2024届高考物理复习讲义：第3讲 电容器 带电粒子在电场中的运动

第3讲电容器带电粒子在电场中的运动

学习目标1.掌握电容的定义式和平行板电容器的决定式，会分析电容器动态变

化问题。2.利用动力学、功能观点分析带电粒子在电场中的直线运动和偏转

问题。

夯实必备知识

充电：使电容器两极板上带等量型L电荷的过

k）「程.电源提供的能量储存在电容器中

元、一

放电一放电：使电容器两极板电荷中和的过程,电容

电器储存的能策转化为其他形式的能

容

器定义式：C=g,单位：法拉（F）、微法（/1F）、

遁卜皮法（pF）,1F=l（"F=l（）"pF

一平行板电容器：。=浴7r

4行kd

2.

厂匀强电场：W=qE（l=qU=2，nt>2~J,nv92

H加速）-

22

带一非匀强电场：w=（/u=ymv-ymv„

电

粒厂运动形式：类平抛运动

子

在—处理方法：应用运动的合成与分解

匀

强

一运动时间：/=—

也4^)-

场

中

-加速度:龙=也

的

本

基minmd

系

运

关

2

动

式1zqUI

-偏转量:2

22mdvn

偏转角。的正切值：lanf）=?=V-

1-=qUl"V（t

1.思考判断

⑴电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的代数和。（X）

（2）电容器的电容与电容器所带电荷量成反比。（义）

（3）放电后的电容器电荷量为零，电容也为零。（义）

（4）带电粒子在匀强电场中只能做类平抛运动。（X）

（5）带电粒子在电场中，只受静电力时，也可以做匀速圆周运动。（J）

2.带电粒子沿水平方向射入竖直向下的匀强电场中，运动轨迹如图1所示，粒子

在相同的时间内（）

A.位置变化相同

B.速度变化相同

C.速度偏转的角度相同

D.动能变化相同

答案B

研透核心考点

考点一平行板电容器的动态分析

1.动态分析的思路

2.两类动态分析的比较

充

也后

源一不变

与电ldt-CU~E

两Q一S

断开

种不变

-*E,♦—Ct-U，-'E，

类

后

充电

型」，一以

源-77—Ldt-CQ

与电

一一S，一。―Q，-E不变

相连不变］不变

例1（多选）如图2所示，是一个由电池、电阻R、开关S与平行板电容器组成的

串联电路，开关S闭合。一带电液滴悬浮在两板间P点不动，下列说法正确的

是（）

a,R,b

-----3------

图2

A.若将A板向右平移一小段位移，电容器的电容C减小

B.若断开S,将B板向下平移一小段位移，带电液滴的电势能减小

C.在S仍闭合的情况下，增大两极板间距离的过程中，电阻R中有从人到〃的

电流

D.若断开S,减小两极板间的距离，则带电液滴向下运动

答案AB

pC

解析根据。=就可知，将A板向右平移一小段位移，则两极板正对面积5减

小，电容器的电容C减小，故A正确；带电液滴受到竖直向上的静电力，电场

方向竖直向下，带电液滴带负电荷，若断开S,则电容器所带的电荷量不变，电

场强度不变，8板电势为零，根据UP3=&/P3可得0=七分3,可知将8板向

下平移一小段位移，43增大，则夕点的电势升高，根据Ep一/可知，带负电荷

的液滴电势能减小，故B正确；在S仍闭合的情况下，增大两极板间的距离，

电容器的电容C减小，电容器放电，电阻R中有从。到人的电流，故C错误；

若断开S,减小两极板间的距离，电场强度不变，液滴受到的静电力不变，则带

电液滴不运动，故D错误。

跟踪训练

1.（2023•广东韶关市一模）随着生活水平的提高，电子秤已经成为日常生活中不可

或缺的一部分，电子秤的种类也有很多，如图3所示是用平行板电容器制成的厨

房用电子秤及其电路简图。称重时，把物体放到电子秤面板上，压力作用会导致

平行板上层膜片电极下移。则放上物体后()

A.电容器的电容变小

B.电容器的带电荷量增大

C.极板间电场强度变小

D.膜片下移过程中，电流表有从。到〃的电流

答案B

pC

解析根据电容表达式。=晶，可知当两个极板间的距离减小时，电容器的电

容增大；再根据电容定义式c=£,可知电容器一直和电源相连，电压不变时，

电容增大，带电荷量增大，即电容器被充电，电流表有从〃到。的电流，A、D

错误，B正确；由匀强电场公式后=另知，当电压不变，两个极板间的距离减小

时，极板间电场强度变大，C错误。

考点二带电粒子(带电体)在电场中的直线运动

1.做直线运动的条件

(1)粒子所受合外力F合=0,粒子静止或做匀速直线运动。

(2)粒子所受合外力产合工0且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速

直线运动。

2.用动力学观点分析

〃=誓，£=号研-捕=2〃d。

3.用功能观点分析

匀强电场中：W=qEd=qU=^mv2—

非匀强电场中：W=qU=E^~Eu

角度II带电粒子在电场中的直线运动

例2（多选）如图4所示，三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小

孔，小孔分别位于0、M、P点。由0点静止释放的一价氢离子恰好能运动到户

点，下列说法正确的是（

A.一定有UAB=-UBC

B.若从。点静止释放二价氨离子，其将以一定速度越过。点

C.若将C板向右平移到P点，则由0点静止释放的氢离子将运动到P，点返回

D.若将C板向右平移到P点，则由0点静止释放的氢离子仍运动到P点返回

答案AD

解析由O点静止释放的一价氢离子恰好能运动到P点,则qUAB+qUBC=O,

即由上式可知，上述过程与粒子带电荷量无关，即若从O点静止

释放二价氨离子，则也恰好能运动到尸点，选项A正确，B错误；若将C板向

右平移到P点，由于8、。带电荷量不变，根据石=%多「［一=黑，可

ClCacro,crO

知两板间电场强度不变，M、尸之间的电势差不变，根据可知

由。点静止释放的氢离子仍运动到P点返回，选项C错误，D正确。

角度见带电体在电场中的直线运动

例3如图5所示，一平行板电容器水平放置，板间距离为d,上下极板开有一小

孔，四个质量均为团、带电荷量均为4的带电小球，其间用长均为弓的绝缘轻杆

相连，处于竖直状态，今使下端小球恰好位于上极板小孔中，且由静止释放，让

四球竖直下落。当下端第二个小球到达下极板时，速度恰好为零。重力加速度为

g，（仅两极板间存在电场）试求：

图5

(1)两极板间的电压；

(2)小球运动的最大速度。

答案⑴鬻5圈

解析(1)根据动能定理可得

531

4mg^d—2qU—^qU-^qU=0

解得〃=修。

(2)当两个小球在电场中时，

静电力Fi=2/;=行"8V4/〃g

当三个小球在电场中时，

静电力乃=3夕%=,mg>4〃2g

故当第三个小球刚进入电场时速度最大，根据动能定理可得

.d

4mg•厂

解何V~\260

跟踪训练

2.(2023・四川成都一诊)如图6,倾角为0的绝缘光滑斜面和斜面底端电荷量为Q

的正点电荷均固定，一质量为〃?、电荷量为q的带正电小滑块从4点由静止开始

沿斜面下滑，刚好能够到达3点。己知A、B间距为3Q»q,重力加速度大小

为g。则A、5两点间的电势差等于()

A

QB

8

图6

〃吆Lsin8*Lsin8

ALQB.

Q

"次Lsin0〃次Lsin0

1—*■

qq

答案C

解析带正电小滑块从A点由静止开始沿斜面下滑，受到重力和电荷Q的库仑

力作用，从A点运动到B点的过程，由动能定理可知加gLsin9+qS8=0,解得

4、B两点间的电势差小=一吗也C正确。

3.如图7甲所示，A、B是两个足够大的平行金属板，两平行板间加如图乙所示

电压，Uo、7b为己知。质量为〃八电荷量为q的带正电粒子在7=0时刻从紧靠

A板位置由静止释放(不计重力)，粒子经2元时间到8板。求：

2仆

甲

图7

(1)粒子到达B板时的速度。;

(2)两个金属板间的距离乩

答案⑴3\弟⑵叭啜

解析(1)在。〜7b时向，粒子运动的位移为

」12qU*qUoR

dl=?md70=md

在7b〜27b时间，粒子运动的位移为

_2姓78“Uo7g_5gUo7g

c~~md2md~2md

根据动能定理得

,,d\d21

2oqu。而G+qyy9

解得。=3'/§。

(2)根据位移关系得由一"2=d

解得d=T叭陪。

考点三带电粒子在电场中的偏转

1.带电粒子在电场中偏转问题的两个重要结论

(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，

偏移量和偏转角总是相同的。

证明：由

_1/1曲0_丫

,〃以TuoJ

tan

U\l2cU\l

何灯丽tanO=时

可见y和tan。与粒子的外〃z无关。

(2)粒子经电场偏转后射出，合速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点O

为粒子水平位移的中点，即。到偏转电场边缘的距离为今

2.处理带电粒子的偏转问题的方法

运动的将带电粒子的运动分解为沿静电力方向的匀加速直线运动和垂直静电

分解法力方向的匀速直线运动

当讨论带电粒子的末速度p时也可以从能量的角度进行求解：qUy=

功能

关系其中指运动过程初、末位置两点间的电势差

3.计算粒子打到屏上的位置离屏中心距离的方法

(l)y=泗+L【an0{L为屏到偏转电场的水平距离)。

(2))，=e+L)tan6(1为电场宽度)。

g+L

(3)根据三角形相似已二丁。

州1

2

例4(多选)(2023•四川绵阳诊断)如图8所示，水平平行板电容器间距为c/,电源

电压恒定。闭合开关S,板间电场稳定后，一电子以初速度。从平行板左端水平

射入，经过时间，离开平行板间电场时速度与水平方向夹角为仇静电力对电子

做功为W,电子在屏上所产生光点的竖直偏移量为V若保持开关S闭合，将两

板间距调整为2d,电子仍然以初速度。水平射入，不计电子重力，则（）

A.电子通过平行板电容器的时间是/

B.平行板间电场对电子做功是段的

C.电子离开平行板间电场时速度与水平方向夹角是与

D.电子在屏幕所产生的光点的竖直偏移量是%

答案AD

解析电子在平行板电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，设平行

板电容器的长度为3则有，=看故电子通过平行板电容器的时间是r,A正确;

设电子在平行板电容器中的加速度为。，电子在竖直方向上做匀加速运动，可得

电子在平行板电容器间竖直偏移量为）“=%凡由牛顿第二定律和静电力公式可

得。=誓=篙静电力对电子做功为w=q打，联立解得卬=3・鬻巴现将两

板间距调整为2d,则可知沙=；卬，B错误；电子离开平行板间电场时速度与水

平方向夹角正切值tan产=鼻=谓，将两板间距调整为2d,则lan夕=1tana

夕C错误；设电子在平行板电容器外竖直方向的位移y2=Otan0,电子在

屏幕所产生的光点的竖直偏移量是y=），i+"=嚼+Otan仇将两板间距调整为

2d,则竖直偏移量变为了二嚼+气凶，则有y=5,D正确。

跟踪训练

4.如图9所示，一电荷量为q的带电粒子以一定的初速度由P点射入匀强电场，

入射方向与电场线垂直。粒子从Q点射出电场时，其速度方向与电场线成30。

角。已知匀强电场的宽度为"，方向竖直向上，尸、Q两点间的电势差为U

（U>0）,不计粒子重力，尸点的电势为零。则下列说法正确的是（）

图9

A.粒子带负电

B.带电粒子在。点的电势能为qU

C.P、。两点间的竖直距离为,

D.此匀强电场的电场强度为斗乎

答案D

解析由题图可知，带电粒子的轨迹向上弯曲，则粒子受到的静电力方向竖直向

上，与电场方向相同，所以该粒子带正电，故A错误；粒子从尸点运动到。点，

静电力做正功，为则粒子的电势能减少了qU,。点的电势为零，可知

带电粒子在。点的电势能为一4U,故B错误；0点速度的反向延长线过水平位

d

移的中点，则丁=而焉=多，电场强度大小为骅，故D正确，C

错误。

5.如图10,平行板电容器板间电压为U,板间距为乩两板间为匀强电场，让质

子流以初速度。。垂直电场射入，沿。轨迹落到下板的中央。现只改变其中一条

件，使质子沿人轨迹落到下板边缘，则可以将（忽略重力影响）（）

。---

IS

也”I1.也

图10

A.开关S断开

B.初速度变为3uo

C.板间电压变瑶

D.上板竖直移动，使板间距变为2d

答案C

解析断开开关，极板上的电压不变，两板间电场强度不变，故质子的运动轨迹

不变，A错误；根据a=端,），=%»,可得y=藤^，从下板边缘射出

时，竖直位移y不变，水平位移x变为原来的两倍，故可采取的措施是初速度变

为2g，或板间电压变为弓，或上板上移使板间距变为4/B、D错误，C正确。

提升素养能力

（限时：40分钟）

A级基础对点练

对点练1平行板电容器的动态分析

1.（多选X2023•辽宁铁岭市六校高三联考）计算机键盘每个键下都连有一块小金属

片，与该金属片隔有一定空气间隙的是另一块固定的小金属片，这组金属片组成

一个可变的平行板电容器，如图1所示。当键被按下，此电容器的电容发生变化,

与之相连的电子线路就能检测到这个键被按下，从而给出相应的信号。已知金属

片的正对面积为50mm2,键未被按下时两金属片的距离为0.6mm,当键被按下

时两金属片的距离为0.3mm,假设金属片的正对面积及两端的电压始终保持不

变，则键被按下后（）

图1

A.金属片间的电场强度保持不变

B.金属片间的电场强度变为原来的2倍

C.金属片上的电荷量变为原来的一半

D.金属片上的电荷量变为原来的2倍

答案BD

解析根据E=%，电压不变，距离减小为原来的一半，则电场强度变为原来的

2倍，A错误，B正确；根据。=£,。=悬，解得。=器，电压不变，距离

减小为原来的一半，金属片上的电荷量变为原来的2倍，C错误，D正确。

2.（2023・江苏无锡市高三期末）如图2所示，平行板电容器通过一滑动变阻器R与

直流电源连接，G为一零刻度在表盘中央的电流计，闭合开关S后，下列说法中

正确的是（）

图2

A.若在两板间插入电介质，电容器的电容变小

B.若在两板间插入一导体板，电容器的带电荷最变小

C.若将滑动变阻器的滑片P向上移动，电容器的带电荷量变大

D.若将电容器下极板向下移动一小段距离，此过程电流计中有从。到b方向的电

流

答案C

解析根据公式。=鉴，在两板间插入电介质，&增加，所以电容器的电容变

大，故A错误；同理，在两板间插入一导体板，由于导体板的静电感应，致使

电容器两板间距d减小，电容器的电容增加，由公式C=£可知，极板间电压不

变时，带电荷量变大，故B错误；将滑动变阻器的滑片尸向上移动，电容器极

板间电压变大，电容器带电荷量变大，故C正确；将电容器下极板向下移动一

小段距离，电容器的电容减小，电容器将放电，此过程电流计中有从〃到。方向

的电流，故D错误。

3.（2023•安徽五校联盟高三联考）如图3所示，D是一只理想二极管，电流只能从

〃流向江而不能从b流向平行板电容器的A、8两极板间有一带电油滴，电

荷量为我电荷量很小不会影响两板间电场的分布），带电油滴在P点处于静止状

态。以Q表示电容器储存的电荷量，U表示两极板间电压，”表示。点的电势，

EP表示带电油滴在P点的电势能。若保持极板A不动，将极板3稍向下平移，

则下列说法中正确的是（）

图3

A.。减小B.U减小

C.9P减小D.Ep减小

答案D

解析保持极板A不动，将极板8稍向下平移，板间距离d增大，根据电容的

决定式C=W焉知，电容。减小；电容器的电压不变时，则电容器所带电荷量将

要减小，由于二极管具有单向导电性，电荷不能流回电源，所以电容器的电荷量

。保持不变；由于电容C减小，由电容的定义式C=£,可知两极板间电压U变

大；根据C=黑？C埒E=?,可得E=¥¥，板间电场强度E不变，P点、

4TJLKCZCyCl上rJ

与8板间电势差UPB增大,根据UpB=9p一”可知P点的电势增大，

根据平衡条件可知带电油滴带负电，根据Ep=q9可知油滴在P点的电势能EP

减小，故A、B、C错误，D正确。

对点练2带电粒子（带电体）在电场中的直线运动

4.静电火箭是利用电场加速工作介质形成高速射流而产生推力的。工作过程简化

图如图4所示，离子源发射的离子经过加速区加速，进入中和区与该区域里面的

电子中和，最后形成中性高速射流喷射而产生推力。根据题目信息可知（）

______『加岁区j.高淳射流

离子源］I।中和心

L_J........।

MN

图4

A.M板电势低于N板电势

B.进入中和区的离子速度与离子带电荷量无关

C.增大加速区MN极板的距离，可以增大射流速度而获得更大的推力

D.增大极板间的电压，可以增大射流速度而获得更大的推力

答案D

解析由于加速后的得子在中和区与电子中和，所以被加速的离子带正电，则加

速器极板〃电势高，A错误；由动能定理知绮2,解得。所以

进入中和区的离子速度与比荷、加速电压有关，与极板距离无关，电压增大，速

度增大，故D正确，E、C错误。

5.如图5所示，一充电后的平行板电容器的两极板相距/,在正极板附近有一质

量为/〃、电荷量为小（qi＞（））的粒子A;在负极板附近有一质量也为加、电荷量为

一夕2（力＞（））的粒子仅在静电力的作用下两粒子同时从静止开始运动。已知两

粒子同时经过一平行于正极板且与其相距会的平面Q,两粒子间相互作用力可忽

略，不计重力，则以下说法正确的是（）

I.......Li

IQ

iIj_

图5

A.电荷量印与『的比值为3：7

B.电荷量/与［2的比值为3：4

C.粒子4、8通过平面Q时的速度之比为9：16

D.粒子A、8通过平面。时的速度之比为3：7

答案B

解析设电场强度大小为已两粒子的运动时间相同，对粒子A,有小=喏，

1/=^|/2,对粒子B,有。2=誓，$=52巴联立解得缶=1，选项A错误，B

正确；由动能定理得曲=品;2—0,解得选项c、D错误。

6.如图6所示，倾斜放置的平行板电容器两极板与水平面夹角为仇极板间走为

d,带负电的微粒质量为加、带电荷量大小为小从极板M的左边缘A处以初速

度。。水平射入，沿直线运动并从极板N的右边缘3处射出，重力加速度为g,

则（）

图6

A微粒到达B点时动能为前流

B/散粒的加速度大小等于gsin0

C.两极板的电势差U，WN=3%

D微粒从A点到8点的过程，电势能减少鬻

答案c

解析微粒仅受静电力和重力，静电力方向垂直于极板，重力的方向竖直向下，

微粒做直线运动，合力方向沿水平方向，由此可知，静电力方向垂直于极板斜向

左上方，合力方向水平向左，微粒做减速运动，微粒到达3点时动能小于57涕,

选项A错误；根据（/Esine=ma,qEcos解得E=^cos俨〃=gtan选

项B错误；两极板的电势差僵，选项C正确；微粒从A点到3

点的过程，静电力做攵功，电势能增加，电势能僧加量为鬻，选项D错误。

LUAC/

对点练3带电粒子在电场中的偏转

7.（2023・吉林长春质检）如图7所示，空间存在着竖直向下的匀强电场，一个质量

为例、电荷量为式g>0）的带电粒子以水平方向的初速度。。由O点射入，刚好通

过竖直平面内的尸点，己知连线。P与初速度方向的夹角为。=45。，不计粒子的

重力，则。、P两点间的电势差公?为（）

图7

mvi"尿八2团捕5mvi

A・'"^B.一rD.^—

2qq2q

答案C

解析粒子所带电荷量为正，则其所受的静电力方向竖直向下，设OP长度为L,

分析可知，粒子在电场中做类平抛运动，根据平抛运动规律，在竖直方向有

iaE

Lsin产,水平方向有Leos9=ooZ,由牛顿第二定律有gE=〃z〃，即Q=匕，

则0尸两点间的电势差U”=ELsinO,联立解得UOP=等，C正确。

8.（多选）如图8所示，气核、笊核、瓶核三种粒子从同一位置无初速度地进入水

平向右的加速电场昂，之后进入竖直向下的匀强电场及发生偏转，最后打在屏

上。整个装置处于真空中，不计粒子重力及其相互作用，那么（）

图8

A.偏转电场及对三种粒子做功一样多

B.三种粒子打到屏上时的速度一样大

C.三种粒子运动到屏上所用时间相同

D.三种粒子一定打到屏上的同一位置

答案AD

解析带电粒子在电场Ei中加速，由动能定理有夕石展=3加2,解得。

进入竖直向下的匀强电场及中做类平抛运动，由L=s,》=上产，qEi=nub联

立解得）'=偏转电场及对三种粒子做功卬=夕良丁=嚼，与粒子质量无

关，所以偏转电场反对三种粒子做功一样多，A正确；设粒子打到屏上时的速

度大小为以，由动能定理得W=%?"2一前"，可知/J卷:与+4学,三种

乙乙\1XLLI//IClfil

粒子质量不相等，B错误；三种粒子运动到屏上所用时间心=①+/勺=7肃+三

=\偌+/焉（1+/），故所用时间不相同，c错误；由于）=黑，与粒子

质量无关，三种粒子在偏转电场中的水平位移相等，侧移量相同，则出射角相同，

所以三种粒子一定打到屏上的同一位置，D正确。

B级综合提升练

9.（多选）（2023•山东潍坊市模拟）坐标系xOy所在的竖直平面内存在着范围足够大

且方向竖直向下的匀强电场，犬轴沿水平方向，一带负电小球以初速度。o从坐标

原点0水平射出，一段时间后小球通过第四象限产（乙一”点（图9中没有标出）。

已知小球质量为相，重力加速度为g,则小球（）

y

图9

A.从。到P的运动过程，运动时间为《

B.到达P点时动能为%加

C.到达P点时速度偏向角正切值为tan0=\

D.所受静电力大小为竿+〃zg

答案AB

解析从。到P的运动过程，小球在水平方向上做匀速运动，则运动时间为/

=靠选项A正确;小球在竖直方向做匀加速运动，则L=?t,即vy=2vof到

达/点时速度为0P=、福+/=小加,动能反=/样=*加8,选项B正确；到

7;v

达尸点时速度偏向角正切值为tan0=藐=2,选项C错误；由动能定理有〃密£一

FL^mvp—^mvi,所受静电力大小为f^vig一节型，选项D错误。

乙乙L

10.（多选）（2021•全国乙卷，20）四个带电粒子的电荷量和质量分别为（十小〃2）、

(+g,2m)>(+3q,3m)、(—4,〃z),它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴

正方向射入一匀强电场中，电场方向与y轴平行。不计重力，下列描绘这四个粒

子运动轨迹的图像中，可能正确的是()

答案AD

解析分析可知带电粒子在匀强电场中做类邛抛运动，则带电粒子的运动轨迹力

2

程为•甯J,由于带电粒子的初速度相同，带电粒子(+%机)、(+3夕，3〃。

的比荷相同，则带电粒子(+小机)、(+3夕，3m)的运动轨迹重合，C错误；当电

场方向沿y轴正方向时，带正电的粒子向y轴正方向偏转，带负电的粒子向y轴

负方向偏转，则粒子(+夕，次)、(+34,3〃。的运动轨迹与粒子(一外加)的运动轨

迹关于x轴对称,粒子(+4，2M的比荷比粒子(+“，⑼、(+3g,3⑼的小，贝

相同时，粒子(+q,2〃z)沿y轴方向的偏转量比粒子(