的AOB为此跑道纵截面示意图，其中AO段水平，OB为

抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，03的水平距离为尤

竖直高度为某次训练中，观察战机（视为质点）通过03段时，得知战机在水

平方向做匀速直线运动，所用时间为3则战机离开8点的速率为（）

B

仃

：y

A

图6

A."B)

口++4f

答案D

解析战机的运动轨迹为抛物线，则＞=\尸，解得。=些则8点的竖

直速度viy=2ay=^-；则战机离开B点的速率为v尸正不风=、J$+爷=

7尸+4)2

V1,故D正确。

跟踪训练

3.如图7所示的光滑斜面长为/,宽为小倾角为仇一物块(可看成质点)沿斜面

左上方顶点P水平射入，恰好从底端。点离开斜面，试求：(重力加速度为g)

⑴物块由尸运动到。所用的时间/；

(2)物块由P点水平射入时的初速度g的大小；

(3)物块离开Q点时速度的大小Po

答案⑴QsinOQ)叭I21⑶N21

解析(1)沿斜面向下，有

mgsin0=ma

l=^at2

联立解得『北为

(2)沿水平方向，有b=vot

vo=^=lr\l^°

(3)物块离开Q点时的速度大小

/一,、//(/+")gsin。

v=y]vn-\-Cat)~=八'---------------

27

考点三斜抛运动

1.斜抛运动的射高和射程

⑴斜抛运动的飞行时间—=等=军誓。

OO

（2）射IWJ：h—2g—2g°

ME八2vosin^cos0posin26...皿八..

（3）射程：5-uocosO-i------------一一--,对于给定的。o,当〃一45。时，射

OO

程达到最大值，Smax=^。

2.逆向思维法处理斜抛运动

对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完

整的斜上抛运动，还无根据对称性求解某些问题。

例4（2023•浙江杭州模拟）如图8所示，某同学将质量相同的二个物体从水平地面

上的A点以同一速率沿不同方向抛出，运动轨迹分别为图上的1、2、3。若忽略

空气阻力，在三个物体从抛出到落地过程中，下列说法正确的是（）

图8

A.轨迹为1的物体在最高点的速度最大

B.轨迹为3的物体在空中飞行时间最长

C轨迹为1的物体所受重力的冲量最大

D.三个物体单位时间内速度变化量不同

答案C

解析根据斜上抛运动的对称性可知，物体在最高点的速度为平抛运动的初速

度，由力=%尸和X=C'Of得加二丫'，^,可得。01<次）2<。03,即轨迹为3的物体

在最高点的速度最大，故A错误；由〃=上尸知，斜抛的总时间为f总=2h2/11

>/n>/n,可得轨迹为1的物体在空中飞行时间最长，故B错误；重力的冲量为

lG=，ngf,则轨迹为1的物体所受重力的冲量最大，故C正确；三个物体均做斜

上抛运动，由加，=0&可知，单位时间内速度变化量相同均为g,故D错误。

跟踪训练

4.（多选）在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。

在一次投篮表演中，郭同学在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45。的倾

角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球

点到篮筐距离为9.8m,不考虑空气阻力，g取10m/s2。则（）

图9

A.篮球出手的速度大小为7m/s

B.篮球在空中运动的时间为1.4s

C.篮球进筐的速度大小为772m/s

D.篮球投出后的最高点相对地面的竖直高度为2.45m

答案BC

解析篮球在空中做叙抛运动，设出手时速度为。，从抛出到入箧，篮球运动的

总时间为f=2.045,水平位移x=比os45。•入联立解得，=1.4s,v=7啦m/s,

g

由对称性可知，进筐时速度大小也为76m/s,故A错误，B、C正确；由抛出

到最高点，竖直高度力=会迎芳土2q=245m,但最高点相对地面的竖直高度要

大于2.45m,故D错误。

素养能力

（限时：40分钟）

A级基础对点练

对点练1平抛运动基本规律的应用

1.（多选）（2022•天津河西区模拟）以速度。。水平抛出一小球，如果从抛出到某时刻

小球的竖直分位移与水平分位移大小相等，则以下判断正确的是（）

A.此时小球的竖直分速度大小等于水平分速度大小的2倍

B.此时小球的速度大小为4uo

C.此时小球的速度方向与位移方向相同

2vo

D.小球运动的时间T

答案AD

解析根据题意可得加=全巴小球的运动时间为，=斗，小球的竖直分速度大

小为Vy=gt=2vot即竖直分速度大小等于水平分速度大小的2倍，故A、D正确;

此时小球的速度大小为°=、加+送=弱oo,故B错误：速度与水平方向的夹角

正切值为tana=¥=2,位移与水平方向夹角的正切值为tan0=^~=I,显然。声仇

即小球的速度方向与位移方向不同，故C错误。

2.（2023♦广东深圳一模）环保人员在一次检查时发现，某厂的一根水平放置的排污

管正在向厂外的河道中满口排出污水，如图1所示。环保人员利用手上的卷尺测

出这根管道的直径为10cm,管口中心距离河水水面的高度为80cm,污水入河

道处到排污管管口的水平距离为120cm,重力加速度g取10m/s2,则该管道的

排污量（即流量一单位时间内通过管道某横截面的流体体积）约为（）

A.24L/sB.94L/sC.236L/sD.942L/s

答案A

解析根据平抛运动规律有Zo,a=%而，解得。=3m/s,根据流量的定义

/八2

有。=7，而•“，解得。=0.024HTVS=24L/s,故A正确，B、C、

D错误。

3.如图2所示，某一小球以加=20m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、

B两点。在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45。，在8点小球速度方向与

水平方向的夹角为60。（空气阻力忽略不计，g取lOm/s"。以下判断中正确的是

)

即

飞萨

图2

A.小球经过A点时竖直方向的速度为2（八。m/s

B.小球经过A、8两点间的时间为/=2（小一l）s

C.4、B两点间的高度差〃=45m

D.A、B两点间的水平位移相差（4加一20加

答案B

解析根据平行四边形定则知IM,V=DO=2