四川省成都市成华区某校2024届高三上学期期末考试数学试题(理)（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市成华区某校2024届高三上学期期末考试数学试题(理)一、选择题1.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标为（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】抛物线可化为，焦点为，准线方程,点的纵坐标为,由抛物线定义知：，解得：.故选：B2.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于复平面的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因为复数，所以，其对应的点为，在第三象限.故选：C.3.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.4.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的展开式中含项为：展开式中项与展开式中项的和，因此展开式中为，所以的展开式中的系数为9.故选：D5.已知，为钝角，，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】因为，所以，因为为钝角，所以，则，所以.故选：B6.已知不重合的两条直线，，平面，，且，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是（）.A.①④ B.③④ C.①② D.①③【答案】A【解析】对于①，画出图像如下图所示，由图可知①正确.证明如下：由于，所以，由于，所以.对于②，画出图像如下图所示，由图可知②错误.对于③，画出图像如下图所示，由图可知③错误.（和①图像相同）对于④，画出图像如下图所示，由图可知④正确证明如下：由于，所以，由于，所以.故选：A.7.已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为()A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数定义域是，排除A选项，当，，排除B，因为，所以函数为偶函数，根据函数图象不关于轴对称可知函数不是偶函数，故可排除选项D.故选：C．8.在中，，，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，则，可得，在中，，，，由平面向量数量积定义可得，因此，.故选：C.9.已知函数（为常数，）的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以，故，因为，，所以，，即.又因为，解得.即.将的图像向左平移个单位长度，得到函数.故选：A.10.刍甍（chúméng）是中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶．”已知图中每个小正方形的边长都为，其中的粗线部分是某个刍甍的三视图，则该刍甍的表面积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据三视图还原该几何体如图所示，则，，，为等腰三角形，由主视图可知边的高为，，由此可求得梯形的高为，，，，该几何体的表面积为.故选：D．11.双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设切点为，，连接，则，，过点作⊥轴于点E，则，故，因为，解得，由双曲线定义得，所以，在中，由余弦定理得，化简得，又，所以，方程两边同时除以得，解得，所以离心率.故选：A.12.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设，则，当时，，则，故在上单调递减，因为，所以，所以，则，即.设，则在上单调递增，因为，所以，即，所以.故选：D.二、填空题13.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.【答案】0或3【解析】，，则或，若，A＝{1，3，}，B＝{1，3}，满足；若，解得或，时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，满足；时，A、B不满足集合中元素的互异性，舍去.综上所述，或3.故答案为：0或3.14.从5名男医生名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案共有______种

数字回答．【答案】70【解析】直接法：一男两女，有种，两男一女，有种，共计70种间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，都是女医生有种，于是符合条件的有种．故答案为70．15.函数的图象与直线的交点个数为__________.【答案】【解析】令，则，函数在区间上单调递增，所以，曲线与直线的交点个数等于曲线与直线的交点个数，作图易知，曲线和直线都过点，且都关于点对称，所以，曲线与直线的交点个数或者为或者为.下面考察关于的方程在区间上的解的个数，令，其中，则对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，则，所以，关于的方程在区间上的解的个数为，因此，函数的图象与直线的交点个数为.故答案为：.16.如图，在平面四边形中，，，，，，.则______，的长为______.【答案】【解析】由余弦定理可得即，解得或（舍）在中，由正弦定理得，即则为锐角，在直角三角形中故答案为：；三、必作解答题17.设为数列的前项和，且满足：.（1）设，证明是等比数列；（2）求.（1）证明：因为，，则，两式相减得：，整理可得，即，于是，，所以数列是等比数列.（2）解：由（1）知，，又，则所以.18.如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．（1）证明平面；（2）设二面角为，求与平面所成角的大小（1）证明：以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，，∴，，∴，，，∴平面.（2）解：，，设平面的法向量为，则，取，设平面的法向量为，则，取，∵平面平面，∴，故，∴，，∴，设与平面所成角为，，则，∴，∴与平面所成角的大小为.19.北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；（2）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？解：（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4人，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B，则，，所以，.（2）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件C，则，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试.20.如图，线段的两个端点、分别在轴、轴上滑动，，点是上一点，且，点随线段的运动而变化.（1）求点的轨迹方程；（2）设为点的轨迹的左焦点，为右焦点，过的直线交的轨迹于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.解：（1）由题可知点，且可设，，，则可得，又，即.∴，这就是点的轨迹方程.（2）由（1）知为，为，由题意直线的斜率不为0，设直线为，由有，设，，则恒成立，且，∴

，令，则，当且仅当，即时取“=”，∴的最大值为6，此时的方程为或.21.函数.（1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）；（2）设，若，满足，求证：.（1）解：，则，故在处的切线方程为即；（2）证明：由题可得，，当时，，则；当时，，则，所以，当时，，在上是增函数.设，则，当时，，则，在上递减.不妨设，由于在上是增函数，则，又，，则，于是，由，在上递减，则，所以，则，又，在上是增函数，所以，，即.四、选作解答题22.已知为椭圆任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为上任意一点.（1）写出的参数方程和的普通方程；（2）求的最大值和最