上海市黄浦区2025届高三年级期终调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市黄浦区2025届高三年级期终调研测试数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1～6题每题满分4分，第7～12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1.若集合，，则________．【答案】【解析】因为，，所以，故答案为:.2.不等式的解集为___________【答案】【解析】因为，所以不等式的解集为：，故答案为：.3.椭圆的焦距是_________.【答案】2【解析】∵椭圆∴.即答案为2．4.若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________．【答案】【解析】由题意，圆柱的侧面积为：.故答案为：5.的二项展开式的常数项为_______【答案】20【解析】的二项展开式的通项为．令得．所以的二项展开式的常数项为．6.若正数x、y满足，则的最大值为________．【答案】【解析】因正数x、y满足，所以，所以，所以当时，最大值为，故答案为：.7.从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________．【答案】11【解析】第一组下限为151.5，组距为3，所以，故第11组的下限为181.5，因此组数为11，故答案为：118.在正四面体中，点N是的中心，若，则________．【答案】##【解析】因为在正四面体中，，正四面体的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线上，设，，，由两两垂直，得，所以，即，所以是正三棱锥，设该正四面体的棱长为2，则，于是A1,0,0，，又点N是的中心，所以，所以因为，所以，可得，得，可得.故答案为：.9.若，则不等式的解集为________．【答案】【解析】时，，时，，，∴由得，，①或②不等式组①无解；不等式组②的解集为综上，不等式的解集为.故答案为：.10.i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为______．【答案】【解析】设，，则，由，得，即，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内，设，，则，由，得，整理得，，则复数对应的点是直线上一点，又，所以表示点与点之间的距离，因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为.故答案为：.11.一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为________cm．（结果精确到0.1cm）【答案】【解析】如图所示，设圆心为D，的中点为E，则，由题意易知，则，所以，由余弦定理知，所以.故答案为：.12.设常数b为整数，数列的通项公式为，若（，）的最小值为-7，则b＝________．【答案】【解析】由题意知，当，即时，根据二次函数的性质可知，数列在上单调递增，此时的最小值为，故，可得，化简得，因为，所以方程无解，故不符合题意；当，即时，根据二次函数的性质可知，的最小值为，故，即，解得；综上所述，.故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．13.掷一颗质地均匀骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（）A.与 B.与 C.与 D.与【答案】B【解析】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误，对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确，对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误，对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误，故选：B.14.若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】①由题意作图如下：由图易知为等腰直角三角形，则直线与的夹角为；②由题意作图如下：由图易知为等边三角形，则直线与的夹角为；③由题意作图如下：由图易知，因为，则直线与的夹角为.而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB与CD所成角为.故选：A.15.设，满足的x的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个【答案】C【解析】由可得，即，其中，所以原方程化为，即，不妨令，因为，所以，易知时，成立，即满足题意；又的周期为，且，所以在区间上还有一个根，如图所示，故选：C16.设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（）A.数列与均是严格增数列B.数列与均是严格减数列C.数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列D.数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列【答案】C【解析】依题意，因f'x<0在区间I上恒成立，则函数y=f由，，因数列的各项均不相同，且，若，则，即，即此时数列严格递增，数列严格递减；若，则，即，即此时数列严格递减，数列严格递增综上所述，数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列.故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图，在正方体中，E是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线DE与平面ABCD所成角的大小．解：（1）证明：连接，在正方体中，E是的中点，所以E是的中点，且，即，因为平面，平面，所以，又，平面,所以平面.（2）过作，交于，连接，在正方体中，平面，，所以平面，又平面，所以，所以是直线与平面所成的角.由题意，设，则，，所以，所以在，，故直线与平面所成角的大小是.18.已知．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数，的单调减区间．解：（1）由，得，则函数，故最小正周期为.（2）由，得，；由，得，令，解得；故单调减区间为.19.A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．（1）该校高一学生中男、女生各有多少名？（2）若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率；（3）在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）解：（1）根据题意可知，抽样比为，所以该校高一学生中男生有名，女生有名；（2）从这66名学生中随机抽取两名共有种，两名都是男生的抽法共有种，所以这两名都是男生的概率为（3）根据题意可设正确的31个数据为，易知，可得；所以原始数据平均值为；由方差定义可得，因此，可得；原始数据的方差为即原始数据的方差为.20.双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点．（1）若，点坐标为，求的值；（2）若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值；（3）设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立．解：（1）依题意，将，代入中，解得，则；（2）依题意知，可设直线，代入中，整理得：（*），如图，因，故点的横坐标为恰是方程（*）的解，则，整理得：，即，因是等比数列，则，代入此式，可得，即得，因过点的直线与右支在轴上方交于点，故得，即直线的斜率为定值；（3）如图，因点在双曲线右支上，则，即，故由可得,又因点直线与左支的交点,故，则，在中，设，由余弦定理，，因为，所以，所以，故当且仅当满足时，存在直线，使得成立.21.函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移．（1）设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？（2）设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移；（3）设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移．解：（1）由，得到，所以，又，由，得到，又当时，，当时，，所以只有一个极值点，且极值点为，此时，所以函数在上的极值点不偏移.（2）因为，且，，由，得到或，则，又，，则有两