《等腰三角形的轴对称性（2）》参考课件1

2.5等腰三角形的轴对称性（2）等腰三角形的判定

在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ABCA情境引入ABC如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？等腰三角形的判定1新知探究已知：如图，在△ABC中,∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?【建立数学模型】CAB做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？AB=AC你能验证你的结论吗？新知探究在△ABD与△ACD，∠1=∠2，∴△ABD

≌△ACD.∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.过A作AD平分∠BAC交BC于点D.证明：CAB21D（（新知探究∴

AC=AB.()∵∠B=∠C，（)★等腰三角形的判定方法

如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.已知等角对等边在△ABC中，▼应用格式：BCA((这也是判定一个三角形是等腰三角形的根据之一.即△ABC为等腰三角形.新知探究ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角对等边）.∵∠1=∠2,

∴DC=BCABCD21（等角对等边）.错，因为都不是在同一个三角形中.辨一辨：如图,下列推理正确吗?新知探究求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求证：AB=AC．

证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．ABCE（（12D例1典例解析

已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD.BADC证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD.总结：平分角+平行=等腰三角形例2典例解析∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.【变式】如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？BCADE解：重合部分是一个等腰三角形.由折叠可知，∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，典例解析1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（）A.∠A＝50°，∠B＝70°B.∠A＝70°，∠B＝40°C.∠A＝30°，∠B＝90°D.∠A＝80°，∠B＝60°B2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.3cm练一练典例解析已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.ah作法：（1）作线段AB=a.（2）作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D.（3）在MN上取一点C，使DC=h.（4）连结AC、BC，则△ABC即为所求.ABCMND例3典例解析如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F.求证：△CEF是等腰三角形．证明：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．例4典例解析方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．典例解析如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之间的关系.解：EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.

∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴

EF=EO+FO＝BE+CF.ABCOEF例5典例解析方法总结：判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.典例解析1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有(

)A．5个B．4个C．3个D．2个2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形CA当堂练习13.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个OabDA当堂练习4.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有___________________________.36°72°△ABC、△DBA、△BCDABCD当堂练习5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____.9当堂练习6.如图,上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离.解：∵∠NBC=∠A+∠C，∴∠C=80°-40°=40°，∴∠C=∠A，∴BA=BC（等角对等边）.∵AB=20×（12-10）=40(海里),∴BC=40海里.即B处距离灯塔C40海里.80°40°NBAC北当堂练习7.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.

求证：BC＝CD.证明：连结BD.∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC-∠A