云南省昆明市西山区2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省昆明市西山区2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以或，所以或，又因为，所以，故选：C2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由题意知，，则，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A3.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则，单调递减，，单调递增，且在上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.故选：B4.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了制定居民节约用水相关政策，抽样调查了该市200户居民月均用水量（单位：），绘制成频率分布直方图如图1，则下列说法不正确的是（）A.图中小矩形的面积为0.24B.该市居民月均用水量众数约为C.该市大约有85%的居民月均用水量不超过D.这200户居民月均用水量的中位数大于平均数【答案】D【解析】由，可得，所以，故A正确；由题意可知该市居民月均用水量众数约为，故B正确；由题意可得该市居民月均用水量不超过的频率为：，故C正确；设200户居民月均用水量的中位数为，因为第一个矩形的面积为0.04，第二个矩形的面积为0.3，第三个矩形的面积为0.24，所以中位数,则，这200户居民月均用水量的平均数因为，所以这200户居民月均用水量的中位数小于平均数，故D不正确．故选：D．5.已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，抛物线：（）的焦点与的右焦点重合，为上的点，三角形的周长为5，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】根据椭圆方程可得，的周长为，可得；所以的右焦点为，抛物线的焦点为，即，解得.故选：C6.已知定义在上的函数，满足，，若，则（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由，知函数关于点对称，由，知函数关于直线对称，所以函数的周期为.又，所以，，所以，又，所以，所以.故选：D7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，因为，且，解得或，所以，，所以.故选：A8.一支运输车队某天上午依次出发执行运输任务，第一辆车于早上8时出发，以后每隔15分钟发出一辆车.假设所有司机都连续开车，并都在中午12时停下来休息.每辆车行驶的速度都是80千米/小时，截止到12时这个车队所有车辆一共行驶了2660千米，则该车队一共发出（）辆车A.14 B.14或19 C.15 D.15或16【答案】A【解析】设共发出n辆车，第n辆车行驶时间为，其中.因第一辆车于早上8时出发，以后每隔15分钟发出一辆车，则，即为等差数列.又设前n项和为，则.但注意到，，则.故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知正四面体的棱长等于2，则（）A.点到平面的距离为B.直线与所成角为C.直线与平面所成角的余弦值为D.若点分别为棱，的中点，则【答案】BCD【解析】对于AC选项，取三角形的中心为D，连接OD，连接AD至E，则平面ABC，则点到平面的距离为OD.又D为三角形重心，则E为CB中点，则，，故OD，故A错误；即为直线与平面所成角，则，故C正确；对于BD选项，如图将正四面体放置于一正方体内部，则正方体棱长.如图，因，//，则四边形为平行四边形，则//，则直线与所成角即为与所成角，故夹角为，故B正确；因分别为正方体上下底面中心，则长度等于正方体棱长，故D正确.故选：BCD10.设，为椭圆：的左右顶点，，为的左、右焦点，点在上，则（）A.当椭圆与直线相切时，B.在椭圆上任意取一点，过作轴的垂线段，为垂足，动点满足，则点的轨迹为圆C.若点不与，重合，则直线，的斜率之积为D.不存在点，使得【答案】AB【解析】A选项，由消去并化简得，，得，解得，A选项正确B选项，设，由于，所以，代入并化简得，所以点的轨迹是圆，B选项正确.C选项，设，，则，，所以C选项错误.D选项，，，当时，，所以D选项错误.故选：AB11.已知，点是平面内一点，记，，则（）A.当，时，则在方向上的投影向量为B.当，时，为锐角的充要条件是C.当时，点、、三点共线D.当，时，动点经过的重心【答案】ACD【解析】对于A选项，当，时，则在方向上的投影向量为，A对；对于B选项，当，时，角为锐角且、不共线，即，解得且，所以，为锐角的充要条件是，B错；对于C选项，因为，即，所以，，即，又因为、有公共点，故点、、三点共线，C对；对于D选项，设线段的中点为，则，因为，则，此时，动点经过的重心，D对.故选：ACD.12.已知直线：与圆：，若存在点，过点向圆引切线，切点为，，使得，则可能的取值为（）A.2 B.0 C. D.【答案】BCD【解析】因为即，令，解得，所以过定点，圆，圆心为，半径为，由切线性质可知：当时，，，因为存在使得，所以，记到的距离为，又因为，当最大时，此时，所以，所以，所以，解得，又因为，所以可取，故选：BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设为等差数列的前项和.若，，则______.【答案】15【解析】，，又，解得，.故答案为：15.14.米斗是称量粮食的量器，它有着吉祥的宫意，是丰饶富足的象征，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具.某课外兴趣小组为了解米斗的几何结构，在通用技术教师的指导下，用木制榫卯结构的方式制作了一个米斗如图，上宽下窄呈方形，近似于一个正四棱台，斗口边长为3米，斗底边长为2米，斗高3米，则该米斗能装米______升（忽略木板厚度，1升立方米）.【答案】【解析】由题意可得，上底面面积，下底面面积，高，则米斗的体积，则该米斗能装米升.故答案为：15.已知双曲线：（，）的左、右焦点为，，过的直线与轴交于点，点在上，且满足，，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】如图，设，，，，其中.由，则，则.又，则，将A点坐标代入，可得则，又因，则.故答案为：16.已知函数（），若在区间内恰有4个零点和三条对称轴，则的取值范围为______.【答案】【解析】由，可得，根据余弦函数图象性质可知若在区间内恰有4个零点和三条对称轴，可得，解得，所以的取值范围为.故答案为：四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中，角，，对应边分别为,,且.（1）求角；（2），，点在上，，求的长.解：（1）由题意知，，得，由余弦定理，得，即，所以，由，得.（2）由（1）知，，所以，即，由，解得，即，设，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，整理得，即，解得，所以.18.已知函数为奇函数，.（1）求的值；（2）若，，证明：.解：（1）由题意可知函数的定义域为，利用奇函数可知，解得，此时为奇函数；所以（2）易知，由可得，即满足，易知在上是单调递增，且，，即可得函数在区间上存在零点，所以，所以，由可令，由二次函数的单调性可知，；即可得.19.已知正项数列前项和为，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）令，求数列的前项和.解：（1）因为，则，即，且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，，则，当时，，当时，也满足，则，所以，则.20.某电商专门生产某种电子元件，生产的电子元件除编号外，其余外观完全相同，为了检测元件是否合格，质检员设计了图甲、乙两种电路.（1）在设备调试初期，已知该电商试生产了一批电子元件共5个，只有2个合格，质检员从这批元件中随机抽取2个安装在甲图电路中的，处，请用集合的形式写出试验的样本空间，并求小灯泡发亮的概率；（2）通过设备调试和技术升级后，已知该电商生产的电子元件合格率为0.9，且在生产过程中每个电子元件是否合格互不影响，质检员从该电商生产的一批电子元件中随机抽取3个安装在乙图电路中的，，处，求小灯泡发亮的概率.解：（1）由题意可得{（合格，合格），（合格，不合格），（不合格，不合格）}；设事件：小灯泡发亮，则，则，即小灯泡发亮的概率为.（2）当小灯泡亮的时候，元件一定是合格的，元件中至少有一个是合格的，第一种情况：元件合格，元件合格，元件不合格，则；第二种情况：元件合格，元件不合格，元件合格，；第三种情况：元件合格，元件合格，元件合格，；则小灯泡发亮的概率.21.已知平行四边形如图甲，，，沿将折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图乙.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.解：（1）翻折前，因为四边形为平行四边形，，则，因为，则，，由余弦定理可得，所以，，则，同理可证，翻折后，则有，，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，故平面平面.（2）因为平面，，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设，其中，则，，设平面法向量为，则，取，则，，所以，，易知平面的一个法向量为，则，整理可得，因为，解得，因此，线段上存在点，使二面角的余弦值为，且.22.已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2.