四川省新高考教研联盟2025届高三上学期八省适应性联考模拟演练考试数学试题（二）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省新高考教研联盟2025届高三上学期八省适应性联考模拟演练考试数学试题（二）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个答案符合要求.1.已知为虚数单位，复数满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】因为，，所以，所以，所以复数的虚部为；故选：B2.设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（）A. B.2 C.1 D.【答案】D【解析】∵，，不等式恒成立，即恒成立，∴只需,∵，当且仅当时取等号.所以，∴，∴m的最小值为，故选：D3.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（）A.68πcm3 B.152πcm3 C. D.204πcm3【答案】B【解析】依题意，上圆台底面半径为4，面积，下底面半径为6，面积，圆台高h为6，所以圆台体积.故选：B4.给出下列命题：①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量，若，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误；对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误；对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确.故选：B.5.设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由以及正弦定理得，所以即，又B为钝角，所以，故于是，因为，所以由此，即的取值范围是故选：A6.如图，，是分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆与三边所在的直线都相切，切点为，，，若，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】连接，，，由直线和圆相切的性质，可得，设，由双曲线的定义可得，，则，，，由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，即有，即，．故选：B．7.设，m>0，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】，，令，，，，，，，y，z能组成一个三角形的三条边长，可得，即为，设，可得，可令，即有，即为，由，当且仅当上式取得等号，但，可得，则，即；又设，可得，由的导数为，由可得，即函数y为增函数，可得，即有，即有，可得，故选C．8.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】因为，，所以或，由，得，关于x的方程，当时，即时，易知，符合题意；当时，即或时，易知0，-a不是方程的根，故，不符合题意；当时，即时，方程无实根，若a=0，则B={0}，，符合题意，若或，则，不符合题意.所以，故.故选：B.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分.9.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B..是的必要不充分条件C.若，，，则“”的充要条件是“”D.若，，则“”是“”的充要条件【答案】BD【解析】A选项：当时，满足，但是不能推出；反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故A错误；B选项：当，,但是不能推出A=∅当A=∅时，，故B正确；C选项：当时，不能由推出,故C错误；D选项：等价于等价于，故D正确；故选：BD.10.已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，．若点为的中点，则下列说法正确的为（）A.平面 B.平面C.四棱锥外接球的表面积为 D.四棱锥的体积为12【答案】BD【解析】对于A，因底面为矩形，则，又侧面平面，且侧面平面，平面，故平面,而与不重合，故A错误；对于B，设,连接,因分别是的中点，则,又平面，平面,故得平面，即B正确；对于C，取中点,连接因，则,,因侧面平面，且侧面平面，平面，则平面，易知点为矩形的外接圆圆心，过点作平面,其中点为四棱锥外接球的球心，连接,设球的半径为，在中，，故，又，在直角梯形中，，解得，，故四棱锥外接球的表面积为，故C错误；对于D，因点为的中点，故点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即,故四棱锥的体积为，故D正确.故选：BD.11.芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（）（参考数据：，）A.B.C.D.取得最大值时，M的估计值为54【答案】BC【解析】A选项，由条件概率的定义可知，，A错误；对于B，因为，所以，其中，故，又，于是，即，即，而，所以，即，故，B正确；C选项，指标服从正态分布，故，则，因为，，所以，C正确；D选项，，，设，令，解得，故，令，解得，即，所以取得最大值时，M的估计值为53，D错误.故选：BC三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分15分.12.如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面______.米【答案】【解析】依题意，设距离水平地面的高度，所以，，则，所以，则.13.在平面直角坐标系中,若方程所表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是___________【答案】【解析】因为方程所表示的曲线是椭圆，所以由可得：,则，因此有，故实数m的取值范围.14.中，的最大值为________.【答案】【解析】令，其中，则，设，，显然，有，则只需考虑在上的最大值，求导得，令，得，则且，当时，，当时，，则当时，函数取得极大值，即为最大值，.所以的最大值是.四.解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程及步骤.15.如图，在三棱柱中，，.（1）求的长；（2）若为的中点，求二面角的余弦值．解：（1）取的中点，连接，．，，，．又，，平面，平面，又平面，．又，，.（2）如图，以为坐标原点，，所在直线，过且与平面垂直的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图则易得，，，，．设，，由为的中点，可得，则，由，，，可得，解得，,．．设平面的法向量为，则，即，令，可得．设平面的法向量为，则，即，则，可得．则，易知二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．16.在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）频数2035251055（1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望；（2）A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、第60格共61个方格棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到），若挪出反面，则将棋子向前移动两格（从k到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n格的概率为，求证：当时，是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.解：（1），由Z服从正态分布，得，因此，所以X的数学期望为.（2）①棋子开始在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即，棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，因此，即，且，所以当时，数列是首项，公比为等比数列.②由①知，，，，，将以上各式相加，得，于是，则闯关成功的概率为，闯关失败的概率为，，所以该大学生闯关成功概率大于闯关失败的概率.17.已知点，、两点分别在轴、轴上运动，且满足，．（1）求的轨迹方程；（2）若一正方形的三个顶点在点的轨迹上，求其面积的最小值．解：（1）设点，因为，且点在轴上，所以，又，则，，由，故点的轨迹方程为.（2）设该正方形为，其在上的三个顶点为、Bx2,y2、不妨设，在轴的下方（包括轴），且，则，设直线的斜率为，则，所以，，故，故.又，所以，，将，用表示，得，故，，当且仅当时等号成立，又，当且仅当时等号成立，结合，故，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立，所以正方形面积，当时取最小值.18.已知函数，.（1）若时，求的所有单调区间；（2）若在区间上的最大值为，求的范围.解：（1）当时，f(x)＝xcosx－sinx，.当，且时，；当，且时，；关于原点对称为，关于原点对称为，∵f(x)定义域为R，且，∴f(x)是奇函数，∴f(x)在关于原点对称的区间上单调性相同，∴的减区间是，，且；的增区间是，，且.（2）.(i)当时，时，，∴，单调递减.此时，而，∴，此时不合题意；(ii)当时，变化时变化如下表：↗极大值↘此时在上最大值为.而在(0，a)单调递减，在(a，π)单调递增，∴，易证y＝x－sinx在上单调递增，故y＝x－sinx≥0－sin0＝0，即在上，x≥sinx，故时，，∴＝，∴，又，故当x＝a时，g(x)取最大值1，∴符合题意；(iii)当时，，，，，，∴，单调递增，，，∴，且当x＝π时，，符合题意.(iv)当时，∵时，∴，∴，单调递增，此时，在上单调递减，，故，又，∴要使g(x)有最大值，则，整理得，设，.则，令，则，∴单调递增，∴，∴单调递增，∴，故在内无解，即，故不合题意；综上，.19.设.（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为，求k的值；（2）设，且各项系数互不相同，现把这个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，，第n列n个数.设是第1列中的最小数，其中，且，记的概率为，求证：.（3）设且，集合的所有3个元素的子集记为，记为中最小元素与最大元素之和，求的值.解：（1）因为的通项公式为，而它的展开式中